Hva kjikvadrattester gjør

Kjikvadrattester brukes på kategoriske data og sammenligner observerte frekvenser $O$ med forventede frekvenser $E$ under nullhypotesen. Testobservatoren er alltid $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$, og store verdier taler mot $H_0$. Fordi alle avvik kvadreres, er testen alltid høyresidig: forkast $H_0$ når $\chi^2$ overstiger kritisk verdi $\chi^2_{\alpha, df}$ (i R: qchisq(1-alfa, df)). På MET4 møter du to varianter.

Variant 1: Uavhengighetstest i krysstabell

Du har to kategoriske variabler i en $r \times c$-krysstabell. $H_0$: variablene er uavhengige; $H_1$: det finnes en sammenheng. Forventet frekvens i hver celle er $E = \frac{\text{radsum} \times \text{kolonnesum}}{n}$, og frihetsgradene er $df = (r-1)(c-1)$.

Eksempel: Bilutleiefirmaet «Bjørkebakken Bilutleie» undersøker om skademeldinger henger sammen med bilklasse. Av 200 småbiler fikk 16 skade, av 200 SUV-er fikk 24 skade. Krysstabellen (skade ja/nei × bilklasse) har marginaler: 40 med skade, 360 uten, 200 per bilklasse. Forventet antall skader per klasse: $E = \frac{40 \times 200}{400} = 20$. Testobservatoren blir $\chi^2 = \frac{(16-20)^2}{20} + \frac{(24-20)^2}{20} + \frac{(184-180)^2}{180} + \frac{(176-180)^2}{180} = 0{,}8 + 0{,}8 + 0{,}089 + 0{,}089 = 1{,}78$. Med $df = (2-1)(2-1) = 1$ er kritisk verdi 3,841 på 5 %-nivå. Siden $1{,}78 < 3{,}841$ (p ≈ 0,18) beholdes $H_0$: dataene gir ikke belegg for at skadefrekvensen avhenger av bilklasse.

Variant 2: Goodness-of-fit-test

Én kategorisk variabel med $k$ kategorier testes mot en oppgitt fordeling $p_1^0, \dots, p_k^0$ — for eksempel uniform fordeling ($p_i = 1/k$) eller en historisk fordeling. Forventet frekvens er $E_i = n p_i^0$ og $df = k - 1$.

Eksempel: «Kavring Bakeri» har historisk solgt fire brødtyper i forholdet 35 %, 30 %, 20 % og 15 %. Etter en ommøblering av butikken selges 400 brød: 118, 138, 90 og 54. Forventet under $H_0$: $E = 140, 120, 80, 60$. Testobservatoren: $\chi^2 = \frac{(118-140)^2}{140} + \frac{(138-120)^2}{120} + \frac{(90-80)^2}{80} + \frac{(54-60)^2}{60} = 3{,}46 + 2{,}70 + 1{,}25 + 0{,}60 = 8{,}01$. Med $df = 3$ er kritisk verdi 7,815, så $H_0$ forkastes så vidt på 5 %-nivå (p ≈ 0,046): salgsfordelingen har endret seg signifikant. Merk hvor nyttig det er å se på cellebidragene — brødtype 1 (bidrag 3,46) trekker mest.

Forutsetninger og fallgruver

Observasjonene må være tilfeldige og uavhengige, hver enhet skal telle i nøyaktig én celle, og tabellen må inneholde antall, ikke prosent (samme andeler med dobbelt så stort utvalg gir dobbelt så stor $\chi^2$). Tommelfingerregelen («rule of five») krever at alle forventede frekvenser er minst 5 — hvis ikke, slå sammen kategorier og beregn nye frihetsgrader. I R varsler chisq.test() med «Chi-squared approximation may be incorrect» når regelen brytes.

Sammenhengen med andelstester

En kjikvadrattest på en 2×2-tabell (uten Yates-korreksjon) er ekvivalent med den tosidige z-testen for to andeler: $\chi^2 = z^2$, og kritiske verdier matcher ($1{,}96^2 = 3{,}841$). Kjikvadrattesten mister imidlertid retningen — skal du teste $H_1: p_1 > p_2$, må du bruke z-testen. Merk at R bruker Yates-korreksjon på 2×2-tabeller som standard; bruk correct = FALSE for å reprodusere håndregningen.

Slik testes temaet på MET4-eksamen

I Del 1 (R) får du typisk et datasett der du skal lage krysstabellen med table(), kjøre chisq.test(), sjekke forutsetningene via $expected og tolke p-verdien i ord. I Del 2 (regning) får du en liten tabell (2×2 eller 2×3) eller en frekvensvektor med oppgitt fordeling, og skal sette opp hypoteser, beregne forventede frekvenser og $\chi^2$ for hånd, finne df, sammenligne med kritisk verdi fra vedlegget og konkludere både statistisk og praktisk. Kjikvadrat dukker opp i 12 av 18 tidligere eksamenssett — og kombineres gjerne med en to-andeler z-test der du skal vise eller utnytte at $\chi^2 = z^2$.

Studieguide: Kjikvadrattester