6.4 Matematisk modellering | Matematikk R2

Modellere reelle situasjoner med funksjoner.

55 min

14 oppgaver

ModelleringFunksjonsvalgValideringTolkning

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Matematisk modellering

Matematisk modellering handler om å bruke matematikk til å beskrive, analysere og forutsi fenomener i den virkelige verden. En matematisk modell er en forenklet representasjon av virkeligheten uttrykt gjennom matematiske uttrykk, ligninger eller funksjoner.

Modellering er sentralt i mange fagfelt:
- Fysikk: Bevegelse, elektrisitet, bølger
- Biologi: Populasjonsvekst, spredning av sykdommer
- Økonomi: Renter, markedsutvikling, kostnader
- Miljø: Klimaendringer, forurensning
- Medisin: Nedbrytning av medisiner, tumorvekst

Modelleringsprosessen

Matematisk modellering følger en systematisk prosess med flere steg:

De fem stegene i modelleringsprosessen

1. Identifisere problemet - Forstå situasjonen og hva vi vil undersøke - Identifisere relevante variabler og sammenhenger 2. Velge modelltype - Bestemme hvilken type funksjon som passer best - Basert på hvordan variablene endrer seg 3. Bestemme parametere - Bruke data til å finne konstanter i modellen - Tilpasse modellen til observasjoner 4. Validere modellen - Sjekke om modellen gir fornuftige resultater - Sammenligne med eksisterende data 5. Tolke og anvende - Bruke modellen til prediksjon - Vurdere begrensninger

Velge riktig funksjonstype

Valget av funksjonstype avhenger av hvordan den avhengige variabelen endrer seg med den uavhengige. Her er de viktigste typene:

Lineær modell

f(x) = ax + b

Eksponentiell modell

f(x) = a \cdot b^x \quad \text{eller} \quad f(x) = a \cdot e^{kx}

Polynommodell

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

Trigonometrisk modell

f(t) = A \sin(\omega t + \varphi) + D

Potensmodell

f(x) = a \cdot x^n

Logistisk modell

f(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}

Eksempler fra virkeligheten

La oss se på hvordan vi modellerer ulike situasjoner med passende funksjonstyper.

✏️Eksempel 1: Taxikostnad (lineær modell)

En taxi tar 50 kr i startgebyr og 15 kr per kilometer.

a) Sett opp en modell for totalkostnaden $K(x)$ som funksjon av kjørt distanse $x$ kilometer.
b) Hva koster en tur på 8 km?
c) Hvor langt kan man kjøre for 200 kr?

Løsning:

a) Kostnaden består av fast del (startgebyr) og variabel del (pris per km):
$K(x) = 50 + 15x$

b) For $x = 8$ km:
$K(8) = 50 + 15 \cdot 8 = 50 + 120 = 170 \text{ kr}$

c) Løser $K(x) = 200$ :
$50 + 15x = 200$
$15x = 150$
$x = 10 \text{ km}$

✏️Eksempel 2: Bakterievekst (eksponentiell modell)

En bakteriekoloni dobler seg hver 3. time. Ved tidspunkt $t = 0$ er det 1000 bakterier.

a) Sett opp en modell for antall bakterier $N(t)$ etter $t$ timer.
b) Hvor mange bakterier er det etter 12 timer?
c) Når er det 1 million bakterier?

Løsning:

a) Bakteriene dobler seg hver 3. time, så vekstfaktoren per time er:
$b = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$

Modellen blir:
$N(t) = 1000 \cdot 2^{t/3}$

eller ekvivalent: $N(t) = 1000 \cdot e^{(\ln 2/3) \cdot t} = 1000 \cdot e^{0{,}231t}$

b) Etter 12 timer:
$N(12) = 1000 \cdot 2^{12/3} = 1000 \cdot 2^4 = 1000 \cdot 16 = 16\,000$

c) Løser $N(t) = 1\,000\,000$ :
$1000 \cdot 2^{t/3} = 1\,000\,000$
$2^{t/3} = 1000$
$\frac{t}{3} = \log_2 1000 = \frac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9{,}97$
$t \approx 29{,}9 \text{ timer}$

✏️Eksempel 3: Radioaktiv nedbrytning (eksponentiell modell)

Karbon-14 har en halveringstid på 5730 år. Et fossilt bein inneholder 25% av den opprinnelige mengden C-14.

a) Sett opp en modell for gjenværende mengde C-14 som funksjon av tid.
b) Hvor gammelt er fossilet?

