Fra lineær til ikke-lineær optimering

Så lenge både målfunksjon og bibetingelser er lineære, løses problemet med Simplex LP. Men mange bedriftsøkonomiske beslutninger har krumme mål: porteføljerisiko avhenger kvadratisk av vektene, og profitt avhenger kvadratisk (eller potens-formet) av prisen. Da må vi bruke GRG Nonlinear (Generalized Reduced Gradient) i Analytic Solver. Et ledd er ikke-lineært når det inneholder kvadrater ($P^2$), produkter av beslutningsvariabler ($w_iw_j$) eller potenser ($P^{-e}$). GRG er en gradientmetode: den følger de partielle deriverte til nærmeste punkt der gradienten er null – et lokalt optimum.

Markowitz-porteføljen

En portefølje beskrives av vektene $w_i$ (andelen i hvert aktivum). Forventet avkastning er lineær i vektene, $E[r_p] = w^T\mu = \sum_i w_i\mu_i$, mens risikoen er kvadratisk: porteføljevariansen er $\sigma_p^2 = w^T\Sigma w$, der $\Sigma$ har variansene $\sigma_i^2$ på diagonalen og kovariansene $\text{Cov}(i,j)=\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$ utenfor. For to aktiva: $\sigma_p^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2w_Aw_B\rho\sigma_A\sigma_B$. Kryssleddet fanger diversifiseringen – jo lavere korrelasjon, desto lavere porteføljerisiko for gitt avkastning. Standardmodellen minimerer $\sigma_p^2$ under budsjettbibetingelsen $\sum w_i = 1$, ofte med et avkastningskrav $w^T\mu \ge r^*$ og en no-short-betingelse $w_i \ge 0$.

Eksempel 1 – to aktiva, min-varians (Analytic Solver)

Fondet Fjord Energi har $\sigma_E = 0{,}20$ og Kystbank har $\sigma_B = 0{,}10$, med korrelasjon $0{,}30$. Kovariansen er $\text{Cov} = 0{,}30\cdot0{,}20\cdot0{,}10 = 0{,}006$. Minimum-varians-vekten (lukket form) er $w_E = \frac{\sigma_B^2-\text{Cov}}{\sigma_E^2+\sigma_B^2-2\text{Cov}} = \frac{0{,}01-0{,}006}{0{,}04+0{,}01-0{,}012} = \frac{0{,}004}{0{,}038} \approx 0{,}105$, altså 10,5 % i Fjord Energi og 89,5 % i Kystbank. Porteføljens standardavvik blir da ca. 9,79 %. Solver-oppsett: variabelceller = de to vektene; målcelle = $w^T\Sigma w$ (=MMULT(MMULT(TRANSPONER(w);Sigma);w)) som minimeres; bibetingelse SUMMER(vekter)=1; hak av «Make Unconstrained Variables Non-Negative»; motor GRG Nonlinear. Til sammenligning er det veide snittet av standardavvikene ved 60/40-vekting 16 %, mens faktisk porteføljestd er 13,74 % – en diversifiseringsgevinst på ca. 2,26 prosentpoeng.

Effisient front og avkastningskrav

Legger vi til kravet $w^T\mu \ge r^*$ og øker $r^*$ trinnvis, sporer vi ut den effisiente fronten: for hvert avkastningsnivå den lavest mulige risikoen. For tre fond (Fjord Energi 8 %, Nordlys Tech 13 %, Kystbank 5 %) gir den globale minimum-varians-porteføljen std 6,70 % og avkastning 5,48 %. Krever vi 9 % avkastning, stiger std til 13,06 %, og avkastningsbetingelsen blir bindende ($w^T\mu = 0{,}0900$ nøyaktig). Poenget: høyere forventet avkastning må «kjøpes» med høyere risiko. Fordi $\Sigma$ er positiv definit (alle egenverdier > 0), er $w^T\Sigma w$ konveks, og problemet har ett globalt optimum uansett startpunkt.

Eksempel 2 – prisoptimering med ikke-lineær etterspørsel

Nordfjord Bryggeri står overfor etterspørselen $Q = 8000 - 40P$ og har enhetskostnad 60 kr. Profitten $\pi = (P-60)(8000-40P) = -40P^2 + 10400P - 480000$ er kvadratisk. Førsteordensbetingelsen $\pi'(P) = 10400 - 80P = 0$ gir $P^* = \frac{a+bc}{2b} = \frac{8000+40\cdot60}{80} = 130$ kr, med $Q^* = 2800$ og profitt 196 000 kr. Andrederiverte $\pi'' = -80 < 0$ bekrefter at det er et maksimum. Merk at den rene inntektstoppen ligger ved $P = a/(2b) = 100$ kr; profittprisen er høyere fordi den tar hensyn til kostnaden. Ved konstant priselastisitet $Q = AP^{-e}$ er optimal pris i stedet $P^* = \frac{ce}{e-1}$ – for Kornmo bakeri med $c=80$ og $e=2{,}5$ blir det 133,3 kr, et påslag på $\frac{1}{e-1}=66{,}7\%$ over kost. Her kreves $e>1$; ved uelastisk etterspørsel ($e\le1$) finnes ikke noe indre optimum.

Lokale vs. globale optima og Multistart

Er problemet ikke-konvekst – for eksempel en profittfunksjon med sesongsvingende etterspørsel eller krysseffekter mellom produkter – kan det ha flere lokale optima. Da avhenger GRG sitt svar av startpunktet: en kjøring av en svingende profittmodell (Setermat) ga optimal pris 200 kr fra startpunkt 60, men ca. 148 kr med klart høyere profitt fra startpunkt 90 og 150. Løsningen er å bruke Multistart, som kjører GRG fra mange spredte startpunkter og beholder den beste. For konvekse problemer (som min-varians) er dette unødvendig; for ikke-konvekse er det uunnværlig.

Slik testes temaet på BED4-eksamen

En typisk oppgave gir deg avkastninger, varianser og korrelasjoner og ber deg (1) sette opp Markowitz-modellen (variabler, mål, bibetingelser), (2) finne den globale min-varians-porteføljen og/eller et punkt på effisient front med et gitt avkastningskrav, og (3) tolke en vedlagt Solver-rapport – hvilke vekter, hvilken risiko, hvilke betingelser er bindende. Prisoppgaver ber deg formulere profitten, finne optimal pris analytisk (1. og 2. ordens) og bekrefte med Solver. Drøftingsdelen handler nesten alltid om lokale vs. globale optima, valg av motor (hvorfor ikke Simplex LP?), konveksitet og bruk av Multistart. Regn alltid ut tallene, og kommentér løsningen i kontekst.

Studieguide: Ikke-lineær optimering og porteføljevalg

Studieguide: Ikke-lineær optimering og porteføljevalg