1.1 Potenser og potensregler | Matematikk for økonomer

Potenser med heltallseksponenter, potensregler og regneregler.

40 min

14 oppgaver

PotenserHeltallseksponenterPotensreglerNegative eksponenter

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Noen ganger ønsker vi å beskrive at et tall ganges med seg selv flere ganger på en enklere måte. Istedenfor å skrive $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ så kan vi skrive $2^4$ og istedenfor $a \cdot a \cdot a = a^3$ .

Potens

x^n

✏️Eksempel 1

Regn ut:

a) $2^4$
b) $4 \cdot 3^2$

Løsning:

a) $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

b) $4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 9 = 36$

📝Oppgave 1

Regn ut

2^3

9^2

2^2 \cdot 5^2

3^3 \cdot 2

7^2 \cdot 2^2

1^3 \cdot 2^3 \cdot 3^2

Løs oppgaven Tren

Vi skal her lære oss å regne med potenser. Vi kan observere at:

x^2 \cdot x^3 = (x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) = x^5

Generelt kan vi utlede regelen:
$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$

📜Potensregel: Multiplikasjon

x^a \cdot x^b = x^{a+b}

✏️Eksempel 2

Regn ut og skriv svaret som potens:

a) $3^4 \cdot 3^5$
b) $2a \cdot 2a^4$
c) $a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3$

Løsning:

a) $3^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$

b) $2a \cdot 2a^4 = \color{blue}{2 \cdot 2 \cdot a^1 \cdot a^4} = 2^2 a^{1+4} = 2^2 a^5$

c) $a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3 = a^3 \cdot a^5 \cdot b^2 \cdot b^3 = a^{3+5} \cdot b^{2+3} = a^8 b^5$

Husk: Usynlig gangetegn

$ab = a \cdot b$

$3a = 3 \cdot a$

📝Oppgave 2

Regn ut og skriv svaret som potens

x^2 \cdot x^3

2^5 \cdot 2^{10}

a^3 \cdot a^5 \cdot b^2

x^3 y^2 \cdot x^2 \cdot y^6

3x^2 \cdot 4x

9x^3 y^3 \cdot x^2

Løs oppgaven Tren

Når vi arbeider med potenser i brøker så er det viktig å huske på at vi kan gange og dele med samme tall over og under brøkstreken. Det er også viktig å huske at vi derfor kan stryke like faktorer over og under brøkstreken imot hverandre.

Vi har for eksempel at:
$\frac{4^5}{4^2} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \color{red}{4 \cdot 4}}{\color{red}{4 \cdot 4}} = 4^{5-2} = 4^3$

📜Potensregel: Divisjon

\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

✏️Eksempel 3

Regn ut og skriv svaret som en potens:

a) $\displaystyle \frac{9^5}{9^2}$

b) $\displaystyle \frac{x^4 y^3}{x^2 y^2}$

Løsning:

a) Alternativ 1:
$\frac{9^5}{9^2} = 9^{5-2} = 9^3$

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryker likt imot likt)
$\frac{9^5}{9^2} = \frac{9^3 \cdot \color{red}{9^2}}{\color{red}{9^2}} = 9^3$

b) Alternativ 1:
$\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \color{blue}{\frac{x^4}{x^2} \cdot \frac{y^3}{y^2}} = x^{4-2} \cdot y^{3-2} = x^2 y$

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryker likt imot likt)
$\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \frac{\color{red}{x^2} \cdot x^2 \cdot \color{red}{y^2} \cdot y}{\color{red}{x^2} \cdot \color{red}{y^2}} = x^2 y$

