TFY4115 · NTNU

Studieguide for TFY4115 Fysikk

Komplett pensumoversikt for fysikk ved NTNU — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

TFY4115 Fysikk er dynamikk og termisk fysikk for MTELSYS, MTTK og MTNANO. Høsten 2026 er det én skriftlig skoleeksamen i Inspera 25. november kl. 15.00: 4 timer, hjelpemiddelkode C. I alle settene vi har, betyr kode C godkjent kalkulator, Rottmanns matematiske formelsamling og et formelark fra instituttet med konstanter, mekanikk, svingninger og termisk fysikk. Du må ha godkjent regneøvinger og labøvinger for å gå opp, og en utsatt eksamen kan bli muntlig (sommeren 2026 var den det).

Hva grunnlaget er

Kurset har 31 offentlige eksamenssett, desember 2003 – august 2020. Settene fra 2021 og senere er ikke offentlige: NTNUs eksamensside for emnet slutter i august 2020, og emnet har hatt ny emneansvarlig siden. Guiden bygger derfor på de 15 settene 2013–2020, telt oppgave for oppgave, og på eldre sett for mønstre som holder seg. Stoffet er det samme i dag: dynamikk (kinematikk, Newtons lover, arbeid og energi, impuls, rotasjon, svingninger) og termisk fysikk (gasser, termodynamikkens lover, kretsprosesser, kinetisk gassteori, varmetransport).

To eksamensformer

Settene finnes i to former, og du bør kunne begge. Rene flervalgssett (desember 2013, august 2014 og alle seks fra desember 2017 til august 2020): 40 eller 50 oppgaver med fire til seks alternativer og lik vekt. Blandede sett (august 2013 – august 2017): en flervalgsdel som teller 20–50 %, og to til fire regneoppgaver med deloppgaver der du skal vise utregningen. Den største regneoppgaven var nesten alltid en rotasjonsoppgave (fallende stang, kule i loop, gliding som går over i rulling) eller en kretsprosess med en ideell gass. Hvilken form 2026-eksamen har, står ikke på emnesiden.

Hva som gir poeng

Tema	Sett av 15	Vekt 2013–2020	Vekt 2017–2020
Rotasjon og treghetsmoment	15	18,2 %	12,0 %
Termodynamikkens 1. lov og prosesser	15	17,0 %	11,3 %
Newtons lover, friksjon og luftmotstand	15	10,3 %	10,1 %
Varmepumpe, kjøleskap og Carnot	15	8,7 %	8,7 %
Svingninger	13	7,4 %	7,7 %
Varmeledning og termisk stråling	15	7,0 %	8,5 %
Kinetisk gassteori og ekvipartisjon	14	6,7 %	7,8 %
Arbeid, energi og bevegelsesmengde	15	6,6 %	7,7 %
Entropi og 2. lov	15	6,2 %	6,4 %
Kinematikk og rettlinjet bevegelse	10	4,0 %	6,9 %
Sirkelbevegelse og gravitasjon	12	3,8 %	6,4 %
Van der Waals-gass og faseoverganger	11	3,1 %	5,7 %
Gyroskop og presesjon	5	0,9 %	0,8 %

Vekten er andelen av settet (hvert sett teller 100 %). Mekanikk og termisk fysikk er omtrent like store: 51 % og 49 %. Rotasjon og 1. lov er størst fordi de blandede settene hadde store regneoppgaver om dem; i de seks flervalgssettene 2017–2020 er vekten jevnere, og alle temaene utenom gyroskop er med i hvert eneste av dem.

Slik bruker du guiden

Seksjonene åpner med tallene for hvor ofte og hvordan temaet har kommet, går så gjennom utledningene, og slutter med tre oppgaver laget som på eksamen (to i gyroskopseksjonen): to flervalg, der hvert galt alternativ er det en bestemt feil gir, og én regneoppgave i flere deler. Prøv oppgavene på egen hånd og sammenlign etterpå. Nederst på siden står sammenhengene som ikke finnes i instituttets formelark, hver med en kort forklaring på hvor den kommer fra. Vil du ha nyere flervalgstrening i mekanikk, prøver TFY4104- og TFY4125-settene 2021–2025 den samme mekanikken på samme nivå.

