Oversikt

STK1100 legger stor vekt pa kontinuerlige fordelinger, saerlig eksponensial-, gamma- og normalfordelingen. Eksamen krever at du kan utlede egenskaper som forventning og varians fra tettheten eller MGF, samt gjore transformasjoner mellom fordelinger.

Eksponensialfordelingen

$X \sim \text{Exp}(\mu)$ med parametrisering der $\mu$ er forventningen (merk: noen bøker bruker rateparameter $1/\mu$):

$$f_X(x) = \frac{1}{\mu} e^{-x/\mu}, \quad x > 0$$

Egenskaper:

$$E(X) = \mu, \quad V(X) = \mu^2, \quad M_X(t) = \frac{1}{1 - t\mu} \text{ for } t < \frac{1}{\mu}$$

Eksponensialfordelingen modellerer ventetider mellom hendelser i en Poisson-prosess.

Gammafordelingen

$X \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)$ med formparameter $\alpha$ og skalaparameter $\beta$:

$$f_X(x) = \frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}, \quad x > 0$$

Egenskaper:

$$E(X) = \alpha\beta, \quad V(X) = \alpha\beta^2$$

Viktige spesialtilfeller:

$\text{Gamma}(1, \beta) = \text{Exp}(\beta)$
$\text{Gamma}(n/2, 2) = \chi^2_n$ (kjikvadratfordelingen med $n$ frihetsgrader)

Summegenskap: Hvis $X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta)$ er uavhengige med samme skalaparameter $\beta$, da:

$$\sum_i X_i \sim \text{Gamma}\left(\sum_i \alpha_i, \beta\right)$$

Normalfordelingen

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ med tetthet:

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

Standardisering: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$.

Kjikvadratfordelingen fra normalfordelingen

Hvis $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, da er:

$$Y = \left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2_1 = \text{Gamma}(1/2, 2)$$

Dette ble eksplisitt bedt om pa V2022 (Oppgave 3a). Beviset gar via transformasjonsformelen for tettheter.

Sammenheng mellom fordelingene

De tre fordelingene henger tett sammen: eksponensialfordelingen er et spesialtilfelle av gammafordelingen ($\alpha = 1$), og summen av $n$ uavhengige eksponensialfordelte variabler er gammafordelt med $\alpha = n$. Kjikvadratfordelingen (viktig for konfidensintervaller) er gamma med $\beta = 2$. Normalfordelingen koblet til kjikvadrat via transformasjonen $Z^2 \sim \chi^2_1$. Disse sammenhengene utgjor et nettverk som brukes pa tvers av oppgavene.

Eksempel 1: Ventetider med eksponensialfordeling (V2023)

Oppgave: Ventetider mellom radioaktive partikler er $X_i \sim \text{Exp}(\mu)$. Vis at MGF er $M_X(t) = \frac{1}{1 - t\mu}$, og utled $E(X) = \mu$, $V(X) = \mu^2$.

Losning:

$$M_X(t) = E(e^{tX}) = \int_0^\infty e^{tx} \cdot \frac{1}{\mu} e^{-x/\mu} \, dx = \frac{1}{\mu} \int_0^\infty e^{-(1/\mu - t)x} \, dx = \frac{1}{\mu} \cdot \frac{1}{1/\mu - t} = \frac{1}{1 - t\mu}$$

Derivering: $M_X'(t) = \frac{\mu}{(1-t\mu)^2}$, sa $E(X) = M_X'(0) = \mu$.

$M_X''(t) = \frac{2\mu^2}{(1-t\mu)^3}$, sa $E(X^2) = M_X''(0) = 2\mu^2$.

$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2\mu^2 - \mu^2 = \mu^2$$

Eksempel 2: Transformasjon til kjikvadrat (V2022)

Oppgave: La $X \sim N(\mu, \sigma^2)$. Vis at $Y = \left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \text{Gamma}(1/2, 2)$.

Losning: La $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$. Da $Y = Z^2$. For $y > 0$:

$$F_Y(y) = P(Z^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq Z \leq \sqrt{y}) = 2\Phi(\sqrt{y}) - 1$$

Deriverer: $$f_Y(y) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{-1/2} e^{-y/2}$$

Dette er tettheten til $\text{Gamma}(1/2, 2)$ siden $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$.

Studieguide: Kontinuerlige fordelinger