Differensiallikninger

En differensiallikning (DL) er en likning som inneholder en funksjon og dens deriverte. De brukes til å modellere dynamiske prosesser — for eksempel befolkningsvekst, kapitaldepressiering eller prisjustering over tid.

Separable differensiallikninger

En separabel DL kan skrives som $\frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$. Løsningsmetode:

Separer: $\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$
Integrer begge sider
Løs for $y$ hvis mulig

Lineære førsteordens DL

Form: $y' + P(x)y = Q(x)$

Spesialtilfelle: $y' + ay = b$ (konstante koeffisienter)

Generell løsning: $y(t) = Ce^{-at} + \frac{b}{a}$

Med initialbetingelse $y(0) = y_0$: $C = y_0 - \frac{b}{a}$

Likevekt: $y^* = \frac{b}{a}$ (stabil når $a > 0$)

Eksponentiell vekst og forfall

$\frac{dy}{dt} = ky$ har løsning $y(t) = y_0 e^{kt}$:

$k > 0$: eksponentiell vekst
$k < 0$: eksponentiell forfall (depressiering)

Eksempel

Kapital $K$ depressierer med rate $\delta = 0{,}05$ og investeres med rate $I = 10$:

$K' = I - \delta K = 10 - 0{,}05K$

Likevekt: $K^* = \frac{10}{0{,}05} = 200$

Generell løsning: $K(t) = (K_0 - 200)e^{-0{,}05t} + 200$

Uansett startverdi $K_0$ konvergerer kapitalen mot 200 over tid.

Studieguide: Differensiallikninger

Studieguide: Differensiallikninger