Posisjon, hastighet og akselerasjon

I kinematikk knytter vi sammen de tre størrelsene posisjon x(t), hastighet v(t) og akselerasjon a(t). Hastighet er den deriverte av posisjon, og akselerasjon er den deriverte av hastighet. Motsatt vei integrerer vi.

Derivasjon (kjent x(t)): \(v = \dfrac{dx}{dt}\), \(a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2}\)

Integrasjon (kjent a(t)): \(v(t) = v_0 + \displaystyle\int_0^t a\,dt\), \(x(t) = x_0 + \displaystyle\int_0^t v\,dt\)

Husk startbetingelsene v₀ og x₀ som integrasjonskonstanter.

Ved konstant akselerasjon gjelder de fire kinematiske likningene som du må kunne utenat:

\(v = v_0 + at\)

\(x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2\)

\(v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x\) (tidsuavhengig)

\(\Delta x = \tfrac12 (v_0 + v)\,t\)

Startposisjon, vendepunkt og sluttposisjon

Et vendepunkt er der partikkelen snur. Da er hastigheten momentant null. Strategien er: deriver x(t) til v(t), sett v = 0 og løs for t, og sett deretter t inn i x(t). Pass på forskjellen på forflytning (Δx, vektor) og tilbakelagt distanse (total veilengde, alltid ≥ 0): når partikkelen snur, blir distansen større enn tallverdien av forflytningen.

Eksempel: En partikkel har x(t) = t³ − 6t² + 9t (SI). Finn vendepunkt-tidene og total distanse fra t = 0 til t = 3 s.

v(t) = dx/dt = 3t² − 12t + 9

Sett v = 0: 3(t² − 4t + 3) = 3(t−1)(t−3) = 0

Vendepunkt: t = 1 s og t = 3 s

x(0) = 0, x(1) = 1 − 6 + 9 = 4 m, x(3) = 27 − 54 + 27 = 0 m

0 → 4 m gir 4 m, deretter 4 → 0 m gir 4 m

Total distanse = 4 + 4 = 8 m (mens forflytning = 0)

Skrått og loddrett kast — også på Månen

I prosjektilbevegelse er horisontal- og vertikalbevegelsen uavhengige og kobles kun gjennom tiden t. Horisontalt er hastigheten konstant; vertikalt virker tyngdeakselerasjonen g.

Horisontalt: \(x = v_0\cos\theta \cdot t\), \(v_x = v_0\cos\theta\) (konstant)

Vertikalt: \(y = v_0\sin\theta \cdot t - \tfrac12 g t^2\), \(v_y = v_0\sin\theta - gt\)

Rekkevidde (flat bakke): \(R = \dfrac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}\), maks ved θ = 45°

Maksimalhøyde: \(H = \dfrac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}\), flytid: \(T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g}\)

På Månen er g ≈ 9{,}81/6 = 1{,}635 m/s². Siden både R og H er omvendt proporsjonale med g, blir kast ca. 6 ganger lengre og høyere. For et horisontalt kast fra høyde h avhenger falltiden kun av h og g: \(t = \sqrt{2h/g}\).

Eksempel: En astronaut kaster en ball med v₀ = 20 m/s i 30° over horisontalen på Månen (g = 1{,}635 m/s²). Finn rekkevidde og maksimalhøyde.

R = v₀²·sin(2θ)/g = 20²·sin(60°)/1{,}635

R = 400 · 0{,}8660 / 1{,}635 = 346{,}4 / 1{,}635 = 212 m

v_y = v₀·sin 30° = 20 · 0{,}5 = 10 m/s

H = v_y²/(2g) = 10²/(2·1{,}635) = 100 / 3{,}27 = 30{,}6 m

Akselerasjon fra kraft–tid-forløp under kollisjon

Under en kollisjon varierer kraften med tiden. Impulsen er arealet under F(t)-grafen og er lik endringen i bevegelsesmengde (impuls-momentum-teoremet, som følger av Newtons 2. lov F = dp/dt).

Impuls: \(J = \displaystyle\int F\,dt = \Delta p = m\,\Delta v\)

Trekantet F(t): \(J = \tfrac12 F_{maks}\,\Delta t\)

Gjennomsnittskraft: \(F_{gj} = \dfrac{J}{\Delta t}\), akselerasjon: \(a(t) = \dfrac{F(t)}{m}\)

Dette forklarer hvorfor airbager og kollisjonssoner reduserer skade: for en gitt impuls gir lengre kollisjonstid Δt mindre kraft F = J/Δt.

Eksempel: En ball (m = 0{,}050 kg) treffes av en trekantformet kraft med maksimalverdi 600 N over 0{,}020 s. Finn impuls og hastighetsendring.

J = ½ · F_maks · Δt = ½ · 600 · 0{,}020 = 6{,}0 N·s

J = m·Δv ⟹ Δv = J/m = 6{,}0 / 0{,}050

Δv = 120 m/s

Gjennomsnittskraft: F_gj = J/Δt = 6{,}0 / 0{,}020 = 300 N

Studieguide: Kinematikk og rettlinjet bevegelse

Studieguide: Kinematikk og rettlinjet bevegelse