eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Skolenyttig
Forum
eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Skolenyttig
Forum
eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Skolenyttig
Forum
MEK1100
Cheat Sheet
Formler, begreper og oppsummering
Feltteori og vektoranalyse
eksamenssett.no
Formler
Differensialoperatorer (kartesisk)
•
∇
f
=
∂
f
∂
x
i
+
∂
f
∂
y
j
+
∂
f
∂
z
k
\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k}
∇
f
=
∂
x
∂
f
i
+
∂
y
∂
f
j
+
∂
z
∂
f
k
•
∇
⋅
v
=
∂
v
x
∂
x
+
∂
v
y
∂
y
+
∂
v
z
∂
z
\nabla \cdot \boldsymbol{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}
∇
⋅
v
=
∂
x
∂
v
x
+
∂
y
∂
v
y
+
∂
z
∂
v
z
•
∇
×
v
=
∣
i
j
k
∂
x
∂
y
∂
z
v
x
v
y
v
z
∣
\nabla \times \boldsymbol{v} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}
∇
×
v
=
i
∂
x
v
x
j
∂
y
v
y
k
∂
z
v
z
•
∇
2
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
+
∂
2
f
∂
z
2
\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
∇
2
f
=
∂
x
2
∂
2
f
+
∂
y
2
∂
2
f
+
∂
z
2
∂
2
f
Integralsatsene
•
∮
S
v
⋅
n
d
S
=
∫
V
∇
⋅
v
d
V
(Gauss’ divergensteorem)
\oint_S \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}\, dS = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{v}\, dV \quad\text{(Gauss' divergensteorem)}
∮
S
v
⋅
n
d
S
=
∫
V
∇
⋅
v
d
V
(Gauss’ divergensteorem)
•
∮
C
v
⋅
d
r
=
∫
S
(
∇
×
v
)
⋅
n
d
S
(Stokes’ teorem)
\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{n}\, dS \quad\text{(Stokes' teorem)}
∮
C
v
⋅
d
r
=
∫
S
(
∇
×
v
)
⋅
n
d
S
(Stokes’ teorem)
Potensialteori
•
v
=
∇
ϕ
⟺
∇
×
v
=
0
\boldsymbol{v} = \nabla\phi \iff \nabla \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}
v
=
∇
ϕ
⟺
∇
×
v
=
0
•
v
x
=
∂
ψ
∂
y
,
v
y
=
−
∂
ψ
∂
x
⟺
∇
⋅
v
=
0
(2D)
v_x = \frac{\partial\psi}{\partial y},\; v_y = -\frac{\partial\psi}{\partial x} \iff \nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0 \text{ (2D)}
v
x
=
∂
y
∂
ψ
,
v
y
=
−
∂
x
∂
ψ
⟺
∇
⋅
v
=
0
(2D)
Fluidmekanikk
•
ρ
D
v
D
t
=
−
∇
p
+
ρ
g
(Eulers bevegelseslikning)
\rho\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = -\nabla p + \rho\boldsymbol{g} \quad\text{(Eulers bevegelseslikning)}
ρ
D
t
D
v
=
−
∇
p
+
ρ
g
(Eulers bevegelseslikning)
•
D
v
D
t
=
∂
v
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
v
\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} + (\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}
D
t
D
v
=
∂
t
∂
v
+
(
v
⋅
∇
)
v
•
p
+
1
2
ρ
v
2
+
ρ
g
z
=
konst.
(Bernoullis likning)
p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{konst.} \quad\text{(Bernoullis likning)}
p
+
2
1
ρ
v
2
+
ρ
g
z
=
konst.
