4.1 Kostnad, inntekt og overskudd | Matematikk S1

Økonomiske funksjoner og deres sammenhenger.

55 min

16 oppgaver

KostnadsfunksjonInntektsfunksjonOverskuddsfunksjonEnhetskostnad

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Økonomiske funksjoner

I økonomien bruker matematikk til å analysere bedrifters kostnader, inntekter og overskudd. Ved å uttrykke disse som funksjoner av produksjonsmengden $x$ , kan vi finne optimal produksjon og gjøre økonomiske beslutninger basert på matematisk analyse.

Kostnadsfunksjonen

En bedrift har kostnader knyttet til produksjonen. Disse kan deles inn i to typer:

- Faste kostnader: Kostnader som ikke avhenger av produksjonsmengden (husleie, forsikring, lønn til fast ansatte)
- Variable kostnader: Kostnader som øker med produksjonsmengden (råvarer, strøm til produksjon)

Kostnadsfunksjon

K(x)

✏️Eksempel 1: Kostnadsfunksjon

En bedrift produserer sykler. Kostnadene kan beskrives med funksjonen:

$K(x) = 0{,}1x^2 + 200x + 50000$

der $x$ er antall sykler som produseres, og $K(x)$ er kostnadene i kroner.

a) Hva er de faste kostnadene?
b) Hva koster det å produsere 100 sykler?
c) Hva koster det å øke produksjonen fra 100 til 101 sykler?

Løsning:

a) De faste kostnadene er konstantleddet i kostnadsfunksjonen:
$\text{Faste kostnader} = 50000 \text{ kr}$

b) Vi setter inn $x = 100$ :
$K(100) = 0{,}1 \cdot 100^2 + 200 \cdot 100 + 50000$
$K(100) = 0{,}1 \cdot 10000 + 20000 + 50000$
$K(100) = 1000 + 20000 + 50000 = 71000 \text{ kr}$

c) Vi finner først $K(101)$ :
$K(101) = 0{,}1 \cdot 101^2 + 200 \cdot 101 + 50000$
$K(101) = 0{,}1 \cdot 10201 + 20200 + 50000$
$K(101) = 1020{,}1 + 20200 + 50000 = 71220{,}1 \text{ kr}$

Kostnaden ved å øke produksjonen fra 100 til 101 sykler:
$K(101) - K(100) = 71220{,}1 - 71000 = 220{,}1 \text{ kr}$

📝Oppgave 1

En møbelbedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}05x^2 + 150x + 30000$ der $x$ er antall stoler produsert og $K(x)$ er kostnadene i kroner.

Hva er de faste kostnadene?

Finn kostnadene ved å produsere 200 stoler.

Finn kostnadene ved å produsere 201 stoler.

Hva koster det å øke produksjonen fra 200 til 201 stoler?

Løs oppgaven Tren

Inntektsfunksjonen

Når bedriften selger varene sine, får den inntekter. Dersom prisen per enhet er konstant, blir inntektsfunksjonen lineær.

Inntektsfunksjon

I(x)

✏️Eksempel 2: Inntektsfunksjon

Sykkelbedriften fra eksempel 1 selger syklene for 3500 kr per stykk.

a) Sett opp inntektsfunksjonen $I(x)$ .
b) Hva blir inntektene ved salg av 100 sykler?
c) Hvor mange sykler må selges for å få 700 000 kr i inntekt?

Løsning:

a) Prisen er $p = 3500$ kr per sykkel. Inntektsfunksjonen blir:
$I(x) = 3500x$

b) Vi setter inn $x = 100$ :
$I(100) = 3500 \cdot 100 = 350000 \text{ kr}$

c) Vi løser likningen $I(x) = 700000$ :
$3500x = 700000$
$x = \frac{700000}{3500} = 200$

Det må selges 200 sykler.

📝Oppgave 2

Møbelbedriften fra oppgave 1 selger stolene for 800 kr per stykk.

Sett opp inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Finn inntektene ved salg av 200 stoler.

Hvor mange stoler må selges for å få 240 000 kr i inntekt?

Løs oppgaven Tren

Overskuddsfunksjonen

Overskuddet er differansen mellom inntektene og kostnadene. Dette er det bedriften sitter igjen med etter at alle kostnader er betalt.

Overskuddsfunksjon

O(x)

✏️Eksempel 3: Overskuddsfunksjon

Bruk sykkelbedriften fra eksempel 1 og 2:
- $K(x) = 0{,}1x^2 + 200x + 50000$
- $I(x) = 3500x$

a) Finn overskuddsfunksjonen $O(x)$ .
b) Finn overskuddet ved produksjon og salg av 100 sykler.
c) Ved hvilken produksjonsmengde går bedriften i null?

