Beslutninger under usikkerhet

Der optimeringsmodellene i BED4 antar kjente data, handler dette temaet om beslutninger når fremtiden er usikker. Grunnstrukturen er en beslutningstabell: radene er handlingsalternativene du kan velge, kolonnene er naturtilstandene du ikke styrer (f.eks. lav/middels/høy etterspørsel), og hver celle er utfallet (payoff). Skiller man mellom risiko (kjente sannsynligheter for tilstandene) og ren usikkerhet (ukjente sannsynligheter) får man to sett med kriterier. I Analytic Solver bygges dette som beslutningstrær og simuleringsmodeller.

EMV og kriterier uten sannsynlighet

Med kjente sannsynligheter er forventet pengeverdi standardverktøyet: $\text{EMV}=\sum_j p_j\,x_j$, og en risikonøytral beslutningstaker velger høyest EMV.

Eksempel (Kystlinjen). Ferjeselskapet vurderer tre kapasiteter mot lav/middels/høy etterspørsel (sannsynlighet 0,25/0,45/0,30), utfall i mill. kr:

Alternativ	Lav	Middels	Høy	EMV
Liten	80	80	80	80,0
Middels	50	120	120	102,5
Stor	10	90	180	97,0

Middels har høyest EMV (102,5) – f.eks. $0{,}25\cdot50+0{,}45\cdot120+0{,}30\cdot120=102{,}5$. Uten sannsynligheter brukes andre kriterier: maximin (best av verste utfall) velger Liten, maximax (best av beste) velger Stor, og minimax-regret velger Middels. Angre-tabellen (kolonnens beste minus utfallet) gir maks regret 100/60/70, så minimax-regret minimerer til Middels (60). At kriteriene spriker viser hvor mye risikoholdning betyr.

Beslutningstrær og verdien av informasjon

Et beslutningstre tegner beslutninger (firkanter) og sjansehendelser (sirkler) i rekkefølge, og løses ved å rulle tilbake: sjansenoder får sin EMV, beslutningsnoder velger beste gren.

Eksempel (Nordkjøp). En produktlansering gir 600 (suksess, $p=0{,}45$) eller −250 (fiasko), i 1000 kr. EMV for lansering er $0{,}45\cdot600+0{,}55\cdot(-250)=132{,}5>0$, så uten mer info lanserer man. Verdien av perfekt informasjon er EVPI $=\text{EVwPI}-\text{beste EMV}$; for Kystlinjen er $\text{EVwPI}=\sum_j p_j\max_a x_{aj}=128$, så $\text{EVPI}=128-102{,}5=25{,}5$ mill. – taket for hva en analyse er verdt.

En imperfekt markedstest vurderes med Bayes' regel. Med $P(\text{Pos}|S)=0{,}8$, $P(\text{Pos}|F)=0{,}3$ blir $P(\text{Pos})=0{,}525$ og posterior $P(S|\text{Pos})=0{,}36/0{,}525=0{,}686$. Ruller man treet gir det EMV med test 174,75, altså EVSI $=174{,}75-132{,}5=42{,}25$. Koster testen 40, er nettoverdien 2,25 – så vidt lønnsomt. Alltid $0\le\text{EVSI}\le\text{EVPI}$.

Simulering og risiko

Når usikkerheten er kontinuerlig, brukes Monte Carlo-simulering: trekk tilfeldige verdier for hver usikker input fra en fordeling, regn utfallet, og gjenta mange tusen ganger. For el-sykkelfabrikken Vindpil (pris 12 000, variabel kost $\sim N(7000,600)$, etterspørsel $\sim N(1500,250)$, faste 6,5 mill.) gir 100 000 trekninger med numpy og seed=42 forventet resultat ≈ 1,01 mill., standardavvik ≈ 1,55 mill. og $P(\text{tap})\approx26{,}9\ \%$. Et rent deterministisk estimat med forventede input gir 1,00 mill., men skjuler at over en fjerdedel av utfallene er negative. En fast seed gjør resultatene reproduserbare.

Risikoaversjon og sikkerhetsekvivalent

EMV er bare optimalt for en risikonøytral. En risikoavers beslutningstaker har konkav nyttefunksjon og maksimerer forventet nytte. Sikkerhetsekvivalenten CE er det sikre beløpet med samme nytte som loddet ($U(\text{CE})=\text{E}[U]$), og risikopremien er $\text{EMV}-\text{CE}$. For et lodd 1000/0 (50/50) med $U(x)=1-e^{-x/500}$ blir $\text{EU}=0{,}4323$, $\text{CE}=-500\ln(0{,}5677)=283{,}11$, altså risikopremie $500-283{,}11=216{,}89$.

Hvordan temaet testes på BED4-eksamen

Typiske oppgaver ber deg fylle ut en beslutningstabell, beregne EMV for hvert alternativ og anvende maximin/maximax/minimax-regret, og forklare hvorfor de kan gi ulike svar. Videre skal du tegne og rulle tilbake et beslutningstre, ofte med et 'test eller ikke test'-ledd som krever Bayes-oppdatering, og regne EVPI og EVSI for å vurdere om informasjon er verdt kostnaden. Simuleringsoppgaver ber deg tolke Analytic Solver-utskrifter (forventning, standardavvik, $P(\text{tap})$, persentiler) og sammenligne med et deterministisk estimat. Til slutt kommer gjerne en drøfting av risikoaversjon: beregn en sikkerhetsekvivalent og forklar risikopremien.

Studieguide: Beslutningsanalyse, beslutningstrær og simulering

Studieguide: Beslutningsanalyse, beslutningstrær og simulering