Algebra og funksjoner

Solide algebraiske ferdigheter er avgjørende for å mestre resten av pensum. Du må beherske omforming av uttrykk, løsning av likninger og ulikheter, samt kjenne egenskapene til de viktigste funksjonstypene.

Sentrale funksjonstyper

De viktigste funksjonstypene i kurset:

Polynomfunksjoner: $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$
Rasjonale funksjoner: $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ der $P$ og $Q$ er polynomer
Eksponentialfunksjoner: $f(x) = a \cdot e^{kx}$ — sentral i vekstmodeller
Logaritmiske funksjoner: $f(x) = \ln(x)$ — invers til eksponentialfunksjonen
Potensfunksjoner: $f(x) = x^a$ — opptrer i Cobb-Douglas-funksjoner

Logaritmeregler

Grunnregel: Logaritmer

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$
$\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$
$\ln(a^r) = r \ln a$
$e^{\ln a} = a$ og $\ln(e^x) = x$

Løsning av likninger

Andregradsformelen brukes hyppig:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ avgjør antall løsninger: to reelle ($D > 0$), én dobbeltrot ($D = 0$), eller ingen reelle løsninger ($D < 0$).

Eksempel

Løs $2x^2 - 5x + 2 = 0$:

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$$

Altså $x = 2$ eller $x = \frac{1}{2}$.

Ulikheter

Ved multiplikasjon eller divisjon med et negativt tall snur ulikhetstegnet. For rasjonale ulikheter bruker vi fortegnslinje:

Eksempel: Løs $\frac{x-1}{x+2} > 0$. Kritiske verdier: $x = 1$ og $x = -2$. Løsning: $x < -2$ eller $x > 1$.

Studieguide: Algebra og funksjoner

Studieguide: Algebra og funksjoner