Kinematikk og rettlinjet bevegelse

Eksamensrelevant

Posisjon, fart og akselerasjon langs en linje og i kast, grafer som skal leses, og numerisk derivasjon og Euler-steg på måledata.

Kinematikk beskriver bevegelsen uten å spørre etter kreftene: posisjon, fart og akselerasjon som funksjoner av tiden. På eksamen betyr det kast, grafer som skal leses, og måledata som skal deriveres eller føres videre med et Euler-steg.

Slik testes dette på eksamen

Kinematikk står i 10 av de 15 settene 2013–2020, blant dem alle de seks rene flervalgssettene fra desember 2017. Vekten er 4,0 % i snitt og 6,9 % i de seks siste (høyest 12,5 % i august 2019). Det kommer bare som flervalg, aldri som egen regneoppgave, men kinematikken er første steg i mange av regneoppgavene om rotasjon og energi.

Kast: retningen på akselerasjonen i en parabelbane (desember 2015), skrått kast med vinkel (desember 2018) og kast fra en høyde på Månen (desember 2019 og august 2020).
Velg riktig graf: 5 av de 15 settene ber deg velge x(t)-, v(t)- eller a(t)-grafen som passer til en bevegelse (fall med luftmotstand, sprettball, kloss opp og ned et skråplan, kast).
Numerikk: ordene numerisk, algoritme, Euler eller iterasjon står i 7 av de 15 settene, oftest om derivasjon av måledata eller et Euler-steg.

1. Fra akselerasjon til posisjon

Farten er den deriverte av posisjonen og akselerasjonen den deriverte av farten: $v = dx/dt$ og $a = dv/dt$ . Formelarket har uttrykkene for konstant akselerasjon. De kommer fra to integrasjoner:

Integrer $a$ fra 0 til $t$ : $v(t) = v_0 + at$ .
Integrer $v$ : $x(t) = x_0 + v_0t + \tfrac12at^2$ .
Løs det første uttrykket for $t$ og sett inn i det andre: $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$ .

Motsatt er forflytningen arealet under v(t)-grafen, regnet med fortegn. Tilbakelagt strekning er noe annet: der $v$ skifter fortegn, snur legemet, og arealet under aksen trekkes fra i forflytningen, men legges til i strekningen.

Eksempel 1: Forflytning fra en v(t)-graf

Figuren viser farten til ei vogn på en rett bane de første 10 sekundene. Hvor langt fra startpunktet er vogna ved $t = 10\ \mathrm{s}$ ?

Graf av farten v i meter per sekund mot tiden t i sekunder fra 0 til 10 s. Rette linjestykker mellom punktene (0, 0), (2, 6), (5, 6), (8, −3) og (10, −3). Grafen krysser tidsaksen i t = 7 s. — Farten til vogna i eksempel 1.

A) 22,5 m B) 24,0 m C) 30,0 m D) 34,5 m E) 37,5 m

Forflytningen er arealet under grafen med fortegn. Del grafen i knekkpunktene og der den krysser aksen: fra 5 til 8 s faller farten fra 6 til −3 m/s, så den er null i $t = 7\ \mathrm{s}$ .
Over aksen: 0–2 s gir $\tfrac12\cdot 2\cdot 6 = 6\ \mathrm{m}$ , 2–5 s gir $3\cdot 6 = 18\ \mathrm{m}$ og 5–7 s gir $\tfrac12\cdot 2\cdot 6 = 6\ \mathrm{m}$ .
Under aksen: 7–8 s gir $-\tfrac12\cdot 1\cdot 3 = -1{,}5\ \mathrm{m}$ og 8–10 s gir $-2\cdot 3 = -6\ \mathrm{m}$ .
Summen: $6 + 18 + 6 - 1{,}5 - 6 = 22{,}5\ \mathrm{m}$ .

Typiske feil: alle arealene regnet positive (strekningen) gir E) 37,5 m; å stoppe der vogna snur gir C) 30,0 m; å glemme trekanten fra 7 til 8 s gir B) 24,0 m.

