Modelldiagnostikk handler om å sjekke om forutsetningene for regresjonsmodellen er oppfylt — med grafiske verktøy. Brudd på forutsetningene gir upålitelige standardfeil, tester og prediksjonsintervaller, selv når $R^2$ er høy.

Forutsetningene for regresjonsmodellen

Modellen $Y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i$ forutsetter at feilleddene:

1. har forventning null og sammenhengen er lineær,

2. har konstant varians $\sigma^2$ (homoskedastisitet),

3. er uavhengige av hverandre,

4. er normalfordelte.

Residualanalyse — verktøykassen

Fire standardplott (kommenter alle på eksamen):

Residualer mot predikerte verdier/x: Ideelt jevn, symmetrisk spredning rundt null. Buet mønster = manglende linearitet. Traktform = heteroskedastisitet.

Residualer mot tid/observasjonsrekkefølge: Sykler, trender eller lange løp med samme fortegn = korrelerte feilledd (typisk i tidsrekker).

Normalskår-plott (Q-Q): Punktene skal ligge på en tilnærmet rett linje. S-form = skjevhet, avvik i endene = tunge haler.

Histogram av residualene: Skal likne en symmetrisk klokkeform.

Heteroskedastisitet

Diagnose og konsekvens:

Spredningen i residualene vokser med nivået — vanlig når variasjonen er prosentvis (kurser, omsetning, forbruk).

Koeffisientestimatene er fortsatt forventningsrette, men standardfeil, t-tester og intervaller blir upålitelige.

Botemiddel i MET2: logaritmisk transformasjon av responsvariabelen — prosentvis variasjon blir da konstant.

Korrelerte feilledd (autokorrelasjon)

Økonomiske tidsrekker har treghet: nabomålinger likner hverandre. Ser du «bølger» i residualplottet mot tid, er uavhengighetsforutsetningen brutt.

Konsekvens: standardfeilene undervurderes, og prediksjonsintervaller blir for smale — spesielt farlig ved prediksjoner frem i tid.

Transformasjoner

To arbeidshester:

Log-lineær ($\ln Y$ mot $t$): for eksponentiell vekst (renters rente). Helningen $\beta$ er tilnærmet vekstraten per periode.

Log-log ($\ln Q$ mot $\ln p$): helningen er en elastisitet — %-endring i $Q$ per %-endring i $p$. Svarer til modellen $Q = Kp^{\beta}U$.

Tilbaketransformasjon med halv-varians-korreksjon:

Hvis $\ln Y = \gamma + \beta x + \varepsilon$ med $\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)$, er $E[Y] = e^{\gamma + \beta x + \frac{1}{2}\sigma^2}$.

Den naive prediksjonen $e^{\hat{\gamma} + \hat{\beta}x}$ undervurderer forventningen — legg til $\frac{1}{2}S^2$ i eksponenten når forventningsverdien skal predikeres.

Uteliggere og innflytelsesrike observasjoner

Uteligger i y-retning: stort residual — punktet ligger langt fra linjen.

Ekstremt punkt i x-retning: fungerer som vektstang og kan dra hele linjen mot seg, selv med lite residual.

Undersøk årsaken (målefeil? spesiell hendelse?), estimer med og uten punktet, og fjern aldri uten faglig begrunnelse.

Kritisk vurdering av prediksjoner

Vurder alltid: (1) Er $x_0$ innenfor dataområdet? Ekstrapolasjon hviler på udokumentert modellform, og usikkerheten $(x_0-\bar{x})^2/M$ vokser raskt. (2) Kan underliggende forhold endre seg (sesong som snur, regimeskifte i markedet)? (3) Kan spredningen vokse med nivået?

Eksempel: Diagnostikk og log-transformasjon (eksamenstypisk)

Verdien av et fond er observert daglig i 90 dager. Kursen stiger med stadig sterkere vekst (konveks profil). En lineær regresjon av kurs mot tid gir $R^2 = 87\,\%$, men residualplottet viser en tydelig U-form og økende spredning.

Vurdering: U-formen viser at en rett linje systematisk bommer (manglende linearitet), og trakten viser heteroskedastisitet. Høy $R^2$ redder ikke modellen.

Tiltak: Prosentvis vekst tilsier eksponentiell modell. Kjør regresjonen $\ln X_t = \gamma + \beta t + \varepsilon$. Anta at den gir $\widehat{\ln X} = 3{,}80 + 0{,}012t$ med $S = 0{,}25$ og fine residualplott.

Prediksjon av forventet kurs ved $t = 100$: $\hat{X} = e^{3{,}80 + 0{,}012 \cdot 100 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}25^2} = e^{5{,}03} \approx 153$

Uten halv-varians-leddet: $e^{5{,}00} \approx 148$ — en systematisk undervurdering av forventningen.

Studieguide: Modelldiagnostikk

Studieguide: Modelldiagnostikk