Grunnleggende opsjoner

Opsjonspayoff og put-call-paritet

Call payoff: \$\max(S_T - K, 0)\$. Put payoff: \$\max(K - S_T, 0)\$.

Put-call-paritet: \$C + \frac{K}{(1+r)^T} = P + S\$

Fem verdidrivere for call: \$S\$ ↑, \$K\$ ↓, \$T\$ ↑, \$\sigma\$ ↑, \$r\$ ↑.

Binomisk modell

Risikonøytral prising

Risikonøytral sannsynlighet: \$p = \frac{(1+r) - d}{u - d}\$

\$C = \frac{p \cdot C_u + (1-p) \cdot C_d}{1+r}\$

Eksempel: Binomisk opsjonsprising (1 periode)

Aksjen er 100 kr i dag. Den kan stige til 120 kr (\$u = 1{,}2\$) eller falle til 90 kr (\$d = 0{,}9\$). Risikofri rente er 5 %. Finn verdien av en call med innløsningskurs \$K = 105\$ kr.

\$C_u = \max(120 - 105{,}\; 0) = 15\$ kr

\$C_d = \max(90 - 105{,}\; 0) = 0\$ kr

\$p = \frac{1{,}05 - 0{,}9}{1{,}2 - 0{,}9} = \frac{0{,}15}{0{,}3} = 0{,}5\$

\$C = \frac{0{,}5 \cdot 15 + 0{,}5 \cdot 0}{1{,}05} = \frac{7{,}5}{1{,}05} = 7{,}14\$ kr

Den risikonøytrale sannsynligheten (0,5) er IKKE den faktiske sannsynligheten for oppgang — den er konstruert slik at diskontering med risikofri rente gir riktig pris.

Black-Scholes

Black-Scholes-formelen

\$C = S_0 N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)\$

\$d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\$, \$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}\$

Forward, futures og hedging

Forward: OTC, skreddersydd, motpartsrisiko. Futures: børs, standardisert, clearinghouse.

Dekket renteparitet: \$F = S(1+r_{hjem})/(1+r_{utland})\$

Realopsjoner: utsettelse (call), utvidelse (call), avvikling (put).

Studieguide: Opsjonsteori og derivater

Studieguide: Opsjonsteori og derivater