Derivasjon

Den deriverte $f'(x)$ angir den momentane endringsraten til $f(x)$. I økonomi tolkes dette som marginalkostnad, marginalinntekt eller marginal nytte, avhengig av kontekst.

Grunnleggende derivasjonsregler

Sentrale regler

Potensregelen: $(x^n)' = nx^{n-1}$
Eksponentialregelen: $(e^x)' = e^x$, $(e^{kx})' = ke^{kx}$
Logaritmeregelen: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
Produktregelen: $(fg)' = f'g + fg'$
Kvotientregelen: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
Kjerneregelen: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Andrederivert og krumning

Andrederiverten $f''(x)$ forteller om funksjonen er konkav ($f'' < 0$) eller konveks ($f'' > 0$):

$f''(x) > 0$: konveks (smiler) — et stasjonært punkt er minimum
$f''(x) < 0$: konkav (sur) — et stasjonært punkt er maksimum
$f''(x) = 0$: mulig vendepunkt — sjekk fortegnskifte

Eksempel: Marginalkostnad

Gitt totalkostnad $C(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$:

Marginalkostnad: $MC = C'(x) = x + 10$

Ved $x = 50$: $MC = 60$ kr per enhet. Dette betyr at den 51. enheten koster ca. 60 kr ekstra å produsere.

Elastisitet

Priselastisitet for etterspørsel:

$$\varepsilon = \frac{dQ}{dp} \cdot \frac{p}{Q}$$

Elastisk ($|\varepsilon| > 1$): prisøkning gir lavere inntekt. Uelastisk ($|\varepsilon| < 1$): prisøkning gir høyere inntekt.

Studieguide: Derivasjon

Studieguide: Derivasjon