Grunnidéen: τ = dL/dt

Et gyroskop er et raskt roterende legeme. Spinn-impulsmomentet er L = Iω og peker langs spinnaksen (høyrehåndsregelen). Newtons 2. lov for rotasjon sier at det ytre dreiemomentet endrer impulsmomentet:

τ = dL/dt

Når τ er parallell med L, endres farten (spinnet) opp eller ned. Når τ står vinkelrett på L, endres bare retningen til L — spinnaksen dreier. Det er dette vi kaller presesjon.

Dreiemomentet fra tyngdekraften

For et gyroskop som henger i ett punkt, kommer dreiemomentet fra tyngdekraften som virker i massesenteret:

τ = r × mg, med størrelse τ = mgr·cosθ

der r er avstanden fra opphengspunktet til massesenteret og θ er vinkelen mellom aksen og horisontalplanet. Ved horisontal akse (θ = 0) er τ = mgr. Normalkraften i opphengspunktet gir ikke dreiemoment, fordi armen der er null.

Presesjonsraten

Ω = τ/L = mgr/(Iω)

Presesjonsraten øker med masse, tyngde og avstand r, men minker med raskere spinn ω og større treghetsmoment I. Et raskt spinnende gyroskop preseserer langsomt — derav gyroskopisk stivhet.

Uavhengighet av tippvinkelen

Et nøkkelresultat: presesjonsraten er uavhengig av tippvinkelen θ. Dreiemomentet er τ = mgr·cosθ, men det er bare den horisontale komponenten av L (= L·cosθ) som dreies av dette horisontale dreiemomentet. Da blir Ω = (mgr·cosθ)/(L·cosθ) = mgr/L — cosθ kanselleres.

Eksempel 1: Sykkelhjul som preseserer (horisontal akse)

En ring (sykkelhjul) med m = 1,5 kg, R = 0,30 m spinner med ω = 25 rad/s. Aksen holdes horisontalt med massesenteret r = 0,10 m fra opphenget. Finn presesjonsraten. (Ring: I = mR²)

I = mR² = 1,5 · 0,30² = 0,135 kg·m²

L = Iω = 0,135 · 25 = 3,375 kg·m²/s

τ = mgr = 1,5 · 9,81 · 0,10 = 1,4715 N·m

Ω = τ/L = 1,4715 / 3,375 = 0,436 rad/s

Ω ≈ 0,44 rad/s

Eksempel 2: Snurrebass med tippet akse

En snurrebass har I = 8,0×10⁻⁵ kg·m², spinner med ω = 250 rad/s, m = 0,060 kg, og massesenteret er r = 0,025 m fra spissen. Aksen står 70° over horisontalplanet. Finn presesjonsraten.

L = Iω = 8,0×10⁻⁵ · 250 = 0,020 kg·m²/s

τ = mgr·cosθ = 0,060 · 9,81 · 0,025 · cos70°

τ = 0,014715 · 0,3420 = 0,005033 N·m

Horisontal L-komponent: L·cosθ = 0,020 · 0,3420 = 0,006840 kg·m²/s

Ω = τ/(L·cosθ) = 0,005033 / 0,006840 = 0,736 rad/s

Ω ≈ 0,74 rad/s — merk: samme som om aksen var horisontal (cosθ kanselleres)

Eksempel 3: Finn nødvendig spinn

Et gyrohjul (I = 0,020 kg·m²) skal preseseres med Ω = 0,30 rad/s under et dreiemoment τ = 0,12 N·m. Hvilken spinnhastighet ω trengs?

Ω = τ/(Iω) ⇒ ω = τ/(I·Ω)

ω = 0,12 / (0,020 · 0,30)

ω = 0,12 / 0,0060

ω = 20 rad/s

Studieguide: Gyroskop og presesjon

Studieguide: Gyroskop og presesjon