Løsning:

a) Med halveringstid $T_{1/2} = 5730$ år får vi:
$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$

eller med $e$ -form: $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ der $\displaystyle \lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 0{,}000121$

b) Når $N(t) = 0{,}25 N_0$ :
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730} = 0{,}25 = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$\frac{t}{5730} = 2$
$t = 11\,460 \text{ år}$

Fossilet er ca. 11 500 år gammelt.

✏️Eksempel 4: Kastet bevegelse (polynommodell)

En ball kastes rett opp med starthastighet

v_0 = 20

m/s fra bakkenivå. Høyden over bakken etter

t

sekunder er gitt ved:

h(t) = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 = 20t - 4{,}9t^2

a) Når er ballen på topp?
b) Hva er maksimalhøyden?
c) Når treffer ballen bakken?

Løsning:

a) Toppen nås når $h'(t) = 0$ :
$h'(t) = 20 - 9{,}8t = 0$
$t = \frac{20}{9{,}8} \approx 2{,}04 \text{ s}$

b) Maksimalhøyden:
$h(2{,}04) = 20 \cdot 2{,}04 - 4{,}9 \cdot 2{,}04^2$
$= 40{,}8 - 20{,}4 \approx 20{,}4 \text{ m}$

c) Ballen treffer bakken når $h(t) = 0$ :
$20t - 4{,}9t^2 = 0$
$t(20 - 4{,}9t) = 0$
$t = 0 \text{ (start) eller } t = \frac{20}{4{,}9} \approx 4{,}08 \text{ s}$

✏️Eksempel 5: Årlig temperaturvariasjon (trigonometrisk modell)

Gjennomsnittstemperaturen i en by varierer mellom $-5°C$ i januar og $+15°C$ i juli. La $t$ være månedsnummer ( $t = 1$ for januar).

a) Bestem parameterne $A$ , $\omega$ , $\varphi$ og $D$ for modellen $T(t) = A\sin(\omega t + \varphi) + D$ .
b) Hva er modellert temperatur i april ( $t = 4$ )?

Løsning:

a)
- Middelverdi: $\displaystyle D = \frac{-5 + 15}{2} = 5°C$
- Amplitude: $\displaystyle A = \frac{15 - (-5)}{2} = 10°C$
- Periode: 12 måneder, så $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$
- Faseforskyvning: Minimum i januar ( $t = 1$ ), så:
- For sinus: minimum når argumentet er $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$
- $\displaystyle \frac{\pi}{6} \cdot 1 + \varphi = -\frac{\pi}{2}$
- $\displaystyle \varphi = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3}$

Modellen:
$T(t) = 10\sin\left(\frac{\pi t}{6} - \frac{2\pi}{3}\right) + 5$

b) I april ( $t = 4$ ):
$T(4) = 10\sin\left(\frac{4\pi}{6} - \frac{2\pi}{3}\right) + 5 = 10\sin(0) + 5 = 5°C$

✏️Eksempel 6: Keplers tredje lov (potensmodell)

Keplers tredje lov sier at kvadratet av en planets omløpstid $T$ er proporsjonalt med kuben av gjennomsnittlig avstand $r$ fra solen: $T^2 \propto r^3$ .

