3.4 Areal | Matematikk 8. klasse

Beregne areal av trekanter, firkanter og sammensatte figurer.

50 min

14 oppgaver

ArealAreal av trekantAreal av firkantSammensatte figurer

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Hva er areal?

Areal er et mål på hvor stort et flatt område er. Vi bruker areal når vi skal finne ut hvor mye plass en figur tar opp, for eksempel hvor stort et gulv er, hvor mye maling vi trenger til en vegg, eller hvor stort et fotballbane er.

Areal måles i kvadratenheter, for eksempel:
- Kvadratcentimeter ( $\text{cm}^2$ )
- Kvadratmeter ( $\text{m}^2$ )
- Kvadratkilometer ( $\text{km}^2$ )

En kvadratcentimeter ( $1 \text{ cm}^2$ ) er arealet av et kvadrat med sidelengde 1 cm.

Areal av rektangel

Et rektangel er en firkant der alle vinkler er 90 grader. For å finne arealet av et rektangel, ganger vi lengden med bredden.

Areal av rektangel

A = l \times b

der $l$ er lengden og $b$ er bredden

✏️Eksempel 1: Areal av rektangel

Et rektangel har lengde 8 cm og bredde 5 cm. Finn arealet.

Løsning:

Vi bruker formelen $A = l \times b$

$A = 8 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 40 \text{ cm}^2$

Svar: Arealet er $40 \text{ cm}^2$ .

Areal av kvadrat

Et kvadrat er et spesielt rektangel der alle sidene er like lange. Siden lengde og bredde er like, kan vi skrive formelen på en enklere måte.

Areal av kvadrat

A = s^2

der $s$ er sidelengden

✏️Eksempel 2: Areal av kvadrat

Et kvadrat har sidelengde 6 cm. Finn arealet.

Løsning:

Vi bruker formelen $A = s^2$

$A = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$

Svar: Arealet er $36 \text{ cm}^2$ .

📝Oppgave 3.4.1

Finn arealet av figurene.

Et rektangel med lengde 10 cm og bredde 4 cm

Et kvadrat med sidelengde 7 m

Et rektangel med lengde 12 mm og bredde 8 mm

Et kvadrat med sidelengde 15 cm

Løs oppgaven Tren

Areal av trekant

En trekant har tre sider og tre hjørner. For å finne arealet trenger vi å kjenne grunnlinjen ( $g$ ) og høyden ( $h$ ).

Høyden står alltid vinkelrett (90 grader) på grunnlinjen.

Tenk deg at du legger to like trekanter sammen - da får du et parallellogram. Derfor er arealet av en trekant halvparten av arealet av et parallellogram.

Areal av trekant

A = \frac{1}{2} \times g \times h

der $g$ er grunnlinjen og $h$ er høyden

✏️Eksempel 3: Areal av trekant

En trekant har grunnlinje 10 cm og høyde 6 cm. Finn arealet.

Løsning:

Vi bruker formelen $\displaystyle A = \frac{1}{2} \times g \times h$

$\displaystyle A = \frac{1}{2} \times 10 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$

$\displaystyle A = \frac{1}{2} \times 60 \text{ cm}^2 = 30 \text{ cm}^2$

Svar: Arealet er $30 \text{ cm}^2$ .

Du kan også skrive formelen som $\displaystyle A = \frac{g \times h}{2}$ . Det gir samme svar!

📝Oppgave 3.4.2

Finn arealet av trekantene.

Grunnlinje 8 cm og høyde 5 cm

Grunnlinje 12 m og høyde 7 m

Grunnlinje 20 cm og høyde 9 cm

Grunnlinje 14 mm og høyde 10 mm

Løs oppgaven Tren

Areal av parallellogram

Et parallellogram er en firkant der motstående sider er parallelle og like lange. Tenk på det som et "skjevt" rektangel.

For å finne arealet bruker vi grunnlinjen og høyden. Høyden står vinkelrett på grunnlinjen, akkurat som for trekanter.

Areal av parallellogram

A = g \times h

der $g$ er grunnlinjen og $h$ er høyden

Legg merke til at formelen er lik som for rektangel! Forskjellen er at høyden i et parallellogram ikke nødvendigvis er lik siden.

✏️Eksempel 4: Areal av parallellogram

Et parallellogram har grunnlinje 9 cm og høyde 4 cm. Finn arealet.

