3.4 Numerisk integrasjon | Matematikk R2

Trapesmetoden og andre tilnærmingsmetoder.

55 min

14 oppgaver

TrapesmetodenNumerisk integrasjonFeilestimater

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Hvorfor numerisk integrasjon?

Når vi skal beregne et bestemt integral $\int_a^b f(x) \, dx$ , prøver vi vanligvis å finne en antiderivert $F(x)$ og bruke analysens fundamentalteorem:

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Men hva gjør vi når vi ikke kan finne en antiderivert? Det finnes mange funksjoner som ikke har en antiderivert uttrykt med elementære funksjoner. Kjente eksempler er:

- $\int e^{-x^2} \, dx$ (viktig i statistikk)
- $\displaystyle \int \frac{\sin x}{x} \, dx$ (signalbehandling)
- $\int \sqrt{1 + x^3} \, dx$ (buepunktsberegninger)

I tillegg kan vi ha funksjoner som bare er kjent gjennom måledata (tabellverdier), uten en eksplisitt formel.

I slike tilfeller bruker vi numerisk integrasjon - metoder som tilnærmer integralet ved å summere bidrag fra mange små områder.

Rektangelmetoden

Den enkleste tilnærmingen til et integral er å dele intervallet $[a, b]$ inn i $n$ like store delintervaller og tilnærme arealet under kurven med rektangler.

Rektangelmetoden

f

✏️Eksempel 1: Venstre rektangelmetode

Bruk venstre rektangelmetode med $n = 4$ delintervaller til å tilnærme $\int_0^2 x^2 \, dx$ .

Sammenlign med den eksakte verdien.

Steg 1: Beregn steglengden

h

h = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{4} = 0{,}5

Steg 2: Finn delepunktene:
$x_0 = 0, \quad x_1 = 0{,}5, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 1{,}5, \quad x_4 = 2$

Steg 3: Beregn funksjonsverdiene (vi bruker $x_0$ til $x_3$ for venstre metode):
$f(x_0) = 0^2 = 0$
$f(x_1) = 0{,}5^2 = 0{,}25$
$f(x_2) = 1^2 = 1$
$f(x_3) = 1{,}5^2 = 2{,}25$

Steg 4: Beregn tilnærmingen:
$\int_0^2 x^2 \, dx \approx h[f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3)]$
$= 0{,}5 \cdot [0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25] = 0{,}5 \cdot 3{,}5 = 1{,}75$

Sammenligning med eksakt verdi:
$\int_0^2 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2{,}667$

Feilen er $\displaystyle \frac{8}{3} - 1{,}75 \approx 0{,}917$ , altså ca. 34% for lite.

📝Oppgave 3.4.1

Bruk høyre rektangelmetode med $n = 4$ delintervaller til å tilnærme $\int_0^2 x^2 \, dx$ .

a) Beregn tilnærmingen.
b) Sammenlign med den eksakte verdien $\displaystyle \frac{8}{3}$ .
c) Blir feilen større eller mindre enn for venstre metode? Forklar hvorfor.

✏️Eksempel 2: Midtpunktmetoden

Bruk midtpunktmetoden med $n = 4$ delintervaller til å tilnærme $\int_0^2 x^2 \, dx$ .

Steg 1: Steglengde:

h = 0{,}5

Steg 2: Midtpunktene i hvert delintervall:
$m_1 = 0 + \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25$
$m_2 = 0{,}5 + \frac{0{,}5}{2} = 0{,}75$
$m_3 = 1 + \frac{0{,}5}{2} = 1{,}25$
$m_4 = 1{,}5 + \frac{0{,}5}{2} = 1{,}75$

Steg 3: Funksjonsverdier i midtpunktene:
$f(0{,}25) = 0{,}0625$
$f(0{,}75) = 0{,}5625$
$f(1{,}25) = 1{,}5625$
$f(1{,}75) = 3{,}0625$

Steg 4: Tilnærming:
$\int_0^2 x^2 \, dx \approx 0{,}5 \cdot [0{,}0625 + 0{,}5625 + 1{,}5625 + 3{,}0625]$
$= 0{,}5 \cdot 5{,}25 = 2{,}625$

Sammenligning: Eksakt verdi er $\displaystyle \frac{8}{3} \approx 2{,}667$ . Feilen er bare $0{,}042$ , altså ca. 1{,}6%.

Midtpunktmetoden gir betydelig bedre resultat enn venstre og høyre metode!

📝Oppgave 3.4.2

Bruk midtpunktmetoden med $n = 5$ delintervaller til å tilnærme $\displaystyle \int_1^6 \frac{1}{x} \, dx$ .

Sammenlign med den eksakte verdien $\ln 6 - \ln 1 = \ln 6 \approx 1{,}792$ .

