Oversikt

Korrelasjon og regresjon er nest hyppigste tema i PSY1010 og forekommer på fire av fem eksamenssett. Den typiske oppgaven gir et scenario med to samvarierende variabler og en oppgitt \(r\)-verdi, og ber deg tolke styrke og retning, regne ut delt varians, vurdere signifikans, drøfte tredjevariabler og forklare hvorfor kausale slutninger ikke er dekket.

Korrelasjonskoeffisienten

Pearsons \(r\) måler styrken og retningen på den lineære sammenhengen mellom to variabler, og bygger på naturlig variasjon, til forskjell fra eksperimentets påførte. Verdien går fra \(-1\) (perfekt negativ) gjennom \(0\) (ingen lineær sammenheng) til \(+1\) (perfekt positiv). I psykologisk forskning regnes \(r\) rundt 0,10 som svak, 0,30 som moderat og 0,50 og over som sterk.

To egenskaper gir ofte poeng: \(r\) er symmetrisk — like riktig å korrelere \(y\) med \(x\) som omvendt — og uten enhet, fordi den regnes av standardiserte avvik, så et bytte fra minutter til sekunder endrer ikke \(r\).

Eksempel 1: Pearsons r regnet fra rådata

Ti studenter oppgir timer selvstudium per uke (\(x\)) og eksamensskåre av 100 mulige (\(y\)):

\(x\)	4	6	6	8	10	10	12	14	14	16
\(y\)	48	61	43	56	69	51	64	68	68	72
\(x-\bar{x}\)	-6	-4	-4	-2	0	0	2	4	4	6
\(y-\bar{y}\)	-12	1	-17	-4	9	-9	4	8	8	12
produkt	72	-4	68	8	0	0	8	32	32	72

Summene er \(\sum x = 100\) og \(\sum y = 600\), så \(\bar{x} = 10\) og \(\bar{y} = 60\). Kvadratsummene av avvikene blir \(\sum(x-\bar{x})^2 = 144\) og \(\sum(y-\bar{y})^2 = 900\), og produktsummen \(\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 72-4+68+8+0+0+8+32+32+72 = 288\). Da er \[r=\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^2\sum(y-\bar{y})^2}}=\frac{288}{\sqrt{144\cdot 900}}=\frac{288}{360}=0{,}80\] Standardavvikene blir \(SD_x=\sqrt{144/9}=4{,}0\) og \(SD_y=\sqrt{900/9}=10{,}0\). Kontroll: begge avviksradene summerer seg til null.

Tolkning: en sterk positiv sammenheng — studenter med mange studietimer får gjennomgående høyere skåre. Men den er ikke perfekt: to studenter med 6 timer fikk 61 og 43 poeng.

Delt varians

Determinasjonskoeffisienten \(r^2\) angir andelen av variansen i den ene variabelen som deles med den andre. Her er \(r^2 = 0{,}80^2 = 0{,}64\), altså 64 % delt varians, og 36 % av variasjonen i eksamensskåre henger sammen med noe annet. Ved \(r = 0{,}30\) er \(r^2 = 0{,}09\), altså 9 % delt varians. En «moderat» korrelasjon lar over 90 % stå uforklart — derfor bør \(r^2\) alltid oppgis ved siden av \(r\).

Signifikanstest av r

Selv om det ikke finnes noen sammenheng i populasjonen (\(H_0: \rho = 0\)), gir et utvalg nesten aldri \(r\) helt lik null. Testen spør om det observerte \(r\) er større enn utvalgsvariasjon alene kan forklare. Teststatistikken følger t-fordelingen med \(df = n - 2\) — to frihetsgrader går tapt fordi begge gjennomsnittene er estimert — og kritisk \(r\) slås opp i tabell. Med \(n = 10\), altså \(df = 8\), er kritisk verdi for tosidig test på 5 %-nivå \(r_{krit} = 0{,}632\). Siden \(0{,}80 > 0{,}632\), forkastes \(H_0\): sammenhengen er statistisk signifikant.

Kravet avhenger sterkt av utvalgsstørrelsen: kritisk verdi er 0,632 ved \(n = 10\), 0,444 ved \(n = 20\), 0,361 ved \(n = 30\) og bare 0,197 ved \(n = 100\). Med hundre deltakere blir \(r = 0{,}20\) signifikant — men \(r^2 = 0{,}04\) betyr 4 % delt varians, praktisk nesten uten betydning. Signifikans og styrke er to forskjellige spørsmål, og en god besvarelse svarer på begge.

Eksempel 2: regresjonslikningen og en prediksjon

Regresjon bruker sammenhengen til å predikere kriterievariabelen \(y\) ut fra prediktoren \(x\). Likningen for den beste rette linjen er \(\hat{y} = a + bx\), der \[b=r\cdot\frac{SD_y}{SD_x}=0{,}80\cdot\frac{10{,}0}{4{,}0}=2{,}00 \qquad a=\bar{y}-b\bar{x}=60-2{,}00\cdot 10=40\] Regresjonslikningen blir dermed \(\hat{y}=40+2{,}00x\).