For jorden er $T = 1$ år og $r = 1$ AU (astronomisk enhet).

a) Sett opp modellen for $T$ som funksjon av $r$ .
b) Mars har gjennomsnittlig avstand 1,52 AU fra solen. Finn omløpstiden.

Løsning:

a) Fra $T^2 = k \cdot r^3$ og jordens data ( $T = 1$ , $r = 1$ ):
$1^2 = k \cdot 1^3 \Rightarrow k = 1$

Altså: $T^2 = r^3$ , som gir:
$T = r^{3/2}$

b) For Mars med $r = 1{,}52$ AU:
$T = (1{,}52)^{3/2} = \sqrt{1{,}52^3} = \sqrt{3{,}51} \approx 1{,}87 \text{ år}$

(Faktisk omløpstid for Mars er 1,88 år - modellen stemmer godt!)

✏️Eksempel 7: Epidemispredning (logistisk modell)

I en by med 50 000 innbyggere starter en epidemi. Antall smittede etter

t

dager modelleres med:

I(t) = \frac{50\,000}{1 + 999 \cdot e^{-0{,}3t}}

a) Hvor mange var smittet ved $t = 0$ ?
b) Når er halvparten av befolkningen smittet?
c) Hva er veksthastigheten ved $t = 20$ dager?

Løsning:

a) Ved $t = 0$ :
$I(0) = \frac{50\,000}{1 + 999 \cdot e^0} = \frac{50\,000}{1000} = 50 \text{ personer}$

b) Halvparten smittet betyr $I(t) = 25\,000$ :
$\frac{50\,000}{1 + 999 \cdot e^{-0{,}3t}} = 25\,000$
$1 + 999 \cdot e^{-0{,}3t} = 2$
$e^{-0{,}3t} = \frac{1}{999}$
$-0{,}3t = \ln\left(\frac{1}{999}\right) = -\ln(999)$
$t = \frac{\ln(999)}{0{,}3} \approx \frac{6{,}91}{0{,}3} \approx 23 \text{ dager}$

c) Veksthastigheten er $I'(t)$ . Ved $t = 20$ :
$I(20) = \frac{50\,000}{1 + 999 \cdot e^{-6}} \approx \frac{50\,000}{1 + 2{,}47} \approx 14\,400$

For logistisk vekst: $\displaystyle I'(t) = r \cdot I(t) \cdot \left(1 - \frac{I(t)}{K}\right)$
$I'(20) = 0{,}3 \cdot 14\,400 \cdot \left(1 - \frac{14\,400}{50\,000}\right) \approx 3070 \text{ nye smittede per dag}$

✏️Eksempel 8: Bestemme parametere fra måledata

En biolog måler veksten til en plantepopulasjon og får følgende data:

Tid (uker)	0	2	4	6
Antall	100	180	320	580

Anta eksponentiell vekst

N(t) = N_0 \cdot e^{kt}

.
a) Bestem

N_0

k

b) Hvor mange planter forventes etter 10 uker?

Løsning:

a) Fra $t = 0$ : $N_0 = 100$

For å finne $k$ , bruk to datapunkter. Med $t = 4$ :
$320 = 100 \cdot e^{4k}$
$e^{4k} = 3{,}2$
$4k = \ln(3{,}2) \approx 1{,}163$
$k \approx 0{,}29$

Sjekk med $t = 6$ :
$N(6) = 100 \cdot e^{0{,}29 \cdot 6} = 100 \cdot e^{1{,}74} \approx 100 \cdot 5{,}7 \approx 570$

Dette stemmer bra med målt verdi 580.

Modellen: $N(t) = 100 \cdot e^{0{,}29t}$

b) Etter 10 uker:
$N(10) = 100 \cdot e^{0{,}29 \cdot 10} = 100 \cdot e^{2{,}9} \approx 100 \cdot 18{,}2 \approx 1820$

✏️Eksempel 9: Avkjøling av kaffe (Newtons avkjølingslov)

En kopp kaffe med temperatur $90°C$ plasseres i et rom med temperatur $20°C$ . Etter 10 minutter er kaffetemperaturen $70°C$ .