Trapesmetoden

Rektangelmetoden tilnærmer kurven med horisontale linjer. En naturlig forbedring er å bruke skrå linjer som kobler sammen nabopunkter på kurven. Dette gir trapeser i stedet for rektangler.

Trapesmetoden

f

✏️Eksempel 3: Trapesmetoden

Bruk trapesmetoden med $n = 4$ delintervaller til å tilnærme $\int_0^2 x^2 \, dx$ .

Steg 1: Steglengde:

\displaystyle h = \frac{2-0}{4} = 0{,}5

Steg 2: Delepunkter og funksjonsverdier:

$i$	$x_i$	$f(x_i) = x_i^2$
0	0	0
1	0,5	0,25
2	1	1
3	1,5	2,25
4	2	4

Steg 3: Bruk trapesformelen:

T_4 = \frac{0{,}5}{2}\left[f(0) + 2f(0{,}5) + 2f(1) + 2f(1{,}5) + f(2)\right]

= 0{,}25 \cdot [0 + 2(0{,}25) + 2(1) + 2(2{,}25) + 4]

= 0{,}25 \cdot [0 + 0{,}5 + 2 + 4{,}5 + 4]

= 0{,}25 \cdot 11 = 2{,}75

Sammenligning:

- Eksakt verdi: $\displaystyle \frac{8}{3} \approx 2{,}667$
- Feil: $|2{,}75 - 2{,}667| = 0{,}083$ (ca. 3{,}1%)
Trapesmetoden gir bedre resultat enn venstre/høyre rektangelmetode, men litt dårligere enn midtpunktmetoden for denne funksjonen.

📝Oppgave 3.4.3

Bruk trapesmetoden med $n = 4$ til å tilnærme $\int_0^{\pi} \sin x \, dx$ .

Sammenlign med den eksakte verdien (som du finner ved å integrere analytisk).

Merk: Trapesmetoden gir eksakt resultat for lineære funksjoner (polynomer av grad 1), siden trapeser da dekker arealet perfekt.

Simpsons metode (Parabelmetoden)

Trapesmetoden bruker rette linjer (grad 1) mellom punktene. Simpsons metode tar dette ett skritt videre ved å tilnærme kurven med parabler (grad 2) gjennom tre nabopunkter om gangen.

Fordi parabler kan følge krumningen til kurven bedre, gir Simpsons metode ofte mye mer nøyaktige resultater.

Simpsons metode

f

✏️Eksempel 4: Simpsons metode

Bruk Simpsons metode med $n = 4$ delintervaller til å tilnærme $\int_0^2 x^2 \, dx$ .

Steg 1: Steglengde:

\displaystyle h = \frac{2-0}{4} = 0{,}5

Steg 2: Delepunkter og funksjonsverdier:

$i$	$x_i$	$f(x_i)$	Koeffisient
0	0	0	1
1	0,5	0,25	4
2	1	1	2
3	1,5	2,25	4
4	2	4	1

Steg 3: Bruk Simpsons formel:

S_4 = \frac{0{,}5}{3}\left[1 \cdot 0 + 4 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2{,}25 + 1 \cdot 4\right]

= \frac{0{,}5}{3}\left[0 + 1 + 2 + 9 + 4\right]

= \frac{0{,}5}{3} \cdot 16 = \frac{8}{3} \approx 2{,}667

Resultat: Simpsons metode gir eksakt

\displaystyle \frac{8}{3}

!
Dette er ikke tilfeldig - Simpsons metode gir eksakte verdier for polynomer opp til og med grad 3.

📝Oppgave 3.4.4

Bruk Simpsons metode med $n = 4$ til å tilnærme $\int_0^{\pi} \sin x \, dx$ .

a) Beregn tilnærmingen.
b) Sammenlign med eksakt verdi (som er 2).
c) Hvor mange prosent er feilen?

📜Nøyaktighet for Simpsons metode

Simpsons metode gir eksakt resultat for polynomer av grad $\leq 3$ .

Dette betyr at selv om metoden er basert på parabler (grad 2), får vi også eksakte verdier for kubiske funksjoner - en bemerkelsesverdig egenskap!

Feilestimater

Når vi bruker numeriske metoder, er det viktig å vite hvor stor feilen kan bli. Her er formler som gir øvre grenser for feilen.

📜Feilestimater for numerisk integrasjon

f

være tilstrekkelig deriverbar på

[a, b]

, og la

\displaystyle h = \frac{b-a}{n}

Midtpunktmetoden:
$|E_M| \leq \frac{(b-a)^3}{24n^2} \cdot M_2$
der $M_2 = \max_{x \in [a,b]} |f''(x)|$

Trapesmetoden:
$|E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot M_2$
der $M_2 = \max_{x \in [a,b]} |f''(x)|$

Simpsons metode:
$|E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \cdot M_4$
der $M_4 = \max_{x \in [a,b]} |f^{(4)}(x)|$

Viktig observasjon:
- For midtpunkt og trapes: Feilen avtar som $\displaystyle \frac{1}{n^2}$
- For Simpson: Feilen avtar som $\displaystyle \frac{1}{n^4}$

Simpsons metode konvergerer altså mye raskere mot riktig svar!