Prediksjon: for en student med 13 studietimer per uke er \(\hat{y}=40+2{,}00\cdot 13=66\) poeng. Tolkning av \(b\): hver ekstra studietime er forbundet med 2 poeng høyere predikert skåre. Tolkning av \(a\): 40 poeng er predikert skåre ved null studietimer, et tall som ligger utenfor det observerte området (4 til 16 timer) og derfor ikke bør tas bokstavelig. Å predikere langt utenfor variasjonsbredden er en vanlig feil.

Minste kvadraters metode og residualer

Linjen tilpasses med minste kvadraters metode: slik at summen av de kvadrerte loddrette avstandene fra punktene til linjen blir minst mulig. Avstanden \(y-\hat{y}\) er residualet — prediksjonsfeilen for den enkelte.

For datasettet over gir \(\hat{y}=40+2x\) residualene \(0, +9, -9, 0, +9, -9, 0, 0, 0, 0\). Residualsummen er 0, som den alltid skal være, og kvadratsummen \(4\cdot 81 = 324\). Kontroll: uforklart kvadratsum skal være \(\sum(y-\bar{y})^2(1-r^2) = 900 \cdot 0{,}36 = 324\) — samme tall. Forklart del er \(900 - 324 = 576 = 0{,}64 \cdot 900\), som er nettopp hva «64 % delt varians» betyr regnet i kvadratsummer.

Spredningen av residualene er standardfeilen til estimatet, her \(\sqrt{324/8} = 6{,}36\) poeng med \(df = 8\). Den forteller hvor unøyaktig en enkeltprediksjon er: selv med \(r = 0{,}80\) bommer vi typisk med drøyt seks poeng.

Fire forhold som forvrenger r

Restriksjon i variasjonsbredde. Måler du bare en del av spennet, faller \(r\). Bruker vi bare de seks studentene med 10 timer eller mindre, synker korrelasjonen fra 0,80 til 0,52 — samme underliggende sammenheng, mindre spredning i \(x\). Det er derfor opptaksprøver kan se ut til å predikere dårlig blant dem som kom inn.

Attenuering ved lav reliabilitet. Målefeil trekker \(r\) systematisk mot null. Med observert \(r_{xy}=0{,}40\) og reliabiliteter 0,64 og 0,81 blir korrigert verdi \(0{,}40/\sqrt{0{,}64\cdot 0{,}81}=0{,}40/0{,}72=0{,}56\). En svak korrelasjon kan altså skyldes dårlige måleinstrumenter framfor et svakt fenomen.

Kurvelineære sammenhenger. Pearsons \(r\) fanger bare det lineære. Måler vi aktiveringsnivå 1–7 mot prestasjon og får 20, 35, 45, 50, 45, 35, 20, er sammenhengen sterk og systematisk — den omvendte U-en — men \(r = 0{,}00\), fordi den stiger og synker like mye. Uten spredningsdiagram er slike mønstre usynlige.

Uteliggere. Ett enkelt punkt kan avgjøre bildet i små utvalg. Legger vi til én student med 30 timer og 30 poeng, faller \(r\) fra \(+0{,}80\) til \(-0{,}28\): retningen snur på grunn av ett punkt. Se alltid på spredningsdiagrammet før du tolker \(r\).

Korrelasjon er ikke kausalitet

At \(x\) og \(y\) samvarierer, kan ha tre helt ulike årsaker: at \(x\) påvirker \(y\), at \(y\) påvirker \(x\) (omvendt årsaksretning — de som forstår faget best, kan være de som synes det er verdt å bruke tid på det), eller at en tredjevariabel påvirker begge. I store datasett kan samvariasjonen også være rent tilfeldig.

En tredjevariabel kan virke på tre måter: som bakenforliggende variabel (\(z\) påvirker både \(x\) og \(y\), slik at sammenhengen er spuriøs — solskinn driver både iskremsalg og drukningsulykker), som mellomliggende variabel (\(x \rightarrow z \rightarrow y\)), eller som moderator (\(z\) endrer styrken på sammenhengen; studietimer betaler seg kanskje bedre for dem som bruker aktive læringsstrategier). En enkel piltegning av modellen blir belønnet.

For å hevde årsak kreves tre ting samtidig: samvariasjon, tidsrekkefølge slik at årsaken kommer først, og utelukking av alternative forklaringer, i praksis gjennom randomisert tilordning og kontroll. En korrelasjonsstudie oppfyller bare det første kravet fullt ut. Når du skal drøfte årsak, må du derfor gjøre rede for hvorfor én forklaring er mer sannsynlig enn de andre — og du bør spørre om målingene i det hele tatt er gode nok. Regresjon endrer ikke dette: at vi kaller \(x\) prediktor og \(y\) kriterium, er en beslutning om regneretning, ikke et funn om årsak.

Studieguide: Korrelasjon og regresjon