📝Oppgave 3

Regn ut og skriv svaret som potens

\displaystyle \frac{7^4}{7^3}

\displaystyle \frac{a^7}{a^2}

\displaystyle \frac{a^3 b^4}{ab^2}

\displaystyle \frac{2^4 \cdot 5^7}{2^3 \cdot 5^4}

\displaystyle \frac{x^4 y^2 \cdot 2^4 \cdot x^2}{2^2 x^3}

\displaystyle \frac{5^4 \cdot 2^3 x^3}{2^2 x^2}

Løs oppgaven Tren

Negative eksponenter

x^{-1} = \frac{1}{x}

✏️Eksempel 4

Skriv uten negativ eksponent og regn ut:

a) $2a^{-1}$
b) $3^{-1}x^{-2}$
c) $3y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3}$

Løsning:

a) $\displaystyle 2a^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{a} = \color{blue}{\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{a}} = \frac{2}{a}$

b) $\displaystyle 3^{-1}x^{-2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{3x^2}$

c) $\displaystyle 3y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3} = 3y \cdot \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{x^3} = \color{blue}{\frac{3y}{1} \cdot \frac{1}{2^3 x^3}} = \frac{3y}{8x^3}$

📝Oppgave 4

Gjør om uttrykket slik at det ikke lenger har en negativ eksponent og regn ut.

3x^{-1}

4a^{-2}

2^{-2} x^{-3}

a^3 a^{-5}

8x^{-3} \cdot 2^{-2} x^5

\displaystyle 3x^3 \cdot x^{-5} \cdot \frac{2}{x^4}

Løs oppgaven Tren

Når vi har en negativ eksponent i en brøk så kan faktoren som er opphøyd i noe negativt flyttes under brøkstreken og bli opphøyd i det samme tallet med positivt fortegn.

📜Negative eksponenter i brøker

\frac{a^{-n}}{b^{-m}} = \frac{b^m}{a^n}

✏️Eksempel 5

Flytt på potensuttrykkene slik at vi får positiv eksponent og regn ut:

a) $\displaystyle \frac{2^{-5}}{3^{-2}}$

b) $\displaystyle \frac{2x^{-2}y^3}{x^2 y^{-1}}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{\color{red}{2^{-5}}}{\color{red}{3^{-2}}} = \frac{\color{red}{3^2}}{\color{red}{2^5}} = \frac{9}{32}$

b) $\displaystyle \frac{2\color{red}{x^{-2}}y^3}{x^2 \color{red}{y^{-1}}} = \frac{2\color{red}{y^1} \cdot y^3}{x^2 \cdot \color{red}{x^2}} = \frac{2y^4}{x^4}$

📝Oppgave 5

Regn ut og skriv svaret som potens

\displaystyle \frac{2^{-2}}{3^{-1}}

\displaystyle \frac{a^{-3}}{2^{-3}}

\displaystyle \frac{7x^{-5}}{x^2}

\displaystyle \frac{2x^{-1} y^2}{x^4 y^{-4}}

\displaystyle \frac{2^{-2} y^6}{3^{-2} y^{-4}}

\displaystyle \frac{4x^{-3}}{2x^{-4}}

Løs oppgaven Tren

📜Potens av produkt

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

✏️Eksempel 6

Regn ut:

a) $(xy)^4$
b) $(2x)^5$

Løsning:

a) $(xy)^4 = (x \cdot y)^4 = x^4 \cdot y^4 = x^4 y^4$

b) $(2x)^5 = (2 \cdot x)^5 = 2^5 \cdot x^5 = 32 \cdot x^5 = 32x^5$

📝Oppgave 6

Regn ut

(3x)^2

(ab)^2

3a^4 \cdot (2a)^3

Løs oppgaven Tren

📜Potens av brøk

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

✏️Eksempel 7

Regn ut:

a) $\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4$

b) $\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2$

Løsning:

a) $\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 = \frac{x^4}{y^4}$

b) $\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2 = \frac{2^2}{(3x)^2} = \frac{4}{3^2 x^2} = \frac{4}{9x^2}$

📝Oppgave 7

Regn ut og skriv svaret som potens

\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^8

\displaystyle \left(\frac{2a}{3}\right)^2

\displaystyle \left(\frac{x}{5y}\right)^2

\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 \cdot \left(\frac{2x}{y^2}\right)

