3.8 Eksponentialfunksjoner | Matematikk 1T

Funksjoner med variabel i eksponenten.

30 min

10 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktor

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

En eksponentialfunksjon har variabelen i eksponenten. Disse funksjonene modellerer vekst og nedgang i naturen, økonomi og andre områder.

I dette kapitlet lærer du:
- Eksponentiell vekst og nedgang
- Vekstfaktor
- Å tegne eksponentialfunksjoner
- Praktiske anvendelser

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekst og nedgang

Vekstfaktoren $b$ bestemmer om funksjonen vokser eller avtar:

- $b > 1$ : Eksponentiell vekst
- $0 < b < 1$ : Eksponentiell nedgang

Prosentvis vekst: Hvis noe øker med $p\%$ per enhet:
$b = 1 + \frac{p}{100}$

Prosentvis nedgang: Hvis noe avtar med $p\%$ per enhet:
$b = 1 - \frac{p}{100}$

✏️Eksempel 1

En bakteriekultur starter med 1000 bakterier og dobler seg hver time. Sett opp en funksjon for antall bakterier etter $t$ timer.

Startverdi:

a = 1000

Vekstfaktor:

b = 2

(dobling)

$N(t) = 1000 \cdot 2^t$

Sjekk:
- $N(0) = 1000 \cdot 2^0 = 1000$ ✓
- $N(1) = 1000 \cdot 2^1 = 2000$ ✓
- $N(2) = 1000 \cdot 2^2 = 4000$ ✓

📝Oppgave 1

En populasjon på 500 individer vokser med 8% per år. Sett opp en funksjon og finn populasjonen etter 10 år.

✏️Eksempel 2

En bil mister 15% av verdien hvert år. Den koster 400 000 kr ny. Sett opp en funksjon for bilens verdi etter $t$ år.

Startverdi:

a = 400\,000

Nedgang:

15\%

Vekstfaktor:

b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85

$V(t) = 400\,000 \cdot 0{,}85^t$

Verdi etter 5 år:
$V(5) = 400\,000 \cdot 0{,}85^5 \approx 177\,000 \text{ kr}$

📝Oppgave 2

En maskin koster 200 000 kr og mister 25% av verdien hvert år. Sett opp en funksjon og finn verdien etter 4 år.

Grafens egenskaper

For $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ :

Alltid:
- $f(0) = a$ ( $y$ -skjæring)
- $f(x) > 0$ for alle $x$ (aldri negativ)
- Ingen nullpunkter
- Horisontal asymptote $y = 0$

Hvis $b > 1$ :
- Grafen stiger
- Bratt vekst for store $x$

Hvis $0 < b < 1$ :
- Grafen synker
- Nærmer seg 0 for store $x$

✏️Eksempel 3

Sammenlign grafene til $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

$f(x) = 2^x$ :
- Vekst (

b = 2 > 1

)
- Stiger fra venstre mot høyre
-

f(0) = 1

$\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ :
- Nedgang ( $b = 0{,}5 < 1$ )
- Synker fra venstre mot høyre
- $g(0) = 1$

De to grafene er speilinger av hverandre om $y$ -aksen.

📝Oppgave 3

Avgjør om funksjonene viser vekst eller nedgang:

f(x) = 3 \cdot 1{,}5^x

g(x) = 100 \cdot 0{,}9^x

h(x) = 50 \cdot 2^{-x}

Doblingstid og halveringstid

Doblingstid: Tiden det tar før verdien er doblet.
For $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$ er doblingstiden $T$ .

Halveringstid: Tiden det tar før verdien er halvert.
For $\displaystyle f(x) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x/T}$ er halveringstiden $T$ .

Eksempel: Radioaktivt stoff med halveringstid 10 år: $N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{t/10}$

✏️Eksempel 4

Du setter 10 000 kr i banken med 3% årlig rente. Hvor mye har du etter 20 år?

Startverdi:

a = 10\,000

Vekstfaktor:

b = 1 + 0{,}03 = 1{,}03

$K(t) = 10\,000 \cdot 1{,}03^t$

Etter 20 år:
$K(20) = 10\,000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 18\,061 \text{ kr}$

Du har tjent ca. 8061 kr i renter.

📝Oppgave 4

Finn vekstfaktoren:

5% økning per år

20% nedgang per time

Tredobling per uke

📝Oppgave 5

Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom punktene $(0, 4)$ og $(2, 36)$ . Finn $a$ og $b$ .

📝Oppgave 6

Et radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Du starter med 200 gram. Sett opp en funksjon og finn hvor mye som er igjen etter 15 år.

