Hvorfor lagerstyring er et optimeringsproblem

Lager koster penger på to motstridende måter. Bestiller du sjelden og stort, blir ordrekostnaden (fast kostnad per bestilling) lav, men du binder mye kapital i et stort gjennomsnittslager. Bestiller du ofte og lite, blir lageret lavt, men de mange bestillingene koster. Lagerstyring handler om å finne ordrestørrelsen som balanserer disse to – og det er nettopp det EOQ-modellen gjør.

EOQ-modellen

La $D$ være årlig etterspørsel, $S$ kostnad per ordre og $H$ lagerkostnad per enhet per år (ofte $H=i\cdot p$, der $i$ er en holdingrate og $p$ er stykkprisen). Med jevn etterspørsel er gjennomsnittslageret $Q/2$ og antall ordrer $D/Q$, så den totale årlige styringskostnaden er

$$TC(Q)=\underbrace{\frac{D}{Q}S}_{\text{ordrekostnad}}+\underbrace{\frac{Q}{2}H}_{\text{lagerkostnad}}.$$

Denne U-formede kurven minimeres der de to leddene er like store, som gir det økonomiske ordrekvantumet

$$Q^*=\sqrt{\frac{2DS}{H}},\qquad TC^*=\sqrt{2DSH}.$$

Fordi $Q^*\propto\sqrt{D}$, $\propto\sqrt{S}$ og $\propto1/\sqrt{H}$, er modellen robust: en feil på 20 % i $S$ gir bare ca. 10 % feil i $Q^*$, og siden TC-kurven er flat rundt bunnen, koster moderate avvik svært lite. Det gjør det trygt å avrunde til praktiske kvanta.

Eksempel 1 – EOQ for Nordkjøp

Nettbutikken Nordkjøp selger $D=4000$ enheter i året av en vare. Hver bestilling koster $S=100$ kr, og lagerkostnaden er $H=5$ kr per enhet per år. Da er

$$Q^*=\sqrt{\frac{2\cdot4000\cdot100}{5}}=\sqrt{160000}=400\text{ enheter}.$$

Antall ordrer blir $D/Q^*=10$ per år, og med 250 arbeidsdager bestiller de hver 25. dag. Ordrekostnaden er $(D/Q)S=10\cdot100=1000$ kr og lagerkostnaden $(Q/2)H=200\cdot5=1000$ kr – like store, som ventet – slik at $TC^*=2000$ kr. Bestiller Nordkjøp av praktiske grunner 500 om gangen, blir $TC=(4000/500)\cdot100+(500/2)\cdot5=800+1250=2050$ kr, altså bare 2,5 % dyrere.

Bestillingspunkt og sikkerhetslager

EOQ sier hvor mye du bestiller; bestillingspunktet (ROP) sier når. Uten usikkerhet bestiller du når lageret dekker forbruket i ledetiden: $ROP=d\cdot L$, der $d$ er daglig etterspørsel og $L$ ledetiden i dager. Er etterspørselen usikker, legger du til et sikkerhetslager

$$SS=z\cdot\sigma_d\cdot\sqrt{L},\qquad ROP=d\cdot L+SS.$$

Her er $\sigma_d$ standardavviket i daglig etterspørsel og $z$ servicegradfaktoren ($z=1{,}28$ for 90 %, $1{,}645$ for 95 %, $1{,}96$ for 97,5 %, $2{,}33$ for 99 %). Kvadratroten $\sqrt{L}$ kommer av at variansen over $L$ uavhengige dager summeres til $L\sigma_d^2$.

Eksempel 2 – bestillingspunkt med usikkerhet

Nordkjøp har $d=16$ enheter/dag og ledetid $L=5$ dager. Forventet ledetidsetterspørsel er $16\cdot5=80$. Daglig etterspørsel har standardavvik $\sigma_d=4$, og de vil ha 95 % servicegrad ($z=1{,}645$):

$$SS=1{,}645\cdot4\cdot\sqrt{5}=1{,}645\cdot4\cdot2{,}236\approx14{,}7\approx15,\qquad ROP=80+15=95.$$

Nordkjøp bestiller altså 400 nye enheter (EOQ) hver gang lageret faller til 95. Vil de heve servicegraden til 99 %, øker sikkerhetslageret med faktoren $2{,}33/1{,}645\approx1{,}42$ – høyere service koster uforholdsmessig mye.

Kvantumsrabatt

Når leverandøren gir lavere stykkpris for større ordrer, må innkjøpskostnaden $D\cdot p$ inn i regnestykket: $TC=D\,p+(D/Q)S+(Q/2)H$. Framgangsmåten er: for hvert prissteg, bruk EOQ hvis den er gyldig i steget, ellers nærmeste tillatte grense; regn total $TC$ (inkl. innkjøp) for hver kandidat og velg lavest. Eksempel: $D=4000$, $S=100$, $H=20\%$ av pris, med 25 kr under 500, 24 kr for 500–999 og 23 kr for 1000+. Da blir $TC$ ved 400@25 = 102 000, 500@24 = 98 000 og 1000@23 = 94 700 kr. Den lavere prisen sparer nok på innkjøp til at det lønner seg å bestille 1000, langt over EOQ.

Slik testes temaet på BED4-eksamen

Typiske oppgaver ber deg (1) regne ut EOQ, antall ordrer, sykluslengde og totalkostnad fra oppgitte $D$, $S$, $H$; (2) sette opp bestillingspunkt med og uten sikkerhetslager for en gitt servicegrad; (3) sammenligne totalkostnad ved kvantumsrabatt; og (4) drøfte følsomhet – hva skjer med EOQ når $D$, $S$ eller $H$ endres, og hvorfor er svaret robust? Kontrollregn alltid at ordrekostnad = lagerkostnad i optimum, og knytt servicegrad/sikkerhetslager til avveiningen mellom lagerkostnad og tapt salg.

Studieguide: Lagerstyring og EOQ