3.3 Derivasjonsregler | Matematikk S1

Regler for å derivere summer, produkter og kvotienter.

65 min

20 oppgaver

SumregelProduktregelKvotientregelKjerneregel

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Sammensatte funksjoner

En sammensatt funksjon er en funksjon inni en annen funksjon, for eksempel $f(x) = (2x + 3)^4$ eller $g(x) = e^{x^2}$ .

For å derivere slike funksjoner bruker vi kjerneregelen (også kalt kjederegelen).

📜Kjerneregelen

Hvis

f(x) = g(u(x))

er en sammensatt funksjon der

u(x)

er den indre funksjonen (kjernen), så er:

f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)

Med andre ord: Derivér den ytre funksjonen og multipliser med den deriverte av kjernen.

I Leibniz' notasjon: $\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

✏️Potens av lineært uttrykk

Deriver $f(x) = (3x + 1)^5$ .

u = 3x + 1

(kjernen).
Da er

f(x) = u^5

Ytre funksjon derivert: $(u^5)' = 5u^4$
Kjernen derivert: $u' = 3$

$f'(x) = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4$

✏️Eksponentialfunksjon med kjerne

Deriver $f(x) = e^{2x+1}$ .

u = 2x + 1

(kjernen).
Da er

f(x) = e^u

Ytre funksjon derivert: $(e^u)' = e^u$
Kjernen derivert: $u' = 2$

$f'(x) = e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}$

✏️Logaritme med kjerne

Deriver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ .

u = x^2 + 1

(kjernen).
Da er

f(x) = \ln(u)

Ytre funksjon derivert: $\displaystyle (\ln u)' = \frac{1}{u}$
Kjernen derivert: $u' = 2x$

$f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Vanlige tilfeller med kjerneregelen

Funksjon	Derivert
$[u(x)]^n$	$n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$
$e^{u(x)}$	$e^{u(x)} \cdot u'(x)$
$a^{u(x)}$	$a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$
$\ln(u(x))$	$\displaystyle \frac{u'(x)}{u(x)}$

✏️Kvadratrot

Deriver $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$ .

Skriv om:

f(x) = (x^2 - 4x)^{1/2}

La $u = x^2 - 4x$ (kjernen).
$u' = 2x - 4$

$f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 4x)^{-1/2} \cdot (2x - 4)$
$= \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x}}$
$= \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x}}$

1. Identifiser den ytre funksjonen og kjernen (indre funksjon)
2. Derivér den ytre funksjonen (behold kjernen uendret)
3. Multipliser med den deriverte av kjernen
4. Forenkle hvis mulig

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = (x + 2)^3$ .

Deriver $g(x) = (2x - 1)^4$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = e^{3x}$ .

Deriver $g(x) = e^{-x}$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = \ln(2x)$ .

Deriver $g(x) = \ln(x + 5)$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = (x^2 + 3)^4$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = e^{x^2}$ .

Deriver $g(x) = e^{-x^2}$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = (3x^2 - 2x + 1)^5$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Deriver $\displaystyle f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2} = (x^2 + 1)^{-2}$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = \ln(\ln x)$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = \sqrt{e^x + e^{-x}}$ .

Funksjon

Derivert

[u(x)]^n

n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)

e^{u(x)}

e^{u(x)} \cdot u'(x)

a^{u(x)}

a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)

\ln(u(x))

\displaystyle \frac{u'(x)}{u(x)}