Funksjoner med variabel i eksponenten.

30 min

10 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktor

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

En eksponentialfunksjon har variabelen i eksponenten. Disse funksjonene modellerer vekst og nedgang i naturen, økonomi og andre områder.

I dette kapitlet lærer du:
- Eksponentiell vekst og nedgang
- Vekstfaktor
- Å tegne eksponentialfunksjoner
- Praktiske anvendelser

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekst og nedgang

Vekstfaktoren $b$ bestemmer om funksjonen vokser eller avtar:

- $b > 1$ : Eksponentiell vekst
- $0 < b < 1$ : Eksponentiell nedgang

Prosentvis vekst: Hvis noe øker med $p\%$ per enhet:
$b = 1 + \frac{p}{100}$

Prosentvis nedgang: Hvis noe avtar med $p\%$ per enhet:
$b = 1 - \frac{p}{100}$

✏️Eksempel 1

En bakteriekultur starter med 1000 bakterier og dobler seg hver time. Sett opp en funksjon for antall bakterier etter $t$ timer.

Startverdi:

a = 1000

Vekstfaktor:

b = 2

(dobling)

$N(t) = 1000 \cdot 2^t$

Sjekk:
- $N(0) = 1000 \cdot 2^0 = 1000$ ✓
- $N(1) = 1000 \cdot 2^1 = 2000$ ✓
- $N(2) = 1000 \cdot 2^2 = 4000$ ✓

📝Oppgave 1

En populasjon på 500 individer vokser med 8% per år. Sett opp en funksjon og finn populasjonen etter 10 år.

✏️Eksempel 2

En bil mister 15% av verdien hvert år. Den koster 400 000 kr ny. Sett opp en funksjon for bilens verdi etter $t$ år.

Startverdi:

a = 400\,000

Nedgang:

15\%

Vekstfaktor:

b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85

$V(t) = 400\,000 \cdot 0{,}85^t$

Verdi etter 5 år:
$V(5) = 400\,000 \cdot 0{,}85^5 \approx 177\,000 \text{ kr}$

📝Oppgave 2

En maskin koster 200 000 kr og mister 25% av verdien hvert år. Sett opp en funksjon og finn verdien etter 4 år.

Grafens egenskaper

For $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ :

Alltid:
- $f(0) = a$ ( $y$ -skjæring)
- $f(x) > 0$ for alle $x$ (aldri negativ)
- Ingen nullpunkter
- Horisontal asymptote $y = 0$

Hvis $b > 1$ :
- Grafen stiger
- Bratt vekst for store $x$

Hvis $0 < b < 1$ :
- Grafen synker
- Nærmer seg 0 for store $x$

✏️Eksempel 3

Sammenlign grafene til $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

$f(x) = 2^x$ :
- Vekst (

b = 2 > 1

)
- Stiger fra venstre mot høyre
-

f(0) = 1

$\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ :
- Nedgang ( $b = 0{,}5 < 1$ )
- Synker fra venstre mot høyre
- $g(0) = 1$

De to grafene er speilinger av hverandre om $y$ -aksen.

📝Oppgave 3

Avgjør om funksjonene viser vekst eller nedgang:

f(x) = 3 \cdot 1{,}5^x

g(x) = 100 \cdot 0{,}9^x

h(x) = 50 \cdot 2^{-x}

Doblingstid og halveringstid

Doblingstid: Tiden det tar før verdien er doblet.
For $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$ er doblingstiden $T$ .

Halveringstid: Tiden det tar før verdien er halvert.
For $\displaystyle f(x) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x/T}$ er halveringstiden $T$ .

Eksempel: Radioaktivt stoff med halveringstid 10 år: $N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{t/10}$

✏️Eksempel 4

Du setter 10 000 kr i banken med 3% årlig rente. Hvor mye har du etter 20 år?

Startverdi:

a = 10\,000

Vekstfaktor:

b = 1 + 0{,}03 = 1{,}03

$K(t) = 10\,000 \cdot 1{,}03^t$

Etter 20 år:
$K(20) = 10\,000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 18\,061 \text{ kr}$

Du har tjent ca. 8061 kr i renter.

📝Oppgave 4

Finn vekstfaktoren:

5% økning per år

20% nedgang per time

Tredobling per uke

📝Oppgave 5

Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom punktene $(0, 4)$ og $(2, 36)$ . Finn $a$ og $b$ .

📝Oppgave 6

Et radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Du starter med 200 gram. Sett opp en funksjon og finn hvor mye som er igjen etter 15 år.