✏️Eksempel 5: Feilestimering

For $\int_0^2 x^2 \, dx$ med $n = 4$ :

a) Finn en øvre grense for feilen med trapesmetoden.
b) Sammenlign med den faktiske feilen vi fant tidligere.

a) Vi har

f(x) = x^2

, så

f'(x) = 2x

f''(x) = 2

Dermed er $M_2 = \max_{x \in [0,2]} |f''(x)| = 2$ (konstant).

Med $a = 0$ , $b = 2$ og $n = 4$ :
$|E_T| \leq \frac{(2-0)^3}{12 \cdot 4^2} \cdot 2 = \frac{8}{12 \cdot 16} \cdot 2 = \frac{8}{192} \cdot 2 = \frac{16}{192} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083$

b) Den faktiske feilen var $\displaystyle |2{,}75 - \frac{8}{3}| = |2{,}75 - 2{,}667| = 0{,}083$ .

Feilen er nøyaktig lik den øvre grensen! Dette skjer fordi $f''(x) = 2$ er konstant, så feilestimatet er skarpt.

📝Oppgave 3.4.5

Hvor mange delintervaller $n$ trenger du med trapesmetoden for å garantere at feilen i $\int_0^1 e^x \, dx$ er mindre enn $0{,}001$ ?

Hint: $f(x) = e^x$ har $f''(x) = e^x$ , og $\max_{x \in [0,1]} e^x = e \approx 2{,}718$ .

Forbedring av nøyaktighet

Hovedmåten å forbedre nøyaktigheten på er å bruke flere delintervaller (større $n$ ). La oss se hvordan feilene avtar.

✏️Eksempel 6: Konvergens ved økt n

Beregn $\int_0^1 e^x \, dx$ med trapesmetoden for $n = 2, 4, 8, 16$ og observer hvordan feilen avtar.

Eksakt verdi: $e - 1 \approx 1{,}71828$ .

$n$	$h$	$T_n$	Feil	Feilreduksjon
2	0,5	1,7539	0,0356	-
4	0,25	1,7272	0,0089	$\displaystyle \frac{0{,}0356}{0{,}0089} \approx 4$
8	0,125	1,7205	0,0022	$\displaystyle \frac{0{,}0089}{0{,}0022} \approx 4$
16	0,0625	1,7188	0,00056	$\displaystyle \frac{0{,}0022}{0{,}00056} \approx 4$

Observasjon: Når vi dobler

n

, reduseres feilen med faktor 4.
Dette stemmer med feilestimatet: Feilen går som

\displaystyle \frac{1}{n^2}

, så når

n \to 2n

\frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4n^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{n^2}

📝Oppgave 3.4.6

For Simpsons metode avtar feilen som $\displaystyle \frac{1}{n^4}$ .

a) Hvor mye reduseres feilen når vi dobler $n$ ?
b) Hvis $S_4$ gir feil $0{,}01$ , omtrent hvor stor feil forventer du fra $S_8$ ?
c) Og fra $S_{16}$ ?

Sammenligning av metodene

La oss oppsummere de tre hovedmetodene og når vi bør bruke hvilken.

Sammenligning av numeriske integrasjonsmetoder

O(h^2)

Metode	Feilorden	Eksakt for	Kompleksitet	Når bruke
Midtpunkt	$O(h^2)$	Grad $\leq 1$	Enkel	Rask tilnærming
Trapes	$O(h^2)$	Grad $\leq 1$	Enkel	Tabelldata
Simpson	$O(h^4)$	Grad $\leq 3$	Middels	Høy nøyaktighet

✏️Eksempel 7: Praktisk sammenligning

Beregn $\int_0^1 \sqrt{1 + x^3} \, dx$ med alle tre metodene med $n = 4$ .

(Dette integralet har ingen elementær antiderivert.)

