4.1 Likningssett
Lær å løse likningssett med to eller tre ukjente ved grafisk løsning, innsettingsmetoden og addisjonsmetoden.
90 min
12 oppgaver
Grafisk løsningInnsettingsmetodenAddisjonsmetodenTre ukjentePraktiske oppgaver
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Vi skal nå løse likningssett – et sett med flere likninger som skal være oppfylt samtidig.
I hver likning har vi to eller flere ukjente, og vi skal finne verdiene som gjør at alle likningene stemmer samtidig.
Forkunnskaper: Grunnleggende likninger og lineære funksjoner.
For å skille på likningene er det nyttig å nummerere dem med romertall. refererer til likning én og til likning to.
Grafisk løsning av likningssett
Den enkleste måten å forstå likningssett på er å tegne begge likningene som linjer i et koordinatsystem. Løsningen er punktet der linjene krysser hverandre.
✏️Eksempel 1: Grafisk løsning
Finn grafisk og slik at begge likningene er oppfylt samtidig:
:
:
Vi omformer likningene til formen og tegner dem inn i et koordinatsystem.
Likning I:
Likning II:
Vi ser at linjene skjærer i punktet , altså der og .
Prøve: Setter vi inn og i det originale likningssettet:
- : → ✓
- : → ✓
Løsning: og
📊Utforsk grafisk løsning
Prøv å tegne inn andre likningssett og finn skjæringspunktet.
📝Oppgave 1
Finn grafisk og slik at begge likningene er oppfylt samtidig. Tegn begge grafene for hånd og finn skjæringspunktet.
a
:
:
:
b
c
Ingen løsninger og uendelig mange løsninger
Ikke alle likningssett har én løsning:
- Ingen løsninger: Dersom to linjer er parallelle (og ikke sammenfallende), vil de aldri møte hverandre. Eksempelvis vil og alltid ha en avstand på 5 når de har samme -verdi.
- Uendelig mange løsninger: Dersom linjene er sammenfallende (beskriver samme linje), har de uendelig mange felles punkter.
Innsettingsmetoden
Innsetting betyr å erstatte en variabel med en verdi eller et uttrykk. Vi kan bruke dette til å løse likningssett.
✏️Eksempel 2: Innsetting av tall
La . Bruk innsetting og løs likningene for .
a)
b)
c)
a)
b)
c)
📝Oppgave 2
La . Bruk dette til å finne verdien av .
a
b
c
d
e
f
Innsetting av variabler og uttrykk
Vi kan også erstatte variabler med hele uttrykk istedenfor kun tall. Dette er nøkkelen til å løse likningssett.
✏️Eksempel 3: Innsetting av uttrykk
Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden:
:
:
Likning sier at . Vi kan derfor erstatte i likning med .
:
Vi har nå funnet . Dette setter vi inn i likning :
Løsning: og
Notasjon:
- betyr at vi bruker informasjon fra likning i likning .
- betyr den omformede likning .
- betyr at vi bruker informasjon fra likning i likning .
- betyr den omformede likning .
📝Oppgave 3
Løs likningssettene (finn verdien av og av ) ved hjelp av innsettingsmetoden.
a
b
c
Likningssett løst ved hjelp av innsettingsmetoden
I vanlige likningssett med 2 ukjente bruker vi enten eller og løser for enten eller . Hvilken av likningene vi velger å bruke og hvilken variabel vi løser for kommer an på hva vi tenker blir enklest å gjennomføre.
✏️Eksempel 4: Innsettingsmetoden
Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden:
:
:
Steg 1: Vi løser likning for (enklest):
Steg 2: Setter dette inn i likning :
Steg 3: Setter inn i uttrykket for :
Løsning: og
Tips: Velg alltid å løse for den variabelen som gir det enkleste uttrykket. Hvis en variabel allerede har koeffisient 1 (som i likning over), er det som regel lurt å løse for denne.
✏️Eksempel 5: Innsettingsmetoden (fortsatt)
Løs likningssettet:
:
:
Her er det enklest å løse likning for (koeffisient ):
Setter inn i likning :
Finner :
Løsning: og
📝Oppgave 4
Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.
a
b
c
d
e
f
📝Oppgave 5
Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.
a
b
Addisjonsmetoden
I et likningssett vil alltid begge likningene gjelde samtidig. Det vil også si at dersom vi legger sammen venstresidene i og , så vil summen av disse være lik summen av høyresidene.
Dette kan vi bruke til å fjerne eller i en av likningene slik at vi kun står igjen med én ukjent.