Løsning:

Vi bruker formelen $A = g \times h$

$A = 9 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2$

Svar: Arealet er $36 \text{ cm}^2$ .

📝Oppgave 3.4.3

Finn arealet av parallellogrammene.

Grunnlinje 11 cm og høyde 6 cm

Grunnlinje 15 m og høyde 8 m

Grunnlinje 7,5 cm og høyde 4 cm

Løs oppgaven Tren

Areal av trapes

Et trapes er en firkant der to av sidene er parallelle. Disse parallelle sidene kaller vi for $a$ (den øvre siden) og $b$ (den nedre siden), eller vi kan kalle dem de parallelle sidene.

For å finne arealet, legger vi sammen de to parallelle sidene, ganger med høyden, og deler på 2.

Areal av trapes

A = \frac{(a + b) \times h}{2}

der $a$ og $b$ er de parallelle sidene og $h$ er høyden

✏️Eksempel 5: Areal av trapes

Et trapes har parallelle sider på 6 cm og 10 cm, og høyden er 5 cm. Finn arealet.

Løsning:

Vi bruker formelen $\displaystyle A = \frac{(a + b) \times h}{2}$

$\displaystyle A = \frac{(6 + 10) \times 5}{2}$

$\displaystyle A = \frac{16 \times 5}{2} = \frac{80}{2} = 40 \text{ cm}^2$

Svar: Arealet er $40 \text{ cm}^2$ .

📝Oppgave 3.4.4

Finn arealet av trapesene.

Parallelle sider 5 cm og 9 cm, høyde 4 cm

Parallelle sider 8 m og 12 m, høyde 6 m

Parallelle sider 7 cm og 11 cm, høyde 5 cm

Løs oppgaven Tren

Areal av sirkel

En sirkel er en figur der alle punktene på kanten har samme avstand til sentrum. Denne avstanden kaller vi radius ( $r$ ).

For å finne arealet av en sirkel, bruker vi det spesielle tallet pi ( $\pi$ ), som er omtrent 3,14.

Areal av sirkel

A = \pi r^2

der $r$ er radius og $\pi \approx 3{,}14$

Pi ($\pi$)

\pi \approx 3{,}14159...

✏️Eksempel 6: Areal av sirkel

En sirkel har radius 5 cm. Finn arealet. Bruk $\pi \approx 3{,}14$ .

Løsning:

Vi bruker formelen $A = \pi r^2$

$A = 3{,}14 \times 5^2$

$A = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5 \text{ cm}^2$

Svar: Arealet er ca. $78{,}5 \text{ cm}^2$ .

Husk!

Det er radius ( $r$ ) som står i formelen, ikke diameter. Hvis du får oppgitt diameteren ( $d$ ), må du først finne radius: $\displaystyle r = \frac{d}{2}$

📝Oppgave 3.4.5

Finn arealet av sirklene. Bruk $\pi \approx 3{,}14$ .

Radius 3 cm

Radius 7 m

Diameter 10 cm (finn først radius!)

Diameter 8 m

Løs oppgaven Tren

Sammensatte figurer

Noen ganger møter vi figurer som er satt sammen av flere enkle figurer. For å finne arealet av slike sammensatte figurer, kan vi bruke to strategier:

Strategi 1: Legg sammen
Del figuren opp i enkle figurer (rektangler, trekanter, sirkler osv.) og legg sammen arealene.

Strategi 2: Trekk fra

Start med en enkel figur og trekk fra arealet av det som mangler.

✏️Eksempel 7: L-formet figur

En L-formet figur kan deles inn i to rektangler:
- Rektangel 1: 8 cm × 3 cm
- Rektangel 2: 5 cm × 4 cm

Finn det totale arealet.

Løsning:

Vi finner arealet av hvert rektangel og legger sammen.

Rektangel 1: $A_1 = 8 \times 3 = 24 \text{ cm}^2$

Rektangel 2: $A_2 = 5 \times 4 = 20 \text{ cm}^2$

Totalt areal: $A = 24 + 20 = 44 \text{ cm}^2$

Svar: Arealet er $44 \text{ cm}^2$ .

✏️Eksempel 8: Rektangel med hull

Et rektangel på 10 cm × 8 cm har et sirkelformet hull med radius 2 cm. Finn arealet av figuren.

Løsning:

Vi finner arealet av rektangelet og trekker fra arealet av sirkelen.