Newtons avkjølingslov: $T(t) = T_\infty + (T_0 - T_\infty) \cdot e^{-kt}$

a) Bestem konstanten $k$ .
b) Hva er temperaturen etter 30 minutter?
c) Når er kaffen $40°C$ ?

Løsning:

a) Vi har $T_\infty = 20°C$ og $T_0 = 90°C$ , så:
$T(t) = 20 + 70 \cdot e^{-kt}$

Med $T(10) = 70$ :
$70 = 20 + 70 \cdot e^{-10k}$
$50 = 70 \cdot e^{-10k}$
$e^{-10k} = \frac{5}{7}$
$-10k = \ln\left(\frac{5}{7}\right) \approx -0{,}336$
$k \approx 0{,}0336$

b) Etter 30 minutter:
$T(30) = 20 + 70 \cdot e^{-0{,}0336 \cdot 30} = 20 + 70 \cdot e^{-1{,}01}$
$\approx 20 + 70 \cdot 0{,}364 \approx 20 + 25{,}5 \approx 45{,}5°C$

c) Når $T(t) = 40$ :
$40 = 20 + 70 \cdot e^{-0{,}0336t}$
$20 = 70 \cdot e^{-0{,}0336t}$
$e^{-0{,}0336t} = \frac{2}{7}$
$t = \frac{-\ln(2/7)}{0{,}0336} = \frac{\ln(3{,}5)}{0{,}0336} \approx 37 \text{ minutter}$

✏️Eksempel 10: Bremselengde (polynommodell)

Bremselengden

s

for en bil er tilnærmet proporsjonal med kvadratet av farten

v

s(v) = kv^2

Ved 50 km/t er bremselengden 12 meter.

a) Bestem konstanten $k$ .
b) Finn bremselengden ved 80 km/t.
c) Med hvilken fart kan man kjøre hvis bremselengden ikke skal overstige 50 meter?

Løsning:

a) Med $s(50) = 12$ m:
$12 = k \cdot 50^2 = 2500k$
$k = \frac{12}{2500} = 0{,}0048$

Modellen: $s(v) = 0{,}0048 \cdot v^2$

b) Ved 80 km/t:
$s(80) = 0{,}0048 \cdot 80^2 = 0{,}0048 \cdot 6400 = 30{,}7 \text{ m}$

c) Med $s(v) \leq 50$ :
$0{,}0048 \cdot v^2 \leq 50$
$v^2 \leq \frac{50}{0{,}0048} \approx 10\,417$
$v \leq \sqrt{10\,417} \approx 102 \text{ km/t}$

✏️Eksempel 11: Tidevann (trigonometrisk modell)

Ved en kystby varierer vannstanden mellom 0,5 m og 3,5 m over referansenivået. Perioden er ca. 12,4 timer (halvt månedøgn). Høyvann inntreffer kl. 03:00.

a) Sett opp en modell for vannstanden $h(t)$ der $t$ er timer etter midnatt.
b) Når er det lavvann?
c) Når kan en båt som trenger minst 2 m dybde, seile inn?

Løsning:

a)
- Middelverdi: $\displaystyle D = \frac{0{,}5 + 3{,}5}{2} = 2$ m
- Amplitude: $\displaystyle A = \frac{3{,}5 - 0{,}5}{2} = 1{,}5$ m
- Periode: $T = 12{,}4$ timer, så $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{12{,}4} \approx 0{,}507$
- Høyvann kl. 03:00, så cosinus med forskyvning:

$h(t) = 1{,}5 \cos(0{,}507(t - 3)) + 2$

b) Lavvann når $\cos = -1$ , altså:
$0{,}507(t - 3) = \pi$
$t - 3 = \frac{\pi}{0{,}507} \approx 6{,}2$
$t \approx 9{,}2 \text{ timer}$