Løsning:

a) Overskuddsfunksjonen:
$O(x) = I(x) - K(x)$
$O(x) = 3500x - (0{,}1x^2 + 200x + 50000)$
$O(x) = 3500x - 0{,}1x^2 - 200x - 50000$
$O(x) = -0{,}1x^2 + 3300x - 50000$

b) Vi setter inn $x = 100$ :
$O(100) = -0{,}1 \cdot 100^2 + 3300 \cdot 100 - 50000$
$O(100) = -1000 + 330000 - 50000 = 279000 \text{ kr}$

c) Nullpunkt: $O(x) = 0$
$-0{,}1x^2 + 3300x - 50000 = 0$

Vi ganger med $-10$ :
$x^2 - 33000x + 500000 = 0$

ABC-formelen:
$x = \frac{33000 \pm \sqrt{33000^2 - 4 \cdot 500000}}{2}$
$x = \frac{33000 \pm \sqrt{1089000000 - 2000000}}{2}$
$x = \frac{33000 \pm \sqrt{1087000000}}{2}$
$x = \frac{33000 \pm 32970}{2}$

$x_1 = \frac{33000 - 32970}{2} = 15 \quad \text{eller} \quad x_2 = \frac{33000 + 32970}{2} = 32985$

Bedriften går i null ved produksjon av 15 sykler eller 32985 sykler.

📝Oppgave 3

Bruk møbelbedriften fra oppgave 1 og 2:
- $K(x) = 0{,}05x^2 + 150x + 30000$
- $I(x) = 800x$

Finn overskuddsfunksjonen $O(x)$ .

Finn overskuddet ved produksjon og salg av 200 stoler.

Finn nullpunktene til overskuddsfunksjonen (avrund til nærmeste hele tall).

Løs oppgaven Tren

Enhetskostnad

Enhetskostnaden forteller oss hvor mye det i gjennomsnitt koster å produsere én vare. Denne er viktig for prissetting og lønnsomhetsvurderinger.

Enhetskostnad

E(x)

✏️Eksempel 4: Enhetskostnad

Sykkelbedriften har $K(x) = 0{,}1x^2 + 200x + 50000$ .

a) Finn enhetskostnaden $E(x)$ .
b) Finn enhetskostnaden ved produksjon av 100 sykler.
c) Finn enhetskostnaden ved produksjon av 500 sykler.
d) Hva skjer med enhetskostnaden når produksjonen øker?

Løsning:

a) Enhetskostnaden:
$E(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{0{,}1x^2 + 200x + 50000}{x}$
$E(x) = 0{,}1x + 200 + \frac{50000}{x}$

b) For $x = 100$ :
$E(100) = 0{,}1 \cdot 100 + 200 + \frac{50000}{100}$
$E(100) = 10 + 200 + 500 = 710 \text{ kr per sykkel}$

c) For $x = 500$ :
$E(500) = 0{,}1 \cdot 500 + 200 + \frac{50000}{500}$
$E(500) = 50 + 200 + 100 = 350 \text{ kr per sykkel}$

d) Når produksjonen øker, synker leddet $\displaystyle \frac{50000}{x}$ (de faste kostnadene per enhet). Samtidig øker leddet $0{,}1x$ (som representerer økende variable kostnader per enhet). For denne bedriften synker enhetskostnaden først, men vil etter hvert øke igjen på grunn av $0{,}1x$ -leddet.

📝Oppgave 4

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 80x + 20000$ .

Finn enhetskostnaden $E(x)$ .

Finn enhetskostnaden ved produksjon av 100 enheter.

Finn enhetskostnaden ved produksjon av 1000 enheter.

Løs oppgaven Tren

Sammenheng mellom funksjonene:

Funksjon	Formel	Beskriver
$K(x)$	Kostnadsfunksjon	Totale kostnader
$I(x)$	$p \cdot x$	Totale inntekter
$O(x)$	$I(x) - K(x)$	Overskudd/profitt
$E(x)$	$\displaystyle \frac{K(x)}{x}$	Gjennomsnittskostnad

📝Oppgave 5

En bedrift produserer lamper. Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}005x^2 + 50x + 10000$ kroner, og salgsprisen er 150 kr per lampe.

Sett opp inntektsfunksjonen.

Sett opp overskuddsfunksjonen.

Finn overskuddet ved produksjon og salg av 2000 lamper.

Finn enhetskostnaden ved produksjon av 2000 lamper.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

En kafé har faste kostnader på 15 000 kr i måneden og variable kostnader på 25 kr per kopp kaffe. De selger kaffe for 55 kr per kopp.