✏️Eksempel 6: Addisjonsmetoden (enkel)
Løs likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:
:
:
Vi legger sammen likning og :
Setter inn i likning :
Løsning: og
📝Oppgave 6
Løs likningssettene ved å bruke addisjonsmetoden.
a
b
c
Som du kanskje har tenkt, er det ikke alltid slik at en av variablene forsvinner bare du legger sammen likning og .
For å løse dette multipliserer vi én eller begge likningene slik at de får en lik konstant (med motsatt fortegn) foran enten eller .
✏️Eksempel 7: Addisjonsmetoden med multiplikasjon
Løs likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:
:
:
For å fjerne ganger vi likning med :
Nå legger vi sammen med :
Setter inn i likning :
Løsning: og
📝Oppgave 7
Løs likningssettene ved hjelp av addisjonsmetoden.
a
b
c
d
✏️Eksempel 8: Addisjonsmetoden (begge multipliseres)
Løs likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:
:
:
Vi ganger opp begge likningene slik at vi får like mange av enten eller . Vi velger å få i begge:
Nå trekker vi den ene fra den andre:
Setter inn i likning :
Løsning: og
📝Oppgave 8
Løs likningssettene ved hjelp av addisjonsmetoden.
a
b
c
d
Likningssett med 3 ukjente
Metoden kan utvides til likningssett med tre ukjente (, og ). Vi trenger da tre likninger.
Strategi:
1. Bruk én likning til å uttrykke én variabel
2. Sett dette uttrykket inn i de to andre likningene
3. Nå har du to likninger med to ukjente (som du kan løse som før)
4. Sett tilbake for å finne alle tre variablene
✏️Eksempel 9: Tre ukjente
Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden:
:
:
:
Steg 1: Løs likning for :
Steg 2: Sett inn i likning :
Steg 3: Sett inn i likning :
Steg 4: Sett inn i :
Steg 5: Sett og inn i uttrykket for :
Løsning: , og
📝Oppgave 9
Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.
a
b
📝Oppgave 10
Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.
a
b
c
d
Å sette opp og løse likningssett fra reelle situasjoner
Likningssett er veldig nyttige for å løse praktiske problemer der vi har flere ukjente størrelser og flere betingelser som skal oppfylles.
✏️Eksempel 10: Praktisk oppgave
Mor sender Mari i butikken på to forskjellige anledninger. Prisene i butikken er den samme ved begge besøkene.
Ved første besøk kjøpte Mari 5 kg poteter og 2 kg gulrøtter og betalte 58 kroner.
Ved andre besøk kjøpte Mari 3 kg poteter og 5 kg gulrøtter og betalte 50 kroner.
a) Sett opp et likningssett som beskriver situasjonen.
b) Løs likningssettet og finn prisen per kg for poteter og gulrøtter.
La være prisen per kg poteter og være prisen per kg gulrøtter.
a) Likningssettet:
b) Løsning med addisjonsmetoden:
Multipliser med 5 og med :
Legger sammen:
Setter inn i :
Svar: Poteter koster 10 kr/kg og gulrøtter koster 4 kr/kg.
📝Oppgave 11
Et år har et taxiselskap en fast oppstartsgebyr i tillegg til en fastpris per km kjørt. Kåre har brukt taxiselskapet i januar og i februar.
I januar brukte han taxiselskapet 2 ganger og kjørte til sammen 30 km, han betalte sammenlagt 700 kroner.
I februar brukte han taxi 3 ganger og kjørte til sammen 60 km, i februar betalte han sammenlagt 1350 kroner.
Sett opp et likningssett og regn ut oppstartsgebyret og fastprisen per km til taxiselskapet.
📝Oppgave 12
På et offentlig arrangement er prisen 100 kroner for voksne og 50 kroner for barn. Dersom en familie ønsker mat inkludert koster det 30 kroner ekstra per barn og 50 kroner ekstra per voksen.
Familiene Storhaug og Kronsteen betaler til sammen 650 kroner for showet og 350 kroner for mat (til alle).
Hvor mange voksne og hvor mange barn var det til sammen i de to familiene?
Oppsummering: Metoder for å løse likningssett
Grafisk løsning: Tegn begge likningene som linjer og finn skjæringspunktet.
Innsettingsmetoden:
1. Løs én likning for én variabel
2. Sett uttrykket inn i den andre likningen
3. Løs for den gjenværende variabelen
4. Sett tilbake for å finne den første
Addisjonsmetoden:
1. Multipliser likningene slik at én variabel har like koeffisienter med motsatt fortegn
2. Legg sammen likningene for å eliminere variabelen
3. Løs for den gjenværende variabelen
4. Sett tilbake for å finne den første