Oversikt

Konfidensintervaller (KI) er et av de viktigste temaene pa eksamen. I motsetning til mange andre kurs ma du pa STK1100 utlede konfidensintervallet fra bunnen av, ikke bare plugge inn i en ferdig formel. Typisk: (1) finn en pivotal storrelse, (2) bruk dens fordeling til a konstruere intervallet.

Metode 1: Normalapproksimasjon

Nar $\hat{\theta} \approx N(\theta, V(\hat{\theta}))$, er:

$$P\left(-z_{\alpha/2} \leq \frac{\hat{\theta} - \theta}{\text{SE}(\hat{\theta})} \leq z_{\alpha/2}\right) \approx 1 - \alpha$$

Losning for $\theta$ gir det standard KI:

$$\hat{\theta} \pm z_{\alpha/2} \cdot \text{SE}(\hat{\theta})$$

Merk: Denne metoden gir et tilnaermet KI fordi den baserer seg pa normalapproksimasjon. Kvaliteten avhenger av hvor god approksimasjonen er (dvs. hvor stor $n$ er).

Metode 2: Pivotal storrelse med kjikvadratfordeling

Nar vi kan vise at $Q = g(\hat{\theta}, \theta) \sim \chi^2_k$, bruker vi persentiler:

$$P(\chi^2_{k, 1-\alpha/2} \leq Q \leq \chi^2_{k, \alpha/2}) = 1 - \alpha$$

Og loser for $\theta$. Dette gir et eksakt (ikke tilnaermet) konfidensintervall.

Metode 3: Ikke-standard omforming

Pa V2024 ble det konstruert et KI der standardfeilen inneholdt den ukjente parameteren $\sigma$. I stedet for a bruke plug-in ble det lost algebraisk:

$$-z_{\alpha/2} \leq \frac{\hat{\sigma} - \sigma}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z_{\alpha/2}$$

Losning for $\sigma$ gir:

$$\frac{\hat{\sigma}}{1 + z_{\alpha/2}/\sqrt{n}} \leq \sigma \leq \frac{\hat{\sigma}}{1 - z_{\alpha/2}/\sqrt{n}}$$

Eksempel 1: Eksakt KI via kjikvadrat (V2023)

Oppgave: $\frac{2n\hat{\mu}}{\mu} \sim \chi^2_{2n}$. Lag 95 % KI for $\mu$ med $n = 30$, $\hat{\mu} = 40$, $\chi^2_{60, 0.975} = 40.48$, $\chi^2_{60, 0.025} = 83.30$.

Losning:

$$P\left(\chi^2_{60, 0.975} \leq \frac{2 \cdot 30 \cdot \hat{\mu}}{\mu} \leq \chi^2_{60, 0.025}\right) = 0.95$$

$$P\left(\frac{2n\hat{\mu}}{\chi^2_{60, 0.025}} \leq \mu \leq \frac{2n\hat{\mu}}{\chi^2_{60, 0.975}}\right) = 0.95$$

$$\left[\frac{60 \cdot 40}{83.30}, \, \frac{60 \cdot 40}{40.48}\right] = [28.81, \, 59.29]$$

Eksempel 2: To typer KI for sigma (V2024)

Oppgave: Laplace-fordeling med $\hat{\sigma} = \frac{1}{n}\sum|X_i|$. Konstruer to 95 % KI.

Losning (ki1): Fra $Z = \frac{\hat{\sigma} - \sigma}{\sigma/\sqrt{n}} \approx N(0,1)$:

$$\frac{\hat{\sigma}}{1 + 1.96/\sqrt{n}} \leq \sigma \leq \frac{\hat{\sigma}}{1 - 1.96/\sqrt{n}}$$

Losning (ki2): Fra $Z' = \frac{\hat{\sigma} - \sigma}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} \approx N(0,1)$:

$$\hat{\sigma} - 1.96 \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq \sigma \leq \hat{\sigma} + 1.96 \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}$$

ki1 er bedre for lite $n$ fordi det unngr ekstra usikkerhet fra a estimere SE. Legg merke til at ki1 ikke er symmetrisk rundt $\hat{\sigma}$, mens ki2 er det. For store $n$ konvergerer de to intervallene mot hverandre. Pa eksamen V2024 ble kandidatene bedt om a diskutere simuleringsstudier som sammenlignet dekningsgraden til de to metodene -- dette er et typisk diskusjonssporsmal.

Studieguide: Konfidensintervaller

Studieguide: Konfidensintervaller