STK1100

Studieguide

God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

STK1100 Sannsynlighetsregning og statistisk modellering er et grunnleggende emne ved Universitetet i Oslo som dekker sannsynlighetsteori, fordelinger, estimering og regresjonsanalyse. Eksamen varer 4 timer, bestar typisk av 4 oppgaver, og tillater godkjent kalkulator samt den offisielle formelsamlingen for STK1100.

Kurset bygger opp fra grunnleggende sannsynlighetsregning (betinget sannsynlighet, Bayes' formel) via diskrete og kontinuerlige fordelinger (Poisson, eksponensial, gamma, normal) til simultanfordelinger, estimering (MLE, momentestimering), konfidensintervaller og enkel lineaer regresjon. Et gjennomgaende tema er a utlede resultater matematisk -- eksamen krever fullstendige bevis og utledninger, ikke bare bruk av formler.

Viktig: Eksamen gir formelsamling som vedlegg, men du ma kunne bruke formlene aktivt i utledninger, integrere tettheter, derivere log-likelihood-funksjoner og argumentere med sentralgrenseteoremet. Rene beregningsoppgaver er sjeldne; de fleste deloppgaver krever at du viser eller argumenterer for et resultat.

Sannsynlighetsregning og Bayes' formel

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes' formel. Brukes til a 'snu' betingede sannsynligheter i praktiske kontekster som medisinsk testing, bakterieresistens og jukseterninger.

Oversikt

Oppgave 1 pa eksamen handler nesten alltid om sannsynlighetsregning med betinget sannsynlighet og Bayes' formel. Oppgavene er gjerne satt i en praktisk kontekst (bakterier, terninger, medisinsk testing) og krever systematisk bruk av sannsynlighetsregler. Gjennom tre eksamensar (V2022, V2023, V2024) ser vi at denne oppgaven er den mest tilgjengelige og gir rask uttelling dersom du behersker metodikken.

Grunnleggende regler

Betinget sannsynlighet er definert som:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Dette gir oss multiplikasjonsregelen:

$P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A)$

Loven om total sannsynlighet dekomponerer en sannsynlighet over alle mulige tilfeller. Hvis $B_1, B_2, \ldots, B_k$ er en partisjon av utfallsrommet:

$P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)$

Bayes' formel snur betingelsen:

$P(B_j \mid A) = \frac{P(A \mid B_j) \cdot P(B_j)}{\sum_{i=1}^{k} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)}$

Strategi for losning

Folg denne oppskriften for Bayes-oppgaver:

Definer hendelsene eksplisitt med symboler (f.eks. $M$ = mutasjon, $O$ = overlever).
Identifiser hva som er gitt: prior-sannsynligheter $P(B_i)$ og betingede sannsynligheter $P(A \mid B_i)$ .
Bruk total sannsynlighet for a finne $P(A)$ (nevneren i Bayes' formel).
Sett inn i Bayes' formel for a finne den onsekde posterior-sannsynligheten.

Denne systematikken sikrer at du ikke glemmer noen ledd, og gjor det lett a kontrollere svaret.

Viktig: Iterert Bayes

Pa eksamen 2023 matte man bruke Bayes' formel to ganger i rekke (antibiotikaresistens). Etter forste runde ble posterior-sannsynligheten fra forste beregning brukt som prior i neste runde. Dette er et kraftig konsept som viser hvordan informasjon oppdaterer sannsynligheter sekvensielt.

Eksempel 1: Jukseterning (V2022)

Oppgave: Terning 1 (jukse) har $P(6) = 1/5$ . Terning 2 (vanlig) har $P(6) = 1/6$ . Line velger tilfeldig en terning og kaster. (a) Finn $P(\text{sekser})$ . (b) Gitt at det IKKE ble sekser, finn $P(\text{Terning 1})$ .

Losning:

(a) Total sannsynlighet:

$P(6) = P(6 \mid T_1)P(T_1) + P(6 \mid T_2)P(T_2) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{12} = \frac{11}{60}$

(b) Vi trenger $P(T_1 \mid 6^c)$ . Bayes' formel:

$P(T_1 \mid 6^c) = \frac{P(6^c \mid T_1) \cdot P(T_1)}{P(6^c)} = \frac{\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{11}{60}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{49}{60}} = \frac{24}{49}$

Eksempel 2: Antibiotikaresistens (V2023)

Oppgave: 10 % av bakterier har mutasjon. Muterte overlever med $P = 0.20$ , umuterte med $P = 0.01$ . (a) $P(\text{overlever})$ ? (b) $P(\text{mutasjon} \mid \text{overlever})$ ?

Losning:

(a) $P(O) = 0.20 \cdot 0.10 + 0.01 \cdot 0.90 = 0.020 + 0.009 = 0.029$

(b) $P(M \mid O) = \frac{0.20 \cdot 0.10}{0.029} = \frac{0.020}{0.029} \approx 0.690$

Etter kuren har andelen muterte bakterier okt fra 10 % til 69 %. Hvis vi tar en ny kur med samme antibiotika, bruker vi 0.690 som ny prior og gjentar beregningen. (c) Andre runde: $P(O) = 0.20 \cdot 0.690 + 0.01 \cdot 0.310 = 0.141$ . Ny posterior: $P(M|O) = \frac{0.138}{0.141} \approx 0.979$ . Na er nesten alle overlevende bakterier resistente -- et tydelig eksempel pa evolusjon i aksjon.

Nøkkelformler

•$ $\displaystyle P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ $ (Betinget sannsynlighet)
•$ $P(A) = \sum_{i} P(A \mid B_i) P(B_i)$ $ (Total sannsynlighet)
•$ $\displaystyle P(B_j \mid A) = \frac{P(A \mid B_j) P(B_j)}{\sum_i P(A \mid B_i) P(B_i)}$ $ (Bayes' formel)
•$ $P(A^c) = 1 - P(A)$ $ (Komplementregelen)

Vanlige feil

⚠️Forveksle P(A|B) og P(B|A) -- de er generelt IKKE like. Bayes' formel snur rekkefølgen.
⚠️Glemme a bruke total sannsynlighet i nevneren til Bayes' formel.
⚠️I itererte Bayes-oppgaver: bruke den opprinnelige prior i stedet for den oppdaterte posterior.
⚠️Blande disjunkte og uavhengige hendelser. Disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet er alltid avhengige.

Eksamenstips

💡Oppgave 1 er nesten alltid Bayes/betinget sannsynlighet. Start her -- det gir rask uttelling.
💡Definer hendelsene med tydelige symboler (f.eks. M = mutasjon, O = overlever) for du begynner.
💡Sjekk alltid at sannsynlighetene summerer til 1 som en kontroll.
💡V2022 og V2023 hadde begge Bayes-oppgaver med praktisk kontekst. Forvent samme mønster.

Laster...

Introduksjon