1.5 Uendelige rekker og konvergens | Matematikk R2

Når konvergerer en uendelig rekke?

55 min

10 oppgaver

KonvergensDivergensGrenseverdiKonvergenskriterier

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Uendelige rekker

I forrige kapittel sa vi på endelige rekker - summer med et bestemt antall ledd. Men hva skjer nar vi lar antall ledd ga mot uendelig?

Tenk på rekken $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ . Selv om vi legger sammen uendelig mange ledd, vokser ikke summen over alle grenser - den narmer seg tallet 2.

Uendelig rekke

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

Konvergens og divergens

\{S_n\}

✏️Eksempel 1: Geometrisk rekke

Finn summen av den uendelige geometriske rekken $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$

Vi har

a_1 = 1

\displaystyle k = \frac{1}{2}

Delsummene:
- $S_1 = 1$
- $S_2 = 1{,}5$
- $S_3 = 1{,}75$
- $S_4 = 1{,}875$

Nar $n \to \infty$ , gar $\displaystyle (\frac{1}{2})^n \to 0$ , sa:
$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

Svar: Rekken konvergerer mot $2$ .

📝Oppgave 1

Finn summen av den uendelige geometriske rekken $\displaystyle 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$

📜Uendelig geometrisk rekke

For en geometrisk rekke med forste ledd

a_1

og kvotient

k

der

|k| < 1

$\sum_{n=1}^{\infty} a_1 \cdot k^{n-1} = \frac{a_1}{1 - k}$

Hvis $|k| \geq 1$ , divergerer rekken.

✏️Eksempel 2: Sprettball

En ball slippes fra 10 m og spretter til 60% av forrige høyde. Finn total strekning.

Forste fall: 10 m ned.
Forste sprett: 6 m opp + 6 m ned = 12 m
Andre sprett: 3,6 m opp + 3,6 m ned = 7,2 m

Total strekning:
$S = 10 + 2(6 + 3{,}6 + 2{,}16 + \cdots)$

Rekken $6 + 3{,}6 + \cdots$ er geometrisk med $a_1 = 6$ , $k = 0{,}6$ :
$S = 10 + 2 \cdot \frac{6}{1-0{,}6} = 10 + 2 \cdot 15 = 40 \text{ m}$

📝Oppgave 2

En pendel svinger med avtagende amplitude. Forste utslag er 20 cm, og hvert pafolgende utslag er 75% av det forrige. Finn den totale strekningen pendelen tilbakelegger.

Divergente rekker

Ikke alle uendelige rekker konvergerer. Den harmoniske rekken $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$ divergerer, selv om leddene gar mot null.

📜Nodvendig betingelse for konvergens

Hvis rekken $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergerer, sa ma $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ .

Merk: Dette er nodvendig, men ikke tilstrekkelig. At $a_n \to 0$ garanterer ikke konvergens!

✏️Eksempel 3: Harmonisk rekke

Undersok om den harmoniske rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ konvergerer.

Leddene gar mot null:

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Men rekken divergerer! Vi kan gruppere leddene:
$1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{8}\right) + \cdots$

Hver gruppe er storre enn $\displaystyle \frac{1}{2}$ , sa summen vokser uten grense.

📝Oppgave 3

Avgjer om rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$ konvergerer eller divergerer.

📜p-rekker

Rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ konvergerer hvis $p > 1$ og divergerer hvis $p \leq 1$ .

✏️Eksempel 4: p-rekker

Avgjer om $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ og $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ konvergerer.

Rekke 1:

p = 2 > 1

, sa rekken konvergerer.

Rekke 2: $\displaystyle p = \frac{1}{2} < 1$ , sa rekken divergerer.

📝Oppgave 4

Avgjer om rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1{,}5}}$ konvergerer.

Oppsummering

Type rekke	Betingelse	Konklusjon
Geometrisk	$\|k\| < 1$	Konvergerer, sum $\displaystyle = \frac{a_1}{1-k}$
Geometrisk	$\|k\| \geq 1$	Divergerer
p-rekke	$p > 1$	Konvergerer
p-rekke	$p \leq 1$	Divergerer

Type rekke

Betingelse

Konklusjon

Geometrisk

|k| < 1

Konvergerer, sum

\displaystyle = \frac{a_1}{1-k}

Geometrisk

|k| \geq 1

Divergerer

p-rekke

p > 1

Konvergerer

p-rekke

p \leq 1

Divergerer