Grunnideen bak DiD

Difference-in-differences (DiD) er en metode for å estimere kausale effekter av en politikk eller hendelse som rammer noen enheter (behandlingsgruppen) men ikke andre (kontrollgruppen). Metoden sammenligner endringen i utfallet mellom de to gruppene.

DiD-estimatoren (2x2-tilfellet):

$\hat{\delta}_{DiD} = (\bar{Y}_{\text{behandlet, etter}} - \bar{Y}_{\text{behandlet, før}}) - (\bar{Y}_{\text{kontroll, etter}} - \bar{Y}_{\text{kontroll, før}})$

Første differanse fjerner tidskonstante forskjeller mellom gruppene.

Andre differanse fjerner felles tidstrender.

DiD med regresjon

Det grunnleggende 2x2-designet estimeres med:

$Y_{it} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Behandlet}_i + \beta_2 \cdot \text{Etter}_t + \delta \cdot (\text{Behandlet}_i \times \text{Etter}_t) + u_{it}$

Tolkning av koeffisientene:

$\beta_0$: Gjennomsnitt for kontrollgruppen i før-perioden

$\beta_1$: Nivåforskjell mellom gruppene i før-perioden

$\beta_2$: Tidsendring for kontrollgruppen

$\delta$: DiD-estimatoren — den kausale effekten av behandlingen

Eksempel: Effekten av minstelønnsøkning på sysselsetting (Card & Krueger)

New Jersey øker minstelønnen (behandling), Pennsylvania gjør det ikke (kontroll).

$\text{sysselsetting}_{it} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{NJ}_i + \beta_2 \cdot \text{etter}_t + \delta \cdot (\text{NJ}_i \times \text{etter}_t) + u_{it}$

$\hat{\delta}$: endringen i sysselsetting i NJ minus endringen i PA.

Parallelle trender-antagelsen

Den sentrale identifiserende antagelsen: i fravær av behandling ville behandlings- og kontrollgruppen hatt samme trend i utfallet.

$E[Y_{it}(0) | \text{Behandlet}_i = 1] - E[Y_{it}(0) | \text{Behandlet}_i = 0] = \text{konstant over tid}$

Antagelsen kan ikke testes direkte (det kontrafaktiske er uobservert), men vi kan sjekke om trendene var parallelle i før-perioden som indirekte støtte.

Trusler mot DiD-validitet

Ikke-parallelle trender: Gruppene hadde ulike trender allerede før behandling
Anticipation: Enheter endrer atferd i forventning om behandlingen
Spillover: Behandling påvirker også kontrollgruppen
Composition changes: Sammensetningen av gruppene endres over tid

Forskjøvet behandling (staggered DiD)

Når enheter får behandling på ulike tidspunkt, bruker vi toveis faste effekter:

$Y_{it} = \alpha_i + \lambda_t + \delta \cdot D_{it} + u_{it}$

der $\alpha_i$ er enhetsfaste effekter, $\lambda_t$ er tidsfaste effekter, og $D_{it} = 1$ etter behandlingstidspunktet for enhet $i$.

NB: Nyere forskning (Goodman-Bacon, de Chaisemartin & D'Haultfoeuille, Sun & Abraham) viser at TWFE-estimatoren kan gi forventningsskjeve estimater ved heterogene behandlingseffekter over tid.

Event-studie

For å teste parallelle trender og studere dynamikken i behandlingseffekten:

$Y_{it} = \alpha_i + \lambda_t + \sum_{k \neq -1} \delta_k \cdot \mathbf{1}[t - E_i = k] + u_{it}$

der $E_i$ er behandlingstidspunktet. $\delta_k$ for $k < 0$ bør være null (parallelle trender), og $\delta_k$ for $k \geq 0$ viser effekten $k$ perioder etter behandling.

Studieguide: Difference-in-differences