Lagrange-optimering

Ofte vil vi optimere en funksjon under en bibetingelse. For eksempel: maksimer nytten $U(x,y)$ gitt budsjettbetingelsen $p_1 x + p_2 y = m$. Lagranges metode er standardverktøyet for dette.

Metoden

Lagranges metode

Maksimer/minimer $f(x,y)$ gitt $g(x,y) = c$.

Sett opp Lagrange-funksjonen:

$$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(g(x, y) - c)$$

Løs systemet:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = f_x - \lambda g_x = 0$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = f_y - \lambda g_y = 0$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(g(x,y) - c) = 0$

Tolkning av $\lambda$

Lagrangemultiplikatoren $\lambda$ er skyggeprisen: den angir hvor mye den optimale verdien av målfunksjonen endres dersom bibetingelsen endres med én enhet.

Eksempel: Hvis $\lambda = 0{,}5$ i en nyttemaksimeringsoppgave, betyr det at én ekstra krone i budsjett gir $0{,}5$ ekstra nytte.

Eksempel: Nyttemaksimering

Maksimer $U(x,y) = x^{0,5}y^{0,5}$ gitt $2x + 4y = 100$.

$\mathcal{L} = x^{0,5}y^{0,5} - \lambda(2x + 4y - 100)$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0{,}5 x^{-0,5}y^{0,5} - 2\lambda = 0$ → $\lambda = \frac{0{,}5 x^{-0,5}y^{0,5}}{2}$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0{,}5 x^{0,5}y^{-0,5} - 4\lambda = 0$ → $\lambda = \frac{0{,}5 x^{0,5}y^{-0,5}}{4}$

Sett lik: $\frac{y}{2} = \frac{x}{4} \Rightarrow y = \frac{x}{2}$. Sett inn i bibetingelsen: $2x + 4 \cdot \frac{x}{2} = 100 \Rightarrow 4x = 100 \Rightarrow x = 25, y = 12{,}5$.

Studieguide: Lagrange-optimering