Sett opp kostnadsfunksjonen $K(x)$ der $x$ er antall kopper kaffe.

Sett opp inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Sett opp overskuddsfunksjonen $O(x)$ .

Hvor mange kopper kaffe må selges for at kaféen skal gå i null?

Hva blir overskuddet hvis de selger 1000 kopper kaffe?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

En teknologibedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}5x^2 + 100x + 40000$ der $x$ er antall produkter. Salgsprisen er 300 kr per produkt.

Sett opp overskuddsfunksjonen $O(x)$ .

Finn overskuddet ved produksjon og salg av 100 produkter.

Finn overskuddet ved produksjon og salg av 200 produkter.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}04x^2 + 60x + 8000$ .

Finn enhetskostnaden $E(x)$ .

Beregn enhetskostnaden for $x = 50, 100, 200, 400$ .

Ved hvilken produksjonsmengde er enhetskostnaden lavest? (Bruk derivasjon)

📝Oppgave 9

En bedrift har faste kostnader på 50 000 kr og variable kostnader som kan beskrives med $V(x) = 0{,}02x^2 + 30x$ der $x$ er produksjonsmengden. Salgsprisen er 100 kr per enhet.

Sett opp den totale kostnadsfunksjonen $K(x)$ .

Sett opp overskuddsfunksjonen $O(x)$ .

Finn de to produksjonsmengdene der bedriften går i null.

For hvilke produksjonsmengder går bedriften med overskudd?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Et bakeri har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}01x^2 + 20x + 5000$ og selger brød for 50 kr per stykk.

Finn overskuddsfunksjonen.

Bestem ved hvilken produksjonsmengde overskuddet er størst. (Bruk derivasjon)

Finn det maksimale overskuddet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

En bedrift produserer T-skjorter. Tabellen viser kostnader og inntekter for ulike produksjonsmengder:

$x$	$K(x)$	$I(x)$
0	10000	0
100	15000	12000
200	22000	24000
300	31000	36000
400	42000	48000

Hva er de faste kostnadene?

Hva er salgsprisen per T-skjorte?

Beregn overskuddet for hver produksjonsmengde i tabellen.

Mellom hvilke produksjonsmengder går bedriften i null?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

En bedrift vurderer to ulike produksjonsmetoder:

Metode A: $K_A(x) = 0{,}1x^2 + 50x + 20000$
Metode B: $K_B(x) = 0{,}05x^2 + 100x + 10000$

Hvilken metode har lavest faste kostnader?

Ved hvilken produksjonsmengde er kostnadene like for begge metodene?

Hvilken metode er billigst ved produksjon av 500 enheter?

Løs oppgaven Tren

Økonomiske funksjoner

I økonomien bruker matematikk til å analysere bedrifters kostnader, inntekter og overskudd. Ved å uttrykke disse som funksjoner av produksjonsmengden

x

, kan vi finne optimal produksjon og gjøre økonomiske beslutninger basert på matematisk analyse.

Kostnadsfunksjonen

En bedrift har kostnader knyttet til produksjonen. Disse kan deles inn i to typer:

Løsning:

a) Overskuddsfunksjonen:
$O(x) = I(x) - K(x)$
$O(x) = 3500x - (0{,}1x^2 + 200x + 50000)$
$O(x) = 3500x - 0{,}1x^2 - 200x - 50000$
$O(x) = -0{,}1x^2 + 3300x - 50000$

b) Vi setter inn $x = 100$ :
$O(100) = -0{,}1 \cdot 100^2 + 3300 \cdot 100 - 50000$
$O(100) = -1000 + 330000 - 50000 = 279000 \text{ kr}$

c) Nullpunkt: $O(x) = 0$
$-0{,}1x^2 + 3300x - 50000 = 0$

Vi ganger med $-10$ :
$x^2 - 33000x + 500000 = 0$

$x_1 = \frac{33000 - 32970}{2} = 15 \quad \text{eller} \quad x_2 = \frac{33000 + 32970}{2} = 32985$

Bedriften går i null ved produksjon av 15 sykler eller 32985 sykler.

Funksjon

Formel

Beskriver

K(x)

Kostnadsfunksjon

Totale kostnader

I(x)

p \cdot x

Totale inntekter

O(x)

I(x) - K(x)

Overskudd/profitt

E(x)

\displaystyle \frac{K(x)}{x}

Gjennomsnittskostnad

x

K(x)

I(x)

10000

100

15000

12000

200

22000

24000

300

31000

36000

400

42000

48000