Lavvann er ca. kl. 09:12.

c) Trenger $h(t) \geq 2$ :
$1{,}5 \cos(0{,}507(t-3)) + 2 \geq 2$
$\cos(0{,}507(t-3)) \geq 0$

Dette er oppfylt når argumentet er i $\displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ :
$-\frac{\pi}{2} \leq 0{,}507(t-3) \leq \frac{\pi}{2}$
$-3{,}1 \leq t - 3 \leq 3{,}1$
$-0{,}1 \leq t \leq 6{,}1$

Altså fra ca. kl. 00:00 til kl. 06:00 (og tilsvarende 12,4 timer senere).

✏️Eksempel 12: CO2-konsentrasjon (kombinert modell)

Atmosfærisk CO $_2$ -konsentrasjon viser både langsiktig økning og sesongvariasjon. Data fra Mauna Loa viser:
- 1960: ca. 317 ppm
- 2020: ca. 414 ppm
- Årlig variasjon: ca. $\pm 3$ ppm med maksimum i mai

a) Sett opp en modell som inkluderer både trend og sesongvariasjon.
b) Beregn forventet verdi i desember 2025.

Løsning:

a) La $t$ være år etter 1960.

Trend: Tilnærmet eksponentiell, men ofte modellert lineært for kortere perioder:
$\text{Trend}(t) = 317 + 1{,}62t$

(Vekst ca. $\displaystyle \frac{414-317}{60} \approx 1{,}62$ ppm/år)

Sesongvariasjon: Periode 1 år, maksimum i mai (måned 5):
$\text{Sesong}(t) = 3\cos\left(2\pi(t - \frac{4}{12})\right)$

Kombinert modell:
$C(t) = 317 + 1{,}62t + 3\cos\left(2\pi\left(t - \frac{1}{3}\right)\right)$

b) Desember 2025 tilsvarer $t = 65{,}92$ (65 år + 11/12):
$C(65{,}92) = 317 + 1{,}62 \cdot 65{,}92 + 3\cos(2\pi \cdot 65{,}58)$
$\approx 317 + 106{,}8 + 3\cos(0{,}58 \cdot 2\pi)$
$\approx 423{,}8 + 3 \cdot (-0{,}95) \approx 421 \text{ ppm}$

Validere modeller

En modell må testes mot virkeligheten før den kan brukes til prediksjon.

Valideringsmetoder

R^2

✏️Eksempel 13: Validering av modell

Vi har tilpasset modellen $y = 2{,}5x + 3$ til følgende data:

$x$	1	2	3	4	5
$y$ (målt)	5	8	12	13	16

Valider modellen ved å beregne avvik og

R^2

Løsning:

Modellverdier:

$x$	$y$ (målt)	$y$ (modell)	Avvik	Avvik $^2$
1	5	5,5	-0,5	0,25
2	8	8,0	0	0
3	12	10,5	1,5	2,25
4	13	13,0	0	0
5	16	15,5	0,5	0,25

Sum av kvadratiske avvik (SSE):

0{,}25 + 0 + 2{,}25 + 0 + 0{,}25 = 2{,}75

Gjennomsnitt av $y$ :

\displaystyle \bar{y} = \frac{5+8+12+13+16}{5} = 10{,}8

Total variasjon (SST):

\sum(y_i - \bar{y})^2 = 33{,}64 + 7{,}84 + 1{,}44 + 4{,}84 + 27{,}04 = 74{,}8

$R^2$ -verdi:

R^2 = 1 - \frac{\text{SSE}}{\text{SST}} = 1 - \frac{2{,}75}{74{,}8} \approx 0{,}96

$R^2 = 0{,}96$ betyr at modellen forklarer 96% av variasjonen i dataene, som er meget bra.

Begrensninger ved modeller

Alle modeller er forenklinger av virkeligheten og har begrensninger som må vurderes.