\displaystyle \left(\frac{a}{3}\right)^4 \cdot 3^3 a

\displaystyle \left(\frac{a}{2b}\right)^2 \cdot 3a^{-2} b^{-2}

Løs oppgaven Tren

📜Potens av potens

(x^a)^b = x^{a \cdot b}

✏️Eksempel 8

Regn ut:

a) $(x^4)^3$
b) $(2a^3)^4$
c) $\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3$

Løsning:

a) $(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}$

b) $(2a^3)^4 = 2^4 \cdot (a^3)^4 = 16a^{3 \cdot 4} = 16a^{12}$

c) $\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3 = \frac{(y^2)^3}{x^3} = \frac{y^{2 \cdot 3}}{x^3} = \frac{y^6}{x^3}$

📝Oppgave 8

Regn ut

(x^2)^3

(5a^2)^2

\displaystyle \left(\frac{a^4}{3}\right)^3

(ab^2)^3

\displaystyle \left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3

\displaystyle x^3 \cdot \left(\frac{x^2}{y^2}\right)^3

\displaystyle \left(\frac{a^{-3}}{b^{-2}}\right)^4

\displaystyle \left(\frac{2^{-1}a}{a^{-2}b^2}\right)^2 \cdot (a^2)^{-3}

\displaystyle y^3 \left(\frac{4^{-2}x}{x^{-2}y^2 \cdot 2^{-3}}\right)^3

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Når vi har 0 som eksponent

a^0 = 1, \text{ gitt at } a \neq 0

Hva med $0^0$?

Uttrykket $0^0$ er udefinert i matematikken. Dette skyldes at vi får motstridende resultater avhengig av hvordan vi nærmer oss uttrykket. Derfor er det viktig å huske at regelen $a^0 = 1$ kun gjelder når $a \neq 0$ .

✏️Eksempel 9

Regn ut:

a) $3^0$
b) $(-9000)^0$
c) $2x^0$ der $x \neq 0$

Løsning:

a) $3^0 = 1$

b) $(-9000)^0 = 1$

c) $2x^0 = 2 \cdot x^0 = 2 \cdot 1 = 2$

📝Oppgave 9

Regn ut

9^0

\displaystyle \frac{x^5}{x^5}

3a^0

der

a \neq 0

(-3x)^0

x^{-3} \cdot x^2 \cdot 2x

\displaystyle \frac{x^2}{x^{-2}} \cdot y^2 x^{-4}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 10

Regn ut:

a) $\displaystyle \frac{3^5}{9^2}$

b) $\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{3^5}{9^2} = \frac{3^5}{\color{blue}{(3^2)^2}} = \frac{3 \cdot \color{red}{3^4}}{\color{red}{3^4}} = 3$

b) $\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4} = \frac{\color{blue}{2^4 \cdot (6^2)^2}}{\color{blue}{(2 \cdot 6)^4}} = \frac{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1}{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1} = 1$

📝Oppgave 10

Regn ut

\displaystyle \frac{2^5}{8^2}

\displaystyle \frac{5^5}{25^3}

\displaystyle \frac{(3x)^2}{3 \cdot 27x}

\displaystyle \frac{49 \cdot 16}{14^2}

\displaystyle \frac{14^2 \cdot 6^2}{2^3 \cdot 42}

\displaystyle \frac{9^2 \cdot (2y)^3}{36^2 y^{-2}}

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Alle potensregler

Regel	Formel
Definisjon	$x^n = x \cdot x \cdot \ldots \cdot x$ ( $n$ faktorer)
Multiplikasjon	$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$
Divisjon	$\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
Negativ eksponent	$\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}$
Potens av produkt	$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
Potens av brøk	$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
Potens av potens	$(x^a)^b = x^{a \cdot b}$
Null som eksponent	$a^0 = 1$ (for $a \neq 0$ )

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver