Gratis flashcards

For et utvalg $X_1,\ldots,X_n$ defineres den empiriske CDF-en som $\hat{F}_n(x)=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbf{1}\{X_i\le x\}$, altså andelen observasjoner som er $\le x$. For fast $x$ er $n\hat{F}_n(x)\sim \text{Bin}(n, F(x))$, der $F$ er den sanne CDF-en. Derfor er $E[\hat{F}_n(x)]=F(x)$ (forventningsrett) og $\text{Var}(\hat{F}_n(x))=\dfrac{F(x)(1-F(x))}{n}\to 0$ når $n\to\infty$. Ved store talls lov konvergerer $\hat{F}_n(x)\to F(x)$ punktvis, og Glivenko–Cantelli-setningen gir at $\sup_x|\hat{F}_n(x)-F(x)|\to 0$ nesten sikkert (uniform konvergens).