Typiske begrensninger

1. Gyldighetsområde - Modeller gjelder bare innenfor et visst intervall - Ekstrapolering (prediksjon utenfor dataområdet) er risikabelt 2. Forenklinger - Modeller ignorerer ofte sekundære faktorer - F.eks. luftmotstand, friksjon, forstyrrelser 3. Antakelser - Eksponentiell vekst forutsetter ubegrensede ressurser - Lineær modell forutsetter konstant endringsrate 4. Måleusikkerhet - Data inneholder alltid målefeil - Modellparametrene blir usikre 5. Endrede betingelser - Forutsetningene kan endre seg over tid - Modellen må oppdateres

Forsiktighet ved ekstrapolering

Å bruke en modell utenfor dataområdet (ekstrapolering) kan gi svært upålitelige resultater.

Eksempel: En lineær modell for befolkningsvekst de siste 10 år kan ikke brukes til å forutsi befolkningen om 100 år - veksten er ikke lineær på lang sikt.

Ekstrapolering kan være nyttig for kortsiktige prediksjoner, men usikkerheten øker raskt med avstanden fra kjente data.

✏️Eksempel 14: Begrensninger ved modell

Modellen $N(t) = 1000 \cdot e^{0{,}1t}$ beskriver veksten i en bakteriekoloni der $t$ er timer.

Diskuter begrensningene ved denne modellen.

Løsning:

1. Gyldighetsområde:
- Modellen gir rimelige verdier for små $t$
- For store $t$ blir tallene urealistisk store:
- $N(100) = 1000 \cdot e^{10} \approx 22$ millioner
- $N(200) = 1000 \cdot e^{20} \approx 485$ milliarder

2. Fysiske begrensninger:
- Bakterier trenger næring og plass
- Avfallsstoffer hoper seg opp
- Ressurser er endelige

3. Bedre modell:
Logistisk vekst tar hensyn til bæreevne:
$N(t) = \frac{K}{1 + (K/N_0 - 1)e^{-rt}}$

4. Tidsavhengighet:
- Eksponentiell vekst gjelder bare i oppstartsfasen
- Modellen bør ha et angitt gyldighetsintervall, f.eks. $0 \leq t \leq 24$ timer

Konklusjon: Modellen er nyttig for å forstå tidlig vekstdynamikk, men må erstattes med en mer realistisk modell for langsiktige prediksjoner.

Oppsummering

Modelleringsprosessen:
1. Identifiser problemet og variablene
2. Velg funksjonstype basert på hvordan systemet oppfører seg
3. Bestem parametere fra data
4. Valider modellen mot virkeligheten
5. Bruk modellen med bevissthet om begrensninger

Funksjonstyper:
- Lineær: Konstant endringsrate
- Eksponentiell: Prosentvis vekst/nedgang
- Polynom: Vendepunkter, optimalitet
- Trigonometrisk: Periodiske fenomener
- Logistisk: Begrenset vekst

Husk:
- Alle modeller er forenklinger
- Ekstrapolering er risikabelt
- Valider alltid mot data

Oppgaver

📝Oppgave 6.4.1

Hvilken funksjonstype passer best for å modellere følgende situasjoner?

Kostnaden for å leie en bil der du betaler en fast døgnavgift pluss en pris per kilometer.

Verdien av en aksje som stiger med 5% per år.

Høyden på en ball som kastes opp i luften.

Antall timer dagslys gjennom året.

📝Oppgave 6.4.2

Et mobilabonnement koster 199 kr/mnd pluss 0,50 kr per MB over inkludert datakvote.

a) Sett opp en modell for månedlig kostnad $K(x)$ som funksjon av ekstra databruk $x$ MB.
b) Hva blir kostnaden hvis du bruker 500 MB over kvoten?
c) Du har budsjett på 350 kr/mnd. Hvor mye ekstra data kan du bruke?