Svar: A) 22,5 m

2. Kast

Uten luftmotstand er akselerasjonen $g$ loddrett nedover hele tiden, også i toppunktet. Den vannrette farten er konstant og den loddrette endrer seg som i et loddrett kast, så hver retning regnes for seg med $v_x = v_0\cos\alpha$ og $v_{y0} = v_0\sin\alpha$ . Flytiden finner du ved å sette $y(t)$ lik nivået der kastet ender. Rekkeviddeformelen i formelarket nederst i guiden gjelder bare når kastet starter og slutter i samme høyde.

Graf av høyden y mot vannrett avstand x, begge i meter, for to kast fra bakken med 10 m/s. Kastet med 30 grader når 1,27 m, kastet med 60 grader når 3,82 m, og begge lander i x = 8,83 m. — To kast med samme fart: 30° og 60° gir samme rekkevidde fordi $\sin 2\alpha$ er lik.

Vis selv: med 10 m/s blir rekkevidden 8,83 m for begge vinklene og toppunktene 1,27 m og 3,82 m.

Eksempel 2: Kast fra et stup

En stein kastes fra kanten av et 20,0 m høyt stup med farten 15,0 m/s, 30° over horisontalen. Hvor langt fra stupkanten, målt vannrett, lander steinen på den flate marka nedenfor? Se bort fra luftmotstand.

A) 18,1 m B) 19,9 m C) 21,9 m D) 30,3 m E) 38,0 m

Komponentene: $v_x = 15{,}0\cos 30^\circ = 12{,}99\ \mathrm{m/s}$ og $v_{y0} = 15{,}0\sin 30^\circ = 7{,}50\ \mathrm{m/s}$ .
Med origo i stupkanten og $y$ oppover lander steinen når $y = -20{,}0\ \mathrm{m}$ : $-20{,}0 = 7{,}50\,t - 4{,}905\,t^2$ .
Andregradsligningen $4{,}905\,t^2 - 7{,}50\,t - 20{,}0 = 0$ har den positive roten $t = 2{,}924\ \mathrm{s}$ .
Avstanden: $x = v_xt = 12{,}99\cdot 2{,}924 = 38{,}0\ \mathrm{m}$ .

Typiske feil: rekkeviddeformelen for flat mark gir B) 19,9 m; sinus og cosinus byttet i $v_x$ gir C) 21,9 m; kastet regnet som vannrett med 15 m/s gir D) 30,3 m; feil fortegn på $v_{y0}$ gir A) 18,1 m.

Svar: E) 38,0 m

3. Grafer

Stigningstallet i x(t) er farten, stigningstallet i v(t) er akselerasjonen, og arealet under a(t) er endringen i fart. Les en grafvalgoppgave med tre spørsmål: Hvor er farten null? Hvor endrer akselerasjonen seg brått, fordi en kraft kommer eller forsvinner? Har akselerasjonen samme fortegn hele tiden? En kloss som glir opp et skråplan med friksjon og ned igjen, bremses med $g(\sin\theta + \mu_k\cos\theta)$ på vei opp og akselererer med $g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$ på vei ned. Grafen v(t) er derfor to rette linjestykker med ulik helning, brattest først.

4. Numerisk derivasjon og Euler-steg

Med målte posisjoner $x_i$ og fast tidssteg $\Delta t$ gir den sentrale differansen det beste overslaget for farten i et målepunkt:

$v_i \approx \frac{x_{i+1} - x_{i-1}}{2\,\Delta t}$

Akselerasjonen får du på samme måte fra to farter, eller direkte fra $a_i \approx (x_{i+1} - 2x_i + x_{i-1})/\Delta t^2$ . Eulers metode går den andre veien: kjenner du $x_n$ , $v_n$ og $a_n$ , er neste steg $x_{n+1} = x_n + v_n\Delta t$ og $v_{n+1} = v_n + a_n\Delta t$ . Metoden bruker farten i starten av hvert steg og kommer derfor for kort når farten øker.

