2.2 Andregradslikninger - faktorisering | Matematikk 1T

Løs andregradslikninger ved faktorisering.

30 min

10 oppgaver

AndregradslikningerFaktoriseringNullpunktmetoden

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Andregradslikninger ved faktorisering

En andregradslikning har formen $ax^2 + bx + c = 0$ .

I dette kapitlet lærer du å løse slike likninger ved faktorisering - en metode som ofte er raskere enn abc-formelen når uttrykkene lar seg faktorisere pent.

📜Nullregelen

Hvis

A \cdot B = 0

, så er

A = 0

eller

B = 0

(eller begge).

Dette betyr at hvis vi kan skrive en andregradslikning på formen
$(x - r_1)(x - r_2) = 0$
så er løsningene $x = r_1$ eller $x = r_2$ .

✏️Eksempel 1

Løs likningen $(x - 3)(x + 2) = 0$

Løsning:

Likningen er allerede faktorisert. Vi bruker nullregelen:

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x - 3 = 0 \quad$ eller $\quad x + 2 = 0$

$x = 3 \quad$ eller $\quad x = -2$

Svar: $x = 3$ eller $x = -2$

📝Oppgave 1

Løs likningene

(x - 5)(x + 1) = 0

(x + 4)(x - 7) = 0

x(x - 6) = 0

(2x - 1)(x + 3) = 0

Faktorisering ved inspeksjon

Når $a = 1$ har vi $x^2 + bx + c = 0$ . Vi leter etter to tall $r_1$ og $r_2$ slik at:
- $r_1 + r_2 = -b$ (summen er minus $b$ )
- $r_1 \cdot r_2 = c$ (produktet er $c$ )

Da kan vi skrive $x^2 + bx + c = (x - r_1)(x - r_2)$

✏️Eksempel 2

Løs likningen $x^2 - 5x + 6 = 0$ ved faktorisering.

Løsning:

Vi skal finne to tall med:
- Sum: $-(-5) = 5$
- Produkt: $6$

Tallene $2$ og $3$ har sum $5$ og produkt $6$ .

Altså: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$

$x = 2 \quad$ eller $\quad x = 3$

Svar: $x = 2$ eller $x = 3$

📝Oppgave 2

Faktoriser og løs likningene

x^2 + 7x + 12 = 0

x^2 - x - 12 = 0

x^2 - 9x + 20 = 0

x^2 + 2x - 15 = 0

Konjugatsetningen

Noen andregradsuttrykk kan faktoriseres med konjugatsetningen:

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Dette gir oss en rask metode for likninger på formen $x^2 = k$ .

✏️Eksempel 3

Løs likningen $x^2 - 16 = 0$

Løsning:

Vi bruker konjugatsetningen:

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4) = 0$

$x = -4 \quad$ eller $\quad x = 4$

Alternativt: $x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$

Svar: $x = \pm 4$

📝Oppgave 3

Løs likningene ved å bruke konjugatsetningen

x^2 - 25 = 0

x^2 - 49 = 0

4x^2 - 9 = 0

x^2 = 81

Felles faktor

Hvis alle ledd har en felles faktor, sett denne utenfor parentesen først.

✏️Eksempel 4

Løs likningen $2x^2 - 8x = 0$

Løsning:

Vi setter $2x$ utenfor parentes:

$2x^2 - 8x = 2x(x - 4) = 0$

$2x = 0 \quad$ eller $\quad x - 4 = 0$

$x = 0 \quad$ eller $\quad x = 4$

Svar: $x = 0$ eller $x = 4$

📝Oppgave 4

Løs likningene ved å sette felles faktor utenfor

3x^2 - 12x = 0

x^2 + 5x = 0

-2x^2 + 10x = 0

5x^2 = 15x

✏️Eksempel 5

Løs likningen $3x^2 - 12 = 0$

Løsning:

Vi setter 3 utenfor parentes:

$3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x + 2)(x - 2) = 0$

Siden $3 \neq 0$ , må $(x + 2)(x - 2) = 0$

$x = -2 \quad$ eller $\quad x = 2$

Svar: $x = \pm 2$

📝Oppgave 5

Løs likningene

2x^2 - 50 = 0

3x^2 + 6x - 24 = 0

2x^2 - 14x + 24 = 0

-x^2 + 4x + 5 = 0

Oppsummering

A \cdot B = 0 \Rightarrow A = 0

Løs andregradslikninger ved faktorisering.