📝Oppgave 6.4.3

En investering på 50 000 kr gir 4% rente per år.

a) Sett opp en modell for beløpet $B(t)$ etter $t$ år.
b) Hva er beløpet etter 10 år?
c) Når har beløpet doblet seg?

📝Oppgave 6.4.4

Et stoff brytes ned i kroppen slik at halvparten er borte etter 6 timer. Startdosen er 400 mg.

a) Sett opp en modell for gjenværende mengde $M(t)$ etter $t$ timer.
b) Hvor mye er igjen etter 15 timer?
c) Når er det mindre enn 50 mg igjen?

Sett opp modellen.

Beregn $M(15)$ .

Finn når $M(t) < 50$ mg.

📝Oppgave 6.4.5

Dybdetemperaturen i en innsjø gjennom året varierer mellom $4°C$ (februar) og $18°C$ (august). La $t$ være månedsnummer ( $t = 1$ for januar).

a) Bestem amplitude, middelverdi og periode for modellen.
b) Sett opp modellen $T(t) = A\cos(\omega(t - \varphi)) + D$ .
c) Hva er modellert temperatur i mai ( $t = 5$ )?

Finn parametrene.

Sett opp modellen.

Beregn $T(5)$ .

📝Oppgave 6.4.6

Følgende data viser sammenhengen mellom en bils fart (km/t) og stopplengde (meter):

Fart	30	50	70	90
Stopplengde	13	28	50	80

a) Plott dataene og avgjør om en lineær eller kvadratisk modell passer best.
b) Tilpass modellen

s(v) = kv^2

og finn

k

c) Beregn forventet stopplengde ved 110 km/t.

Vurder modelltype.

Finn $k$ .

Beregn $s(110)$ .

📝Oppgave 6.4.7

Populasjonen i en by har vokst slik de siste årene (i tusen):

År	2010	2015	2020
Befolkning	45	52	60

a) Anta lineær vekst og finn modellen.
b) Anta eksponentiell vekst og finn modellen.

c) Sammenlign prediksjonene for 2030 med begge modeller.

Lineær modell.

Eksponentiell modell.

Sammenlign for 2030 ( $t = 20$ ).

📝Oppgave 6.4.8

En suppe med temperatur $85°C$ settes i et rom med temperatur $22°C$ . Etter 5 minutter er suppetemperaturen $70°C$ .

a) Sett opp modellen etter Newtons avkjølingslov.
b) Hva er temperaturen etter 15 minutter?
c) Når kan du spise suppen (ved $50°C$ )?

Finn modellen.

Beregn $T(15)$ .

Finn $t$ når $T(t) = 50$ .

📝Oppgave 6.4.9

Et rykte sprer seg i en skole med 800 elever. I starten kjenner 5 elever ryktet. Etter 3 dager kjenner 100 elever det.

Bruk logistisk modell: $\displaystyle R(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}$

a) Bestem $K$ , $C$ og $r$ .
b) Når kjenner halvparten av elevene ryktet?
c) Når sprer ryktet seg raskest?

Finn parametrene.

Finn $t$ når $R(t) = 400$ .

Finn vendepunktet (maksimal spredningshastighet).

📝Oppgave 6.4.10

Strømforbruket i en husholdning varierer gjennom døgnet. Måledata viser:
- Minimumsforbruk: 0,5 kW (kl. 04:00)
- Maksimumsforbruk: 4,5 kW (kl. 19:00)

a) Sett opp en trigonometrisk modell for forbruket $P(t)$ der $t$ er timer etter midnatt.
b) Hva er forbruket kl. 08:00?
c) Når på dagen er forbruket over 3 kW?

Sett opp modellen.

Beregn $P(8)$ .

Finn når $P(t) > 3$ kW.

📝Oppgave 6.4.11

En forsker modellerer sammenhengen mellom kroppsvekt $W$ (kg) og hjertets slagfrekvens $f$ (slag/min) hos pattedyr med potensmodellen $f = aW^b$ .

