1. Arbeid og energi

Arbeidet til en konstant kraft er skalarproduktet \(W=\vec F\cdot\vec d=Fd\cos\theta\). Kun komponenten av kraften langs forflytningen gjør arbeid. Arbeid–energi-teoremet knytter netto arbeid til endring i kinetisk energi: \(W_{tot}=\Delta E_k\). Når bare konservative krefter (gravitasjon, fjær) virker, bevares mekanisk energi: \(E_k+E_p=\) konstant.

Sentrale formler – energi

Kinetisk energi: \(E_k=\tfrac12 mv^2\)

Tyngdepotensial: \(E_p=mgh\)

Fjærpotensial: \(E_p=\tfrac12 kx^2\)

Energibevaring: \(\tfrac12 mv_1^2+mgh_1=\tfrac12 mv_2^2+mgh_2\)

Med friksjon: \(\Delta E_{mek}=W_{friksjon}=-\mu mg\,d\)

2. Mekanisk energibevaring langs krum bane

For et legeme som glir friksjonsfritt langs en vilkårlig krum bane avhenger farten i et punkt KUN av høydeforskjellen, ikke av baneformen. Dette er nøkkelinnsikten bak loop-oppgaver: \(v=\sqrt{2g\,\Delta h}\).

Eksempel 1: En kloss slippes fra hvile og glir friksjonsfritt ned en krum bane fra høyde \(h=2{,}0\) m. Finn farten i bunnen.

Energibevaring: \(mgh=\tfrac12 mv^2\)

Massen forkortes: \(v=\sqrt{2gh}\)

\(v=\sqrt{2\cdot9{,}81\cdot2{,}0}=\sqrt{39{,}24}\)

\(v=6{,}26\;\text{m/s}\approx 6{,}3\;\text{m/s}\)

3. Bevegelsesmengde og impuls

Bevegelsesmengde \(\vec p=m\vec v\) er en vektor. Impuls–bevegelsesmengde-teoremet sier \(\vec J=\int\vec F\,dt=\Delta\vec p\). Grafisk er impulsen arealet under \(F\!-\!t\)-kurven. Fordi \(F_{snitt}=\Delta p/\Delta t\), reduserer lengre kontakttid den gjennomsnittlige kraften — prinsippet bak airbags og at en bokser 'gir etter'.

Impuls og bevegelsesmengde

Bevegelsesmengde: \(\vec p=m\vec v\) (enhet kg·m/s = N·s)

Impuls: \(\vec J=\vec F_{snitt}\,\Delta t=\Delta\vec p\)

Bevaring: i isolert system er \(\sum\vec p=\) konstant

4. Støt: elastiske og uelastiske

I ALLE støt bevares total bevegelsesmengde (indre krefter kansellerer via Newtons 3. lov). I elastiske støt bevares i tillegg kinetisk energi; i uelastiske går en del av den tapt til varme/deformasjon. Fullstendig uelastisk: legemene henger sammen.

Elastisk sentralt støt (\(m_2\) i ro)

\(v_1'=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_1\), \(v_2'=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}u_1\)

Fullstendig uelastisk: \(m_1u_1=(m_1+m_2)v\)

Restitusjon: \(e=\dfrac{|v_f|}{|v_i|}=\sqrt{h_{opp}/h_{ned}}\)

Eksempel 2: En fjær med lagret energi \(E_p=100\) J skyter \(m_1=2{,}0\) kg og \(m_2=3{,}0\) kg fra hverandre fra hvile på friksjonsfritt underlag. Finn fartene.

Bevegelsesmengde (start 0): \(m_1v_1=m_2v_2\)

Energi: \(\tfrac12 m_1v_1^2+\tfrac12 m_2v_2^2=100\)

Sett \(v_2=\tfrac{m_1}{m_2}v_1\) inn: \(v_1=\sqrt{\dfrac{2E_p m_2}{m_1(m_1+m_2)}}\)

\(v_1=\sqrt{\dfrac{2\cdot100\cdot3}{2\cdot5}}=\sqrt{60}=7{,}75\;\text{m/s}\)

\(v_2=\tfrac{2}{3}\cdot7{,}75=5{,}16\;\text{m/s}\)

Sjekk: letteste kloss får mest \(E_k\) (60 J mot 40 J)

5. Normalkraft i bunn- og toppunkt

Et klassisk eksamenstema. Sett opp Newtons 2. lov i radiell retning der sentripetalakselerasjonen \(a=v^2/r\) alltid peker mot sentrum. Bruk energibevaring til å finne \(v^2\) i punktet.

Normalkraft – sirkelbevegelse

Bunn (N opp): \(N=mg+\dfrac{mv^2}{R}\) → tyngre enn \(mg\)

Topp av loop (N ned): \(N=\dfrac{mv^2}{R}-mg\)

Konveks bakketopp: \(N=mg-\dfrac{mv^2}{R}\), \(N=0\) ved \(v=\sqrt{gR}\)

Minste loop-fart i topp: \(v_{min}=\sqrt{gR}\) (da \(N=0\))

Eksempel 3: En vogn fullfører en vertikal loop (radius \(r\)) med minste mulige fart. Finn normalkraften i bunnen i enheter av \(mg\).

Minste fart i topp: \(mg=\dfrac{mv_{topp}^2}{r}\Rightarrow v_{topp}^2=gr\)

Energibevaring topp→bunn (fall \(2r\)): \(v_{bunn}^2=v_{topp}^2+2g(2r)\)

\(v_{bunn}^2=gr+4gr=5gr\)

Newton i bunn: \(N-mg=\dfrac{mv_{bunn}^2}{r}=\dfrac{m\cdot5gr}{r}=5mg\)

\(N=mg+5mg=6mg\)

Studieguide: Arbeid, energi og bevegelsesmengde

Studieguide: Arbeid, energi og bevegelsesmengde