En sannsynlighetsfordeling beskriver alle mulige verdier en stokastisk variabel kan ta, og sannsynligheten for hver verdi.

Diskrete fordelinger

Forventningsverdi og varians (diskret):

$E(X) = \mu = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$

$\text{Var}(X) = \sigma^2 = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i) = E(X^2) - [E(X)]^2$

Binomisk fordeling $X \sim \text{Bin}(n, p)$:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, for $k = 0, 1, \ldots, n$

$E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$

Bruksområde: Antall suksesser i $n$ uavhengige forsøk med konstant sannsynlighet $p$.

Poisson-fordeling $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$:

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$, for $k = 0, 1, 2, \ldots$

$E(X) = \lambda$, $\text{Var}(X) = \lambda$

Bruksområde: Antall hendelser per tidsenhet/areal når hendelsene er sjeldne og uavhengige.

Kontinuerlige fordelinger

Normalfordelingen $X \sim N(\mu, \sigma^2)$:

Standardisering: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$

$P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$

68-95-99,7-regelen: ca. 68 % av observasjonene ligger innenfor $\mu \pm \sigma$, 95 % innenfor $\mu \pm 2\sigma$, 99,7 % innenfor $\mu \pm 3\sigma$.

t-fordelingen:

Brukes når $\sigma$ er ukjent og estimeres med $s$. Frihetsgrader: $df = n - 1$.

Minner om normalfordelingen, men har tykkere haler. Nærmer seg $N(0,1)$ når $n \to \infty$.

Regneregler for forventning og varians

Lineære kombinasjoner:

$E(aX + b) = aE(X) + b$

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$

For uavhengige $X$ og $Y$:

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Eksempel: Binomisk fordeling

En undersøkelse viser at 40 % av forbrukerne foretrekker merkevare A. I et tilfeldig utvalg på 10 forbrukere, hva er sannsynligheten for at nøyaktig 5 foretrekker A?

$X \sim \text{Bin}(10;\; 0{,}40)$

$P(X = 5) = \binom{10}{5} (0{,}40)^5 (0{,}60)^5 = 252 \cdot 0{,}01024 \cdot 0{,}07776 \approx 0{,}2007$

Sannsynligheten er ca. 20,1 %.

Eksempel: Normalfordelingen

Vekten til produkter fra en fabrikk er normalfordelt med $\mu = 500$ g og $\sigma = 10$ g. Finn sannsynligheten for at et tilfeldig produkt veier mellom 485 og 515 gram.

$P(485 \le X \le 515) = P\left(\frac{485-500}{10} \le Z \le \frac{515-500}{10}\right) = P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5)$

$= \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = 0{,}9332 - 0{,}0668 = 0{,}8664$

Sannsynligheten er ca. 86,6 %.

Hypergeometrisk fordeling

Trekking uten tilbakelegging:

$P(X = k) = \dfrac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ der $N$ = populasjon, $M$ = antall «spesielle», $n$ = utvalg.

$E[X] = n\frac{M}{N}$. Når $N \gg n$ (tommelfingerregel $n/N < 5{-}10\,\%$) er fordelingen tilnærmet binomisk.

Tilnærminger mellom fordelinger

Normaltilnærming til binomisk:

Når $np(1-p)$ er stor: $P(X \le k) \approx G\left(\frac{k - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$.

Heltallskorreksjon: bruk $k + 0{,}5$ i telleren — hele «søylen» ved $k$ skal med: $P(X \le k) \approx G\left(\frac{k + 0{,}5 - np}{\sigma}\right)$. Viktigst når $\sigma$ er liten.

Poissontilnærming til binomisk:

Når $n$ er stor og $p$ er liten («sjeldne hendelser»): $X \approx \text{Poisson}(\lambda = np)$.

For svært skjeve fordelinger (liten $p$) er Poissontilnærmingen ofte langt bedre enn normaltilnærmingen — sammenlikn gjerne begge.

Husk også: en sum av uavhengige Poissonvariabler er eksakt Poisson med summen av parametrene.

Eksempel: Tilnærminger i praksis (eksamenstypisk)

En nettbutikk har 8 000 besøkende en gitt dag, og hver besøkende kjøper et bestemt produkt med sannsynlighet $p = 0{,}00125$, uavhengig av hverandre. La $X$ være antall solgte produkter. Finn $P(X \le 4)$.

Eksakt: $X \sim \text{Bin}(8000;\, 0{,}00125)$ med $E[X] = np = 10$ og $\text{Var}[X] = np(1-p) \approx 9{,}99$.

Normaltilnærming (uten korreksjon): $P(X \le 4) \approx G\left(\frac{4-10}{\sqrt{9{,}99}}\right) = G(-1{,}90) \approx 2{,}9\,\%$.

Poissontilnærming: $X \approx \text{Poisson}(10)$: $P(X \le 4) = \sum_{k=0}^{4} \frac{10^k e^{-10}}{k!} \approx 2{,}9\,\%$ — men ved enda mer ekstreme haleverdier avviker de to, og Poisson er den treffsikre her fordi fordelingen er skjev.

Poeng: Ved liten $p$ og stor $n$: bruk Poisson. Normaltilnærmingen er best nær sentrum av fordelingen.

Simultanfordeling, kovarians og lineærkombinasjoner

Simultanfordeling (tabell):

Marginalfordelinger: summer over rader/kolonner: $P_X(x) = \sum_y P(X{=}x, Y{=}y)$.

Kovarians: $\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$. Uavhengighet krever $E[XY] = E[X]E[Y]$ — sjekk dette i tabelloppgaver.

Lineærkombinasjoner (porteføljeform):

$E[aX_1 + bX_2] = aE[X_1] + bE[X_2]$ (alltid).

$\text{Var}[aX_1 + bX_2] = a^2\text{Var}[X_1] + b^2\text{Var}[X_2]$ (ved uavhengighet; ellers $+\,2ab\,\text{Cov}$).

Lineærkombinasjoner av normalfordelte variabler er normalfordelte.

Eksempel: Porteføljeverdi (eksamenstypisk)

Du kjøper 800 aksjer i selskap A (dagens kurs 250 kr) og 500 i selskap B (dagens kurs 400 kr). Kursene om ett år, $X_1$ og $X_2$, antas uavhengige med $E[X_1] = 270$, $E[X_2] = 430$, $\text{Var}[X_1] = 900$ og $\text{Var}[X_2] = 1600$. Porteføljeverdien er $V = 800X_1 + 500X_2$.

$E[V] = 800 \cdot 270 + 500 \cdot 430 = 216\,000 + 215\,000 = 431\,000$ kr.

$\text{Var}[V] = 800^2 \cdot 900 + 500^2 \cdot 1600 = 576 \cdot 10^6 + 400 \cdot 10^6 = 976 \cdot 10^6$, så $\sigma[V] \approx 31\,241$ kr.

Er kursene normalfordelte, er $V$ normalfordelt: $P(V > 470\,000) = 1 - G\left(\frac{470\,000 - 431\,000}{31\,241}\right) = 1 - G(1{,}25) \approx 10{,}6\,\%$.

Studieguide: Sannsynlighetsfordelinger

Studieguide: Sannsynlighetsfordelinger