Data:

Dyr	Vekt (kg)	Puls (slag/min)
Mus	0,03	600
Kanin	2	200
Menneske	70	70

a) Ta logaritmen og vis at

\ln f = \ln a + b \cdot \ln W

.
b) Bruk to datapunkter til å estimere

a

b

.
c) Beregn forventet puls for en elefant (5000 kg).

Logtransformer.

Finn $a$ og $b$ .

Beregn puls for elefant.

📝Oppgave 6.4.12

En fabrikk produserer varer med kostnad $K(x) = 1000 + 50x + 0{,}1x^2$ kroner for $x$ enheter.

a) Finn gjennomsnittskostnaden per enhet $G(x) = K(x)/x$ .
b) Finn produksjonsnivået som minimerer gjennomsnittskostnaden.
c) Vis at ved dette nivået er gjennomsnittskostnad lik marginalkostnad.

Finn $G(x)$ .

Minimer $G(x)$ .

Sammenlign med marginalkostnad.

📝Oppgave 6.4.13

Havnivået i en fjord påvirkes av både tidevann (periode 12,4 timer) og en daglig variasjon (periode 24 timer).

Modell: $\displaystyle h(t) = 0{,}8\cos\left(\frac{2\pi t}{12{,}4}\right) + 0{,}3\cos\left(\frac{2\pi t}{24}\right) + 2$

der $h$ er i meter og $t$ er timer etter midnatt.

a) Hva er havnivået ved midnatt ( $t = 0$ )?
b) Finn tidspunkter de første 12 timene der $h'(t) = 0$ .
c) Hva er maksimalt og minimalt havnivå i løpet av et døgn (tilnærmet)?

Beregn $h(0)$ .

Finn ekstremalpunkter.

Finn ekstremverdier.

📝Oppgave 6.4.14

En modell for global gjennomsnittstemperatur (relativt til 1900) er:

$\displaystyle T(t) = 0{,}006t + 0{,}0001t^2 + 0{,}1\sin\left(\frac{2\pi t}{11}\right)$

der $t$ er år etter 1900. Sinusleddet representerer solsyklusen.

a) Hva predikerer modellen for år 2000 og 2050?
b) Finn gjennomsnittlig temperaturøkning per tiår for perioden 2000-2050.
c) Diskuter minst to begrensninger ved denne modellen.

Beregn $T(100)$ og $T(150)$ .

Finn gjennomsnittlig økning per tiår.

Diskuter begrensninger.

📝Oppgave 6.4.15

Du skal lage en modell for vindkraftverk-effekt. Effekten $P$ avhenger av vindhastigheten $v$ og følger tilnærmet:

$P(v) = \begin{cases} 0 & v < 3 \\ k(v-3)^3 & 3 \leq v \leq 12 \\ P_{\max} & 12 < v < 25 \\ 0 & v \geq 25 \end{cases}$

Vindturbinen har makseffekt $P_{\max} = 2000$ kW ved $v = 12$ m/s.

a) Bestem konstanten $k$ .
b) Hva er effekten ved 8 m/s?
c) Diskuter hvorfor modellen er delt opp slik.

Finn $k$ .

Beregn $P(8)$ .

Forklar modellens struktur.

📝Oppgave 6.4.16

Prosjektoppgave: Modellering av COVID-19-bølge

I en tidlig fase av en epidemi ble følgende data registrert (smittetilfeller per dag):

Dag	1	5	10	15	20	25	30
Tilfeller	10	30	120	400	800	900	850

a) Forklar hvorfor en ren eksponentiell modell ikke passer for hele datasettet.
b) Tilpass en logistisk modell til dataene (bruk regresjon eller manuell tilpasning).

c) Når nådde epidemien toppen ifølge modellen?
d) Diskuter minst tre faktorer som kan gjøre modellen upålitelig.

Hvorfor ikke eksponentiell?

Tilpass logistisk modell.

Finn toppen.

Diskuter usikkerheter.