Variabler i dette kapittelet:

$q_i$, $q_j$ = kvantum for bedrift $i$ og $j$ (Cournot/Stackelberg)

$Q = q_i + q_j$ = totalkvantum | $P = a - bQ$ = invers etterspørsel

$c$ = marginalkostnad (antas lik for begge bedrifter)

$\pi_i$ = profitt for bedrift $i$

$\delta$ = diskonteringsfaktor $\in [0, 1]$ (gjentatte spill)

Grunnleggende spillteori

Et spill har tre elementer: (1) spillere, (2) strategier (valgmengder), (3) utbetalinger (payoffs). Vi fokuserer på simultane spill med fullstendig informasjon.

Dominant strategi: En strategi som er best uansett hva motspilleren velger. Hvis begge spillere har en dominant strategi, kalles utfallet en dominant strategilikevekt.

Nash-likevekt (NL): Et strategiprofil der ingen spiller kan forbedre sin utbetaling ved å ensidig endre strategi. Alle dominant strategilikevekter er Nash-likevekter, men ikke omvendt.

Eksempel: Fangens dilemma

To bedrifter velger samtidig mellom Samarbeid (S) og Avvik (A):

	Spiller 2: S	Spiller 2: A
Spiller 1: S	(3, 3)	(0, 5)
Spiller 1: A	(5, 0)	(1, 1)

Analyse:

Spiller 1: Hvis S2 velger S → A gir 5 > 3. Hvis S2 velger A → A gir 1 > 0. A er dominant for S1
Spiller 2: Symmetrisk analyse. A er dominant for S2
NL: (A, A) med utbetaling (1, 1) — suboptimalt for begge, men individuelt rasjonelt

Fangens dilemma: individuell rasjonalitet fører til et kollektivt dårligere utfall enn (S, S).

Finne Nash-likevekt i matrisespill:

1. For hver av spiller 2s strategier: understrek spiller 1s beste respons

2. For hver av spiller 1s strategier: understrek spiller 2s beste respons

3. Celler med begge understreket er Nash-likevekter

Cournot-modellen (simultant kvantum)

To bedrifter velger kvantum simultant. Med $P = a - b(q_1 + q_2)$ og $MC = c$:

Bedrift $i$ maksimerer: $\pi_i = [a - b(q_i + q_j)] \cdot q_i - c \cdot q_i$

FOB: $a - 2bq_i - bq_j - c = 0$

Cournot-reaksjonsfunksjon (duopol):

$q_i = \frac{a - c}{2b} - \frac{q_j}{2}$

Nash-likevekt (symmetrisk):

$q_i^* = q_j^* = \frac{a-c}{3b}$, $\quad Q^* = \frac{2(a-c)}{3b}$, $\quad P^* = \frac{a+2c}{3}$

Eksempel: Cournot-duopol

$P = 120 - Q$, $MC = 30$ for begge bedrifter. Finn Cournot-likevekten.

Løsning:

$q_i^* = \frac{120 - 30}{3 \cdot 1} = \frac{90}{3} = 30$

Cournot-formel med $a=120$, $c=30$, $b=1$

$Q^* = 2 \cdot 30 = 60$

$P^* = 120 - 60 = 60$ (eller $\frac{120 + 60}{3} = 60$)

$\pi_i = (60 - 30) \cdot 30 = 900$

Bertrand-modellen (simultant pris)

Homogene produkter: Bedrifter velger pris simultant. Kunder kjøper fra billigste tilbyder. Nash-likevekt: $P_1 = P_2 = MC$ (Bertrand-paradokset). To bedrifter gir FK-utfallet!

Differensierte produkter: Hver bedrift har noe markedsmakt → $P > MC$. Resultatet ligner mer på Cournot.

Stackelberg-modellen (sekvensielt kvantum)

Lederen velger først, følgeren observerer og tilpasser seg.

Stackelberg-løsning (lineær etterspørsel):

Leder: $q_L = \frac{a-c}{2b}$ (= monopolkvantum!)

Følger: $q_F = \frac{a-c}{4b}$ (= halvparten av Cournot)

Total: $Q = \frac{3(a-c)}{4b}$ (mer enn Cournot)

Lederen får førstetreksfordel: $\pi_L > \pi_F$

Karteller og samarbeid

Et kartell koordinerer for å oppnå monopolutfallet, delt likt: $q_i^{kartell} = \frac{a-c}{4b}$ (halvparten av monopolkvantum). Men karteller er ustabile – hvert medlem har insentiv til å avvike (øke kvantumet), noe som er et fangens dilemma.

Gjentatte spill og samarbeid

I uendelig gjentatte spill kan samarbeid opprettholdes med trigger-strategier (f.eks. «grim trigger»: samarbeid inntil noen avviker, deretter straff for alltid).

Samarbeid er mulig hvis diskonteringsfaktoren er høy nok:

$\delta \geq \frac{\pi_{avvik} - \pi_{sam}}{\pi_{avvik} - \pi_{straff}}$

Eksempel: Kritisk diskonteringsfaktor i Cournot

Med $P = 120 - Q$, $MC = 30$: $\pi_{sam} = 1012{,}5$ (kartell), $\pi_{Cournot} = 900$ (Nash), $\pi_{avvik} = 1139{,}06$. Finn kritisk $\delta$.

Løsning:

$\delta \geq \frac{1139{,}06 - 1012{,}5}{1139{,}06 - 900} = \frac{126{,}56}{239{,}06} \approx 0{,}53$

Samarbeid er mulig hvis bedriftene er tilstrekkelig tålmodige ($\delta \geq 0{,}53$).

Rangering av modellutfall (pris, lavest til høyest):

Bertrand (homogent) $\leq$ Fullkommen konkurranse $<$ Stackelberg $<$ Cournot $<$ Kartell = Monopol

Kvantumet rangeres omvendt: høyest i FK/Bertrand, lavest i monopol/kartell.

Vanlige feil: Å forveksle Cournot (simultant kvantum) med Bertrand (simultant pris) – de gir svært ulike resultater med homogene produkter. Og å tro at kartellutfallet er Nash-likevekt – det er nettopp poenget at hvert kartellmedlem har insentiv til å avvike.

Eksamenstips: For matrisespill: sjekk systematisk alle celler for avviksinsentiver (understrekmetoden). For Cournot: finn reaksjonsfunksjonene og sett inn i hverandre, eller bruk snarveiformlene. For Stackelberg: sett følgerens reaksjonsfunksjon inn i lederens profittfunksjon. Husk rangeringen av modellene.

Studieguide: Spillteori og oligopol

Studieguide: Spillteori og oligopol