Eksempel 3: Måledata for ei vogn

Ei vogn filmes på en rett bane. Tabellen viser posisjonen med 0,10 s mellomrom.

t (s)	x (m)
0,00	0,300
0,10	0,435
0,20	0,600
0,30	0,795
0,40	1,020

a) Finn farten ved 0,10 s, 0,20 s og 0,30 s med sentral differanse.

b) Finn akselerasjonen. Er den konstant?

c) Bruk Eulers metode med $\Delta t = 0{,}20\ \mathrm{s}$ fra 0,40 s til 0,80 s, med akselerasjonen fra b) og farten ved 0,40 s fra $v = v_0 + at$ . Sammenlign med posisjonen du får fra $x(t)$ med konstant akselerasjon.

a) $v(0{,}10) = (0{,}600 - 0{,}300)/0{,}20 = 1{,}50\ \mathrm{m/s}$ , $v(0{,}20) = (0{,}795 - 0{,}435)/0{,}20 = 1{,}80\ \mathrm{m/s}$ og $v(0{,}30) = (1{,}020 - 0{,}600)/0{,}20 = 2{,}10\ \mathrm{m/s}$ .
b) $a = (2{,}10 - 1{,}50)/0{,}20 = 3{,}0\ \mathrm{m/s^2}$ . Andredifferansen $(0{,}795 - 2\cdot 0{,}600 + 0{,}435)/0{,}10^2$ gir også 3,0, og farten øker like mye i hvert intervall, så akselerasjonen er konstant.
c) Startfarten: $v_0 = v(0{,}20) - a\cdot 0{,}20 = 1{,}20\ \mathrm{m/s}$ , så $v(0{,}40) = 1{,}20 + 3{,}0\cdot 0{,}40 = 2{,}40\ \mathrm{m/s}$ .
Første steg, til 0,60 s: $x = 1{,}020 + 2{,}40\cdot 0{,}20 = 1{,}500\ \mathrm{m}$ og $v = 2{,}40 + 3{,}0\cdot 0{,}20 = 3{,}00\ \mathrm{m/s}$ .
Andre steg, til 0,80 s: $x = 1{,}500 + 3{,}00\cdot 0{,}20 = 2{,}100\ \mathrm{m}$ .
Med konstant akselerasjon: $x = 0{,}300 + 1{,}20\cdot 0{,}80 + \tfrac12\cdot 3{,}0\cdot 0{,}80^2$ , altså $x(0{,}80) = 2{,}220\ \mathrm{m}$ . Euler kommer 0,12 m for kort fordi hvert steg bruker farten i starten av steget.

Svar: a) 1,50 m/s, 1,80 m/s og 2,10 m/s; b) 3,0 m/s², konstant; c) Euler gir 2,10 m, mot 2,22 m med konstant akselerasjon.

Nøkkelformler

• $v = v_0 + at$ , $x = x_0 + v_0t + \tfrac12at^2$
• $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$
• $v_x = v_0\cos\alpha$ , $v_y = v_0\sin\alpha - gt$
• $R = v_0^2\sin 2\alpha/g$ (start og slutt i samme høyde)
• $v_i \approx (x_{i+1} - x_{i-1})/(2\Delta t)$
•Euler: $x_{n+1} = x_n + v_n\Delta t$ , $v_{n+1} = v_n + a_n\Delta t$

Vanlige feil

⚠️Å svare med tilbakelagt strekning når oppgaven spør hvor langt fra start legemet er.
⚠️Å bruke rekkeviddeformelen når kastet starter i en høyde.
⚠️Å tro at akselerasjonen er null i toppunktet av et kast; den er $g$ nedover hele tiden.
⚠️Å bytte sinus og cosinus i komponentene når vinkelen er målt fra horisontalen.
⚠️Å bruke foroverdifferanse og få farten et halvt tidssteg for sent.

Eksamenstips

💡Forflytning er arealet under v(t) med fortegn; strekning er det samme arealet med alle deler positive.
💡Kast: regn vannrett og loddrett hver for seg, og sett $y(t)$ lik sluttnivået for å finne flytiden.
💡Rekkeviddeformelen $v_0^2\sin 2\alpha/g$ gjelder bare når kastet starter og slutter i samme høyde.
💡Grafvalg: finn først hvor farten er null og om akselerasjonen skifter verdi; det stryker de fleste grafene.
💡Måledata: bruk sentral differanse for farten i et målepunkt.

Laster...

Laster…