6.3 Sannsynlighetsberegning | Matematikk 9. klasse

Beregne sannsynligheter for sammensatte hendelser.

50 min

14 oppgaver

SannsynlighetSammensatte hendelserProduktregelenSumregelen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Sannsynlighet måler hvor sannsynlig en hendelse er på en skala fra 0 (umulig) til 1 (sikkert). For sammensatte hendelser bruker vi regler for å kombinere sannsynligheter.

Grunnleggende sannsynlighet

P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}

En standard kortstokk har 52 kort fordelt på 4 farger:

Farge	Symbol	Farge på kortet
Hjerter	♥	Rød
Ruter	♦	Rød
Spar	♠	Sort
Kløver	♣	Sort

Hver farge har 13 kort: Ess (1), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Knekt, Dame, Konge.
Nyttige tall:
- Totalt: 52 kort
- Hver farge: 13 kort
- Røde kort: 26 (hjerter + ruter)

- Sorte kort: 26 (spar + kløver)

- Ess: 4 (ett i hver farge)
- Bildekort (knekt, dame, konge): 12 (3 per farge)

✏️Eksempel 1

En kortstokk har 52 kort. Finn sannsynligheten for å trekke:
a) Et ess
b) En ruter

a) Et ess:
- Gunstige utfall: 4 ess
- Mulige utfall: 52 kort
-

\displaystyle P(\text{ess}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

b) En ruter:
- Gunstige utfall: 13 ruterkort
- Mulige utfall: 52 kort
- $\displaystyle P(\text{ruter}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

📝Oppgave 1

Finn sannsynligheten

Trekke en rød kule fra en pose med 3 røde og 7 blå kuler. Oppgi svaret som brøk.

Kaste en terning og få et partall. Oppgi svaret som brøk.

Trekke et bildekort fra en kortstokk (knekt, dame, konge). Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

Produktregelen (OG)

P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B)

✏️Eksempel 2

Du kaster en mynt og en terning. Finn sannsynligheten for å få kron OG 6.

Hendelsene er uavhengige.

$\displaystyle P(\text{kron}) = \frac{1}{2}$

$\displaystyle P(6) = \frac{1}{6}$

$\displaystyle P(\text{kron og 6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \approx 8{,}3\%$

📝Oppgave 2

Bruk produktregelen

Kaste to terninger og få 6 på begge. Oppgi svaret som brøk.

Kaste en mynt tre ganger og få kron alle gangene. Oppgi svaret som brøk.

Trekke to kort (med tilbakelegging) og få to ess. Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

Sumregelen (ELLER)

P(A \text{ eller } B) = P(A) + P(B)

✏️Eksempel 3

En pose har 4 røde, 3 blå og 5 grønne kuler. Finn sannsynligheten for å trekke rød ELLER blå.

Totalt: $4 + 3 + 5 = 12$ kuler

$\displaystyle P(\text{rød}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$\displaystyle P(\text{blå}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Hendelsene er disjunkte (kan ikke få begge samtidig):

$\displaystyle P(\text{rød eller blå}) = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \approx 58\%$

📝Oppgave 3

Bruk sumregelen

Terning: Få 1, 2 eller 3. Oppgi svaret som brøk.

Kortstokk: Trekke spar eller kløver. Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Du kaster to terninger. Finn sannsynligheten for at summen er 7.

Gunstige utfall (sum = 7):
- (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
- Antall: 6

Totalt antall utfall: $6 \cdot 6 = 36$

$\displaystyle P(\text{sum } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%$

📝Oppgave 4

Løs de sammensatte sannsynlighetsoppgavene

To terninger: Finn sannsynligheten for sum 11. Oppgi svaret som brøk.

Tre myntkast: Finn sannsynligheten for nøyaktig 2 kron. Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

Komplementær sannsynlighet

\overline{A}

✏️Eksempel 5

Du kaster en terning 3 ganger. Finn sannsynligheten for å få minst én sekser.

Strategi: Bruk komplementet - det er lettere å regne ut "ingen seksere".

$\displaystyle P(\text{ikke 6}) = \frac{5}{6}$ for hvert kast

$\displaystyle P(\text{ingen seksere på 3 kast}) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$

$\displaystyle P(\text{minst én sekser}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 42\%$

📝Oppgave 5

Bruk komplementær sannsynlighet

Kaste en mynt 4 ganger: Sannsynlighet for minst én kron. Oppgi svaret som brøk.

Trekke 2 kort (med tilbakelegging): Sannsynlighet for minst ett ess. Oppgi svaret som brøk.

Kaste terning 2 ganger: Sannsynlighet for minst ett partall. Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

Trediagram

Et trediagram viser alle mulige utfall for sammensatte forsøk. Oppbygging : - Hver gren representerer ett utfall - Sannsynlighetene skrives langs grenene - Multiplikasjon langs en sti gir sannsynligheten for den kombinasjonen - Addisjon av stier gir sannsynligheten for "eller"

✏️Eksempel 6

En pose har 3 røde og 2 blå kuler. Du trekker én kule, legger den tilbake, og trekker igjen. Bruk trediagram til å finne sannsynligheten for å få to like farger.