30 min

10 oppgaver

AndregradslikningerFaktoriseringNullpunktmetoden

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Andregradslikninger ved faktorisering

En andregradslikning har formen $ax^2 + bx + c = 0$ .

I dette kapitlet lærer du å løse slike likninger ved faktorisering - en metode som ofte er raskere enn abc-formelen når uttrykkene lar seg faktorisere pent.

📜Nullregelen

Hvis

A \cdot B = 0

, så er

A = 0

eller

B = 0

(eller begge).

Dette betyr at hvis vi kan skrive en andregradslikning på formen
$(x - r_1)(x - r_2) = 0$
så er løsningene $x = r_1$ eller $x = r_2$ .

✏️Eksempel 1

Løs likningen $(x - 3)(x + 2) = 0$

Løsning:

Likningen er allerede faktorisert. Vi bruker nullregelen:

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x - 3 = 0 \quad$ eller $\quad x + 2 = 0$

$x = 3 \quad$ eller $\quad x = -2$

Svar: $x = 3$ eller $x = -2$

📝Oppgave 1

Løs likningene

(x - 5)(x + 1) = 0

(x + 4)(x - 7) = 0

x(x - 6) = 0

(2x - 1)(x + 3) = 0

Faktorisering ved inspeksjon

Når $a = 1$ har vi $x^2 + bx + c = 0$ . Vi leter etter to tall $r_1$ og $r_2$ slik at:
- $r_1 + r_2 = -b$ (summen er minus $b$ )
- $r_1 \cdot r_2 = c$ (produktet er $c$ )

Da kan vi skrive $x^2 + bx + c = (x - r_1)(x - r_2)$

✏️Eksempel 2

Løs likningen $x^2 - 5x + 6 = 0$ ved faktorisering.

Løsning:

Vi skal finne to tall med:
- Sum: $-(-5) = 5$
- Produkt: $6$

Tallene $2$ og $3$ har sum $5$ og produkt $6$ .

Altså: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$

$x = 2 \quad$ eller $\quad x = 3$

Svar: $x = 2$ eller $x = 3$

📝Oppgave 2

Faktoriser og løs likningene

x^2 + 7x + 12 = 0

x^2 - x - 12 = 0

x^2 - 9x + 20 = 0

x^2 + 2x - 15 = 0

Konjugatsetningen

Noen andregradsuttrykk kan faktoriseres med konjugatsetningen:

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Dette gir oss en rask metode for likninger på formen $x^2 = k$ .

✏️Eksempel 3

Løs likningen $x^2 - 16 = 0$

Løsning:

Vi bruker konjugatsetningen:

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4) = 0$

$x = -4 \quad$ eller $\quad x = 4$

Alternativt: $x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$

Svar: $x = \pm 4$

📝Oppgave 3

Løs likningene ved å bruke konjugatsetningen

x^2 - 25 = 0

x^2 - 49 = 0

4x^2 - 9 = 0

x^2 = 81

Felles faktor

Hvis alle ledd har en felles faktor, sett denne utenfor parentesen først.

✏️Eksempel 4

Løs likningen $2x^2 - 8x = 0$

Løsning:

Vi setter $2x$ utenfor parentes:

$2x^2 - 8x = 2x(x - 4) = 0$

$2x = 0 \quad$ eller $\quad x - 4 = 0$

$x = 0 \quad$ eller $\quad x = 4$

Svar: $x = 0$ eller $x = 4$

📝Oppgave 4

Løs likningene ved å sette felles faktor utenfor

3x^2 - 12x = 0

x^2 + 5x = 0

-2x^2 + 10x = 0

5x^2 = 15x

✏️Eksempel 5

Løs likningen $3x^2 - 12 = 0$

Løsning:

Vi setter 3 utenfor parentes:

$3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x + 2)(x - 2) = 0$

Siden $3 \neq 0$ , må $(x + 2)(x - 2) = 0$

$x = -2 \quad$ eller $\quad x = 2$

Svar: $x = \pm 2$

📝Oppgave 5

Løs likningene

2x^2 - 50 = 0

3x^2 + 6x - 24 = 0

2x^2 - 14x + 24 = 0

-x^2 + 4x + 5 = 0

Oppsummering

A \cdot B = 0 \Rightarrow A = 0