Grunnideen bak RDD

Regresjonsdiskontinuitet (RDD) utnytter situasjoner der behandling tildeles basert på om en running variable $X_i$ er over eller under en terskelverdi $c$. Enheter like over og like under terskelen er tilnærmet like — som i et lokalt randomisert eksperiment.

Sharp RDD:

Behandlingsregelen: $D_i = \mathbf{1}[X_i \geq c]$ (alle over terskelen får behandling, ingen under)

Effekten identifiseres som et hopp i utfallet ved terskelen:

$\tau_{SRD} = \lim_{x \downarrow c} E[Y_i | X_i = x] - \lim_{x \uparrow c} E[Y_i | X_i = x]$

Eksempel: Effekt av stipend på studieresultater

Studenter med snittkarakter over 4,0 får stipend. Running variable: snittkarakter. Terskel: $c = 4{,}0$.

Studenter med 3,99 vs. 4,01 er nesten identiske, men bare sistnevnte får stipend.

Forskjellen i studieresultater rundt terskelen estimerer den kausale effekten av stipendet.

Estimering

Vi estimerer typisk med lokal lineær regresjon rundt terskelen:

$Y_i = \alpha + \tau D_i + \beta_1 (X_i - c) + \beta_2 D_i \cdot (X_i - c) + u_i$

for $|X_i - c| \leq h$, der $h$ er bandbredden.

$\tau$ er RDD-estimatoren — diskontinuiteten i utfallet ved terskelen.

Viktige valg og tester:

Bandbredde ($h$): Smalere $h$ gir mer troverdige estimater (mer lokalt) men større varians. Bruk datadrevne metoder (Imbens & Kalyanaraman, Calonico et al.).

Polynomgrad: Start med lineær — høyere ordens polynom kan gi ustabile estimater.

McCrary-test: Tester om det er unormal opphopning (bunching) av observasjoner like over/under terskelen. Manipulasjon av running variable undergraver RDD-validiteten.

Balansetest: Sjekk at kovariater ikke har diskontinuitet ved terskelen (styrker intern validitet).

Fuzzy RDD

I praksis er terskelen ikke alltid skarp — noen over terskelen får ikke behandling, og noen under kan få den. Fuzzy RDD bruker terskelen som et instrument for faktisk behandling:

$\tau_{FRD} = \frac{\lim_{x \downarrow c} E[Y_i | X_i = x] - \lim_{x \uparrow c} E[Y_i | X_i = x]}{\lim_{x \downarrow c} E[D_i | X_i = x] - \lim_{x \uparrow c} E[D_i | X_i = x]}$

Dette er en lokal Wald-estimator — hoppet i $Y$ delt på hoppet i $D$ ved terskelen. Tolkes som LATE for compliers nær terskelen.

Forutsetninger og validitet

Kontinuitet: $E[Y_i(0)|X_i=x]$ og $E[Y_i(1)|X_i=x]$ er kontinuerlige i $x$ ved $c$
Ingen manipulasjon: Enheter kan ikke presist kontrollere sin plassering rundt terskelen
Ingen andre diskontinuiteter: Ingen andre politikker endres ved terskelen

RDD vs. andre metoder

RDD har svært sterk intern validitet (nær et eksperiment), men begrenset ekstern validitet — effekten gjelder bare for enheter nær terskelen. Den identifiserer en lokal kausal effekt.

Studieguide: Regresjonsdiskontinuitet

Studieguide: Regresjonsdiskontinuitet