Integrasjon

Integrasjon er «omvendt derivasjon». Gitt en marginalfunksjon kan vi integrere for å finne totalfunksjonen. I tillegg brukes bestemte integraler til å beregne arealer og økonomiske størrelser som konsumentoverskudd.

Grunnleggende integrasjonsregler

Sentrale regler

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (for $n \neq -1$)
$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$
$\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$
$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

Bestemt integral og areal

Det bestemte integralet $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ gir arealet mellom grafen og $x$-aksen (med fortegn).

Konsument- og produsentoverskudd

Konsumentoverskudd (KO) ved likevektspris $p^*$ og mengde $x^*$:

$$KO = \int_0^{x^*} p(x)\,dx - p^* \cdot x^*$$

Produsentoverskudd (PO):

$$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} MC(x)\,dx$$

Eksempel

Gitt marginalkostnad $MC(x) = 3x + 10$ og faste kostnader $FK = 200$:

$C(x) = \int (3x + 10)\,dx = \frac{3}{2}x^2 + 10x + C$

Med $C(0) = 200$: $C(x) = 1{,}5x^2 + 10x + 200$.

Substitusjon

For mer komplekse integraler brukes substitusjon: sett $u = g(x)$, da er $du = g'(x)\,dx$.

Eksempel: $\int 2xe^{x^2}\,dx$. Sett $u = x^2$, $du = 2x\,dx$: $\int e^u\,du = e^u + C = e^{x^2} + C$.

Studieguide: Integrasjon