Ekstremalpunkter, monotoniegenskaper og optimering.
Mange praktiske problemer handler om å finne den beste løsningen:
- Maksimere fortjeneste eller areal
- Minimere kostnader eller materialbruk
- Finne den mest effektive løsningen
Derivasjon gir oss et kraftig verktøy for å løse slike problemer.
1. Les problemet og identifiser hva som skal optimaliseres (mål-funksjonen)
2. Definer variabler og sett opp en funksjon for målet
3. Finn eventuelle betingelser som begrenser variablene
4. Uttrykk målfunksjonen med én variabel ved å bruke betingelsene
5. Derivér og finn stasjonære punkter
6. Avgjør om det er maksimum eller minimum (bruk andrederivat eller sjekk endepunkter)
7. Svar på spørsmålet i oppgaven
Du har 40 meter gjerde og skal lage et rektangulært innhegning mot en vegg (veggen er den ene siden). Hvilke dimensjoner gir størst areal?
Betingelse: Gjerdelengden er (tre sider)
Dermed:
Målfunksjon: Arealet
Derivasjon: gir
Sjekk: , så dette er et maksimum.
Svar: m og m.
Dimensjonene er 20 m × 10 m med maksimalt areal 200 m².
En boks uten lokk skal ha volum 32 dm³. Bunnen er kvadratisk. Hvilke dimensjoner gir minst materialbruk?
Betingelse: Volum , så
Målfunksjon: Overflate
Derivasjon:
Høyde:
Sjekk: for alle , så minimum.
Svar: Dimensjonene er 4 dm × 4 dm × 2 dm.
- Tegn en skisse av situasjonen
- Velg variabler fornuftig og definer dem tydelig
- Sjekk at svaret gir mening i konteksten
- Husk å sjekke endepunktene hvis funksjonen er definert på et lukket intervall
Løs oppgavene:
Summen av to positive tall er 20. Finn tallene som gir maksimalt produkt.
Løs oppgavene:
Finn det tallet som er minst mulig større enn kvadratet sitt. (Finn minimum for )
Løs oppgavene:
Et rektangel har omkrets 24 cm. Finn dimensjonene som gir størst areal.
Løs oppgavene:
En ball kastes rett opp med høyde meter. Finn maksimal høyde.
Løs oppgavene:
En bonde skal gjerde inn et rektangulært område på 600 m². Hva er minste gjerdelengde?
Løs oppgavene:
En sylinder skal ha volum 1 liter = 1000 cm³. Finn radius og høyde som gir minst overflate.
Løs oppgavene:
Fortjeneste ved salg av enheter er kr. Finn antall enheter som gir maksimal fortjeneste.
Løs oppgavene:
Et vindu har form som et rektangel med en halvsirkel på toppen. Omkretsen er 6 m. Finn dimensjonene som gir maksimalt lysareal.
Løs oppgavene:
Et A4-ark (21 × 29,7 cm) skal brettes til en eske uten lokk ved å kutte like store kvadrater fra hjørnene. Finn størrelsen på kvadratene for maksimalt volum.
Løs oppgavene:
Finn punktet på parabelen som ligger nærmest punktet .
Løs oppgavene:
En kjegle skal omslutteg en kule med radius . Finn forholdet mellom høyde og grunnflateradius som gir minst volum på kjeglen.
Løs oppgavene:
Et firma selger enheter til pris kr per enhet. Kostnadene er . Finn antall enheter som gir maksimal fortjeneste.