Rektangel: $A_{\text{rekt}} = 10 \times 8 = 80 \text{ cm}^2$

Sirkel: $A_{\text{sirkel}} = \pi \times 2^2 = 3{,}14 \times 4 = 12{,}56 \text{ cm}^2$

Totalt areal: $A = 80 - 12{,}56 = 67{,}44 \text{ cm}^2$

Svar: Arealet er ca. $67{,}44 \text{ cm}^2$ .

📝Oppgave 3.4.6

Finn arealet av de sammensatte figurene.

En L-formet figur som består av to rektangler: 6 cm × 2 cm og 4 cm × 3 cm

Et rektangel 12 m × 9 m med en rektangulær dam i midten som er 4 m × 3 m. Finn arealet av gresset rundt dammen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.4.7

Finn arealet av de sammensatte figurene. Bruk $\pi \approx 3{,}14$ .

Et rektangel 10 cm × 6 cm med en halvsirkel på den ene kortsiden (diameter 6 cm)

Et kvadrat med side 8 cm der det er skåret ut en kvart sirkel i hjørnet (radius 4 cm)

Løs oppgaven Tren

Praktiske oppgaver

Nå skal vi bruke det vi har lært til å løse virkelige problemer. Arealberegning brukes ofte i hverdagen!

📝Oppgave 3.4.8

Et soverom har form som et rektangel med lengde 4 m og bredde 3,5 m.

a) Finn arealet av gulvet.
b) Teppet som skal legges koster 250 kr per kvadratmeter. Hvor mye koster det å legge teppe på hele gulvet?

📝Oppgave 3.4.9

En pizzakokk lager to typer pizza:
- Liten pizza med diameter 20 cm
- Stor pizza med diameter 30 cm

a) Finn arealet av den lille pizzaen.
b) Finn arealet av den store pizzaen.
c) Hvor mange ganger større er den store pizzaen enn den lille? (Avrund til én desimal)

Bruk $\pi \approx 3{,}14$ .

📝Oppgave 3.4.10

En hage har form som et rektangel med lengde 15 m og bredde 10 m. I hagen er det:
- En sirkelformet dam med radius 2 m
- Et trekantet blomsterbed med grunnlinje 4 m og høyde 3 m

Resten av hagen skal såes med gress. Hvor stort er gressarealet? Bruk $\pi \approx 3{,}14$ .

📝Oppgave 3.4.11

En vegg skal males. Veggen er rektangulær med bredde 5 m og høyde 2,5 m. I veggen er det et vindu som er 1,2 m bredt og 1 m høyt.

a) Finn arealet som skal males.
b) En liter maling dekker 10 m². Hvor mange liter maling trengs?
c) Malingen koster 89 kr per liter og selges bare i hele litere. Hva blir totalkostnaden?

📝Oppgave 3.4.12

Et trapesformet skilt har parallelle sider på 60 cm og 40 cm, og høyden er 30 cm. Skiltet skal dekkes med refleksmateriale som koster 0,50 kr per cm².

a) Finn arealet av skiltet i cm².
b) Hva koster refleksmaterialet?

Oppsummering

Her er alle arealformlene vi har lært:

Figur	Formel
Rektangel	$A = l \times b$
Kvadrat	$A = s^2$
Trekant	$\displaystyle A = \frac{1}{2} \times g \times h$
Parallellogram	$A = g \times h$
Trapes	$\displaystyle A = \frac{(a + b) \times h}{2}$
Sirkel	$A = \pi r^2$

For sammensatte figurer: Del opp i enkle figurer og legg sammen, eller start med en enkel figur og trekk fra.

📝Oppgave 3.4.13

Blandede oppgaver. Bruk $\pi \approx 3{,}14$ .

Et rektangel har areal $48 \text{ cm}^2$ og lengde 8 cm. Finn bredden.

En trekant har areal $36 \text{ m}^2$ og grunnlinje 9 m. Finn høyden.

En sirkel har areal $50{,}24 \text{ cm}^2$ . Finn radius.

Løs oppgaven Tren

Figur

Formel

Rektangel

A = l \times b

Kvadrat

A = s^2

Trekant

\displaystyle A = \frac{1}{2} \times g \times h

Parallellogram

A = g \times h

Trapes

\displaystyle A = \frac{(a + b) \times h}{2}

Sirkel

A = \pi r^2