2.10 Polynomdivisjon og likningsløsning

Bruk polynomdivisjon til å løse polynomlikninger.

35 min

10 oppgaver

PolynomlikningerFaktoriseringTredjegradslikninger

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Polynomdivisjon og likningsløsning

I kapittel 1.8-1.9 lærte du polynomdivisjon og faktorteoremet. Nå skal vi bruke disse verktøyene til å løse polynomlikninger av høyere grad.

Strategi for å løse $P(x) = 0$ :
1. Finn ett nullpunkt $x = a$ (ved å prøve)
2. Divider $P(x)$ på $(x - a)$
3. Løs den enklere likningen du får

📜Faktorteoremet (repetisjon)

Hvis $P(a) = 0$ , så er $(x - a)$ en faktor i $P(x)$ .

Det betyr: $P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$ for et polynom $Q(x)$ .

✏️Eksempel 1

Løs likningen $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

Løsning:

Steg 1: Finn et nullpunkt
Prøver divisorer av konstantleddet 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓

Steg 2: Polynomdivisjon
$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

Steg 3: Faktoriser kvotienten
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Komplett faktorisering:
$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$

Svar: $x = 1$ , $x = 2$ eller $x = 3$

📝Oppgave 1

Finn alle løsninger

x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0

x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0

✏️Eksempel 2

Løs likningen $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

Løsning:

Finn nullpunkt:
$P(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$ ✓

Polynomdivisjon:
$(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6$

Faktoriser:
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Svar: $x = -1$ , $x = 2$ eller $x = 3$

📝Oppgave 2

Løs likningene

x^3 - 7x + 6 = 0

x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0

x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0

Fjerdegradslikninger

For fjerdegradslikninger må vi ofte gjenta prosessen:
1. Finn ett nullpunkt
2. Divider for å få tredjegradspolynom
3. Finn ett nullpunkt til
4. Divider for å få andregradspolynom
5. Løs andregradslikningen

✏️Eksempel 3

Løs likningen $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Løsning:

Metode 1: Substitusjon
Sett $u = x^2$ :
$u^2 - 5u + 4 = 0$
$(u - 1)(u - 4) = 0$
$u = 1$ eller $u = 4$

Tilbake til $x$ :
- $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
- $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

Svar: $x = -2, -1, 1, 2$

Metode 2: Faktorisering
$x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

📝Oppgave 3

Løs likningene

x^4 - 10x^2 + 9 = 0

x^4 - 13x^2 + 36 = 0

x^4 - 5x^2 - 36 = 0

✏️Eksempel 4

Løs likningen $x^3 - 8 = 0$

Løsning:

Metode 1: Direkte
$x^3 = 8$
$x = \sqrt[3]{8} = 2$

Metode 2: Med faktorisering (for oversikt)
Vi vet at $x = 2$ er et nullpunkt.

$(x^3 - 8) : (x - 2) = x^2 + 2x + 4$

Diskriminanten til $x^2 + 2x + 4$ :
$\Delta = 4 - 16 = -12 < 0$

Ingen reelle løsninger fra denne faktoren.

Svar: $x = 2$ (eneste reelle løsning)

📝Oppgave 4

Finn alle reelle løsninger

x^3 - 27 = 0

x^3 + 8 = 0

x^4 - 16 = 0

x^4 - 81 = 0

📝Oppgave 5

Løs likningene ved polynomdivisjon

x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0

2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = 0

x^4 - 4x^3 + 4x^2 = 0

Oppsummering

(x - a)

Matematikk 1TTilbake

2.10 Polynomdivisjon og likningsløsning

Bruk polynomdivisjon til å løse polynomlikninger.

35 min

10 oppgaver

PolynomlikningerFaktoriseringTredjegradslikninger

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Polynomdivisjon og likningsløsning

I kapittel 1.8-1.9 lærte du polynomdivisjon og faktorteoremet. Nå skal vi bruke disse verktøyene til å løse polynomlikninger av høyere grad.

Strategi for å løse $P(x) = 0$ :
1. Finn ett nullpunkt $x = a$ (ved å prøve)
2. Divider $P(x)$ på $(x - a)$
3. Løs den enklere likningen du får

📜Faktorteoremet (repetisjon)

Hvis $P(a) = 0$ , så er $(x - a)$ en faktor i $P(x)$ .

Det betyr: $P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$ for et polynom $Q(x)$ .

✏️Eksempel 1

Løs likningen $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

Løsning:

Steg 1: Finn et nullpunkt
Prøver divisorer av konstantleddet 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓

Steg 2: Polynomdivisjon
$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

Steg 3: Faktoriser kvotienten
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Komplett faktorisering:
$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$

Svar: $x = 1$ , $x = 2$ eller $x = 3$

📝Oppgave 1

Finn alle løsninger

x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0

x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0

✏️Eksempel 2

Løs likningen $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

Løsning:

Finn nullpunkt:
$P(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$ ✓

Polynomdivisjon:
$(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6$

Faktoriser:
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Svar: $x = -1$ , $x = 2$ eller $x = 3$

📝Oppgave 2

Løs likningene

x^3 - 7x + 6 = 0

x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0

x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0

Fjerdegradslikninger

✏️Eksempel 3

Løs likningen $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Løsning:

Metode 1: Substitusjon
Sett $u = x^2$ :
$u^2 - 5u + 4 = 0$
$(u - 1)(u - 4) = 0$
$u = 1$ eller $u = 4$

Tilbake til $x$ :
- $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
- $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

Svar: $x = -2, -1, 1, 2$

Metode 2: Faktorisering
$x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

📝Oppgave 3

Løs likningene

x^4 - 10x^2 + 9 = 0

x^4 - 13x^2 + 36 = 0

x^4 - 5x^2 - 36 = 0

✏️Eksempel 4

Løs likningen $x^3 - 8 = 0$

Løsning:

Metode 1: Direkte
$x^3 = 8$
$x = \sqrt[3]{8} = 2$

Metode 2: Med faktorisering (for oversikt)
Vi vet at $x = 2$ er et nullpunkt.

$(x^3 - 8) : (x - 2) = x^2 + 2x + 4$

Diskriminanten til $x^2 + 2x + 4$ :
$\Delta = 4 - 16 = -12 < 0$

Ingen reelle løsninger fra denne faktoren.

Svar: $x = 2$ (eneste reelle løsning)

📝Oppgave 4

Finn alle reelle løsninger

x^3 - 27 = 0

x^3 + 8 = 0

x^4 - 16 = 0

x^4 - 81 = 0

📝Oppgave 5

Løs likningene ved polynomdivisjon

x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0

2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = 0

x^4 - 4x^3 + 4x^2 = 0

Oppsummering

(x - a)

2.10 Polynomdivisjon og likningsløsning | Matematikk 1T | Eksamenssett