Med

h = 0{,}25

f(x) = \sqrt{1 + x^3}

$x$	$f(x)$
0	1,000
0,25	1,008
0,5	1,061
0,75	1,184
1	1,414

Midtpunktmetoden (bruker

x = 0{,}125, 0{,}375, 0{,}625, 0{,}875

M_4 = 0{,}25 \cdot [1{,}001 + 1{,}026 + 1{,}113 + 1{,}284] = 0{,}25 \cdot 4{,}424 = 1{,}106

Trapesmetoden:

T_4 = \frac{0{,}25}{2}[1{,}000 + 2(1{,}008) + 2(1{,}061) + 2(1{,}184) + 1{,}414]

= 0{,}125 \cdot 8{,}920 = 1{,}115

Simpsons metode:

$S_4 = \frac{0{,}25}{3}[1{,}000 + 4(1{,}008) + 2(1{,}061) + 4(1{,}184) + 1{,}414]$
$= \frac{0{,}25}{3}[1{,}000 + 4{,}032 + 2{,}122 + 4{,}736 + 1{,}414]$

$= \frac{0{,}25}{3} \cdot 13{,}304 = 1{,}109$
Numerisk beregning (høy nøyaktighet) gir $\approx 1{,}1114$ .
Simpsons metode er nærmest!

📝Oppgave 3.4.7

En bil akselererer, og farten $v(t)$ (i m/s) måles hvert sekund:

$t$ (s)	0	1	2	3	4
$v(t)$ (m/s)	0	3	8	15	24

a) Bruk trapesmetoden til å finne den totale kjørte strekningen

s = \int_0^4 v(t) \, dt

.
b) Bruk Simpsons metode på de samme dataene.

c) Hvilken metode gir trolig det mest nøyaktige svaret? Begrunn.

Oppsummering

Numerisk integrasjon er et kraftig verktøy når analytiske metoder ikke strekker til. De viktigste poengene er:

1. Rektangelmetoden er enkel men gir ofte store feil
2. Trapesmetoden bruker lineær interpolasjon og er god for tabelldata
3. Simpsons metode bruker parabolsk interpolasjon og konvergerer raskt
4. Feilene avtar som $O(h^2)$ for trapes og $O(h^4)$ for Simpson
5. Flere delintervaller gir bedre nøyaktighet, men koster mer regning

I praksis bruker vi ofte datamaskiner til numerisk integrasjon, men det er viktig å forstå metodene for å kunne vurdere resultatene og velge riktig metode.

📝Oppgave 3.4.8

Integralet $\int_0^1 e^{-x^2} \, dx$ dukker opp i sannsynlighetsregning (normalfordelingen).

a) Vis at dette integralet ikke kan løses analytisk ved å prøve substitusjoner.
b) Bruk Simpsons metode med $n = 4$ til å tilnærme integralet.
c) Den eksakte verdien er $\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \text{erf}(1) \approx 0{,}7468$ . Hvor nøyaktig er tilnærmingen din?

Hvorfor numerisk integrasjon?

Når vi skal beregne et bestemt integral $\int_a^b f(x) \, dx$ , prøver vi vanligvis å finne en antiderivert $F(x)$ og bruke analysens fundamentalteorem:

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Men hva gjør vi når vi ikke kan finne en antiderivert? Det finnes mange funksjoner som ikke har en antiderivert uttrykt med elementære funksjoner. Kjente eksempler er:

- $\int e^{-x^2} \, dx$ (viktig i statistikk)
- $\displaystyle \int \frac{\sin x}{x} \, dx$ (signalbehandling)
- $\int \sqrt{1 + x^3} \, dx$ (buepunktsberegninger)

I tillegg kan vi ha funksjoner som bare er kjent gjennom måledata (tabellverdier), uten en eksplisitt formel.

I slike tilfeller bruker vi numerisk integrasjon - metoder som tilnærmer integralet ved å summere bidrag fra mange små områder.

i

x_i

f(x_i) = x_i^2

0,5

0,25

1,5

2,25

i

x_i

f(x_i)

Koeffisient

0,5

0,25

1,5

2,25

n

h

T_n

Feil

Feilreduksjon

0,5

1,7539

0,0356

0,25

1,7272

0,0089

\displaystyle \frac{0{,}0356}{0{,}0089} \approx 4

0,125

1,7205

0,0022

\displaystyle \frac{0{,}0089}{0{,}0022} \approx 4

0,0625

1,7188

0,00056

\displaystyle \frac{0{,}0022}{0{,}00056} \approx 4

Metode	Feilorden	Eksakt for	Kompleksitet	Når bruke
Midtpunkt	$O(h^2)$	Grad $\leq 1$	Enkel	Rask tilnærming
Trapes	$O(h^2)$	Grad $\leq 1$	Enkel	Tabelldata
Simpson	$O(h^4)$	Grad $\leq 3$	Middels	Høy nøyaktighet

Metode

Feilorden

Eksakt for

Kompleksitet

Når bruke

Midtpunkt

O(h^2)

Grad

\leq 1

Enkel

Rask tilnærming

Trapes

O(h^2)

Grad

\leq 1

Enkel

Tabelldata

Simpson

O(h^4)

Grad

\leq 3

Middels

Høy nøyaktighet

x

f(x)

1,000

0,25

1,008

0,5

1,061

0,75

1,184

1,414

t

(s)

v(t)

(m/s)