Trediagram med tilbakelegging

Vi har 3 røde og 2 blå kuler, totalt 5 kuler. Sannsynlighetene er:
- $\displaystyle P(\text{rød}) = \frac{3}{5}$
- $\displaystyle P(\text{blå}) = \frac{2}{5}$

Første trekk	Andre trekk	Utregning	Sannsynlighet
Rød	Rød	$\displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}$	$\displaystyle \frac{9}{25}$
Rød	Blå	$\displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$	$\displaystyle \frac{6}{25}$
Blå	Rød	$\displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5}$	$\displaystyle \frac{6}{25}$
Blå	Blå	$\displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}$	$\displaystyle \frac{4}{25}$

To like farger betyr Rød-Rød eller Blå-Blå:

P(\text{to like}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25} = 52\%

📝Oppgave 6

Bruk trediagram til å løse oppgavene

Kast mynt to ganger. Tegn trediagram og finn P(nøyaktig én kron). Oppgi svaret som brøk.

Pose med 4 røde og 1 grønn kule (med tilbakelegging). Trekk 2 ganger. Finn P(minst én grønn). Oppgi svaret som brøk.

Terning kastes 2 ganger. Finn P(summen er partall) ved å telle gunstige stier. Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

Trekking uten tilbakelegging

\displaystyle P(\text{rød}) = \frac{3}{5}

✏️Eksempel 7

Fra en kortstokk (52 kort) trekker du 2 kort UTEN tilbakelegging. Finn sannsynligheten for å få to ess.

Første trekk:

\displaystyle P(\text{ess}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

Andre trekk (gitt at første var ess):
$\displaystyle P(\text{ess}) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$

Begge ess:
$\displaystyle P = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221} \approx 0{,}45\%$

Sammenligning: Med tilbakelegging ville det vært $\displaystyle \frac{4}{52} \cdot \frac{4}{52} \approx 0{,}59\%$

📝Oppgave 7

Regn med trekking uten tilbakelegging

Pose med 6 røde og 4 blå kuler. Trekk 2 uten tilbakelegging. Finn P(begge røde). Oppgi svaret som brøk.

Kortstokk: Trekk 2 kort uten tilbakelegging. Finn P(begge er hjerter). Oppgi svaret som brøk.

Klasse med 12 jenter og 8 gutter. Velg 2 elever tilfeldig. Finn P(begge er jenter). Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Grunnleggende sannsynlighet

En pose har 8 røde, 5 blå og 2 grønne kuler. Finn sannsynligheten for å trekke en blå kule. Oppgi svaret som brøk.

Finn sannsynligheten for å trekke en kule som IKKE er rød. Oppgi svaret som brøk.

Et lykkehjul har 12 like store felter: 4 røde, 3 blå, 3 grønne og 2 gule. Finn P(rød eller gul). Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Sammensatte hendelser med terninger

Du kaster to terninger. Finn sannsynligheten for at summen er 9. Oppgi svaret som brøk.

Finn sannsynligheten for at produktet av terningene er 12. Oppgi svaret som brøk.

Finn sannsynligheten for at differansen mellom terningene er 0 (like tall). Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Betinget sannsynlighet og avhengige hendelser

En skuff har 10 hvite og 5 svarte sokker. Du trekker 2 sokker uten å se (uten tilbakelegging). Finn P(begge hvite). Oppgi svaret som brøk.

Finn P(ett par like sokker). Oppgi svaret som brøk.

Finn P(ulike sokker). Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Kompleks sannsynlighetsberegning

Et lotteri har 100 lodd, 10 gir gevinst. Du kjøper 3 lodd. Finn P(minst en gevinst) med tilbakelegging. Oppgi svaret som brøk (bruk 1000 som nevner).

Samme lotteri, men UTEN tilbakelegging. Finn P(minst en gevinst). Oppgi svaret som brøk (bruk 970200 som nevner).

Hvorfor er svaret i b) litt høyere enn i a)?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Praktiske sannsynlighetsoppgaver

I en klasse med 25 elever er det 60% sannsynlighet for at minst 2 har samme bursdag i samme måned. Hvorfor er dette høyere enn mange tror?

En test har 5 flervalgsspørsmål med 4 alternativer hver. Finn P(å gjette alle riktig). Oppgi svaret som brøk.

Finn P(å gjette minst 4 av 5 riktig). Oppgi svaret som brøk.

En dør har kode med 4 siffer (0-9). Hvor mange forsøk trenger du i verste fall for å finne koden?

Løs oppgaven Tren

Løs oppgaven

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 7 oppgaver

Farge

Symbol

Farge på kortet

Hjerter

♥

Rød

Ruter

♦

Rød

Spar

♠

Sort

Kløver

♣

Sort

Første trekk

Andre trekk

Utregning

Sannsynlighet

Rød

\displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}

\displaystyle \frac{9}{25}

Rød

Blå

\displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}

\displaystyle \frac{6}{25}

Blå

Rød

\displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5}

\displaystyle \frac{6}{25}

Blå

\displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}

\displaystyle \frac{4}{25}