(Bernoullis likning)
Varmetransport
•
H
=
−
k
∇
T
(Fouriers lov)
\boldsymbol{H} = -k\nabla T \quad\text{(Fouriers lov)}
H
=
−
k
∇
T
(Fouriers lov)
•
∂
T
∂
t
+
v
⋅
∇
T
=
κ
∇
2
T
(Varmetransportlikningen)
\frac{\partial T}{\partial t} + \boldsymbol{v}\cdot\nabla T = \kappa\nabla^2 T \quad\text{(Varmetransportlikningen)}
∂
t
∂
T
+
v
⋅
∇
T
=
κ
∇
2
T
(Varmetransportlikningen)
Vektoridentiteter
•
∇
×
(
∇
f
)
=
0
\nabla \times (\nabla f) = \boldsymbol{0}
∇
×
(
∇
f
)
=
0
•
∇
⋅
(
∇
×
v
)
=
0
\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{v}) = 0
∇
⋅
(
∇
×
v
)
=
0
•
∇
⋅
(
f
v
)
=
f
(
∇
⋅
v
)
+
v
⋅
∇
f
\nabla \cdot (f\boldsymbol{v}) = f(\nabla\cdot\boldsymbol{v}) + \boldsymbol{v}\cdot\nabla f
∇
⋅
(
f
v
)
=
f
(
∇
⋅
v
)
+
v
⋅
∇
f
Nøkkelformler per tema
Gradient og skalarfelt
•
∇
f
=
∂
f
∂
x
i
+
∂
f
∂
y
j
+
∂
f
∂
z
k
\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k}
∇
f
=
∂
x
∂
f
i
+
∂
y
∂
f
j
+
∂
z
∂
f
k
(Gradient, kartesisk)
•
∇
f
=
∂
f
∂
r
i
r
+
1
r
∂
f
∂
θ
i
θ
+
∂
f
∂
z
k
\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{i}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{i}_\theta + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k}
∇
f
=
∂
r
∂
f
i
r
+
r
1
∂
θ
∂
f
i
θ
+
∂
z
∂
f
k
(Gradient, sylinder)
•
∇
f
=
∂
f
∂
r
i
r
+
1
r
∂
f
∂
θ
i
θ
+
1
r
sin
θ
∂
f
∂
ϕ
i
ϕ
\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{i}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{i}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{i}_\phi
∇
f
=
∂
r
∂
f
i
r
+
r
1
∂
θ
∂
f
i
θ
+
r
sin
θ
1
∂
ϕ
∂
f
i
ϕ
(Gradient, kule)
•
D
e
f
=
∇
f
⋅
e
D_{\boldsymbol{e}} f = \nabla f \cdot \boldsymbol{e}
D
e
f
=
∇
f
⋅
e
(Retningsderiverte)
•
H
=
−
k
∇
T
\boldsymbol{H} = -k\nabla T
H
=
−
k
∇
T
(Fouriers lov)
Divergens og kontinuitetslikningen
•
∇
⋅
v
=
∂
v
x
∂
x
+
∂
v
y
∂
y
+
∂
v
z
∂
z
\nabla \cdot \boldsymbol{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}
∇
⋅
v
=
∂
x
∂
v
x
+
∂
y
∂
v
y
+
∂
z
∂
v
z
(Divergens, kartesisk)
•
∇
⋅
v
=
1
r
∂
(
r
v
r
)
∂
r
+
1
r
∂
v
θ
∂
θ
+
∂
v
z
∂
z
\nabla \cdot \boldsymbol{v} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rv_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z}
∇
⋅
v
=
r
1
∂
r
∂
(
r
v
r
)
+
r
1
∂
θ
∂
v
θ
+
∂
z
∂
v
z
(Divergens, sylinder)
•
∮
S
v
⋅
n
d
S
=
∫
V
∇
⋅
v
d
V
\oint_S \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}\, dS = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{v}\, dV
∮
S
v
⋅
n
d
S
=
∫
V
∇
⋅
v
d
V
(Gauss' divergensteorem)
•
∇
⋅
v
=
0
\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0
∇
⋅
v
=
0
(Kontinuitetslikningen for inkompressibel fluid)
•
Q
=
∫
A
v
⋅
n
d
A
Q = \int_A \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}\, dA
Q
=
∫
A
v
⋅
n
d
A
(Integrert volumfluks)
Curl og virvling
•
∇
×
v
=
(
∂
v
z
∂
y
−
∂
v
y
∂
z
)
i
+
(
∂
v
x
∂
z
−
∂
v
z
∂
x
)
j
+
(
∂
v
y
∂
x
−
∂
v
x
∂
y
)
k
\nabla \times \boldsymbol{v} = \left(\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\boldsymbol{i} + \left(\frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\boldsymbol{j} + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\boldsymbol{k}
∇
×
v
=
(
∂
y
∂
v
z
−
∂
z
∂
v
y
)
i
+
(
∂
z
∂
v
x
−
∂
x
∂
v
z
)
j
+
(
∂
x
∂
v
y
−
∂
y
∂
v
x
)
k
(Curl, kartesisk)
•
∮
C
v
⋅
d
r
=
∫
S
(
∇
×
v
)
⋅
n
d
S
\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{n}\, dS
∮
C
v
⋅
d
r
=
∫
S
(
∇
×
v
)
⋅
n
d
S
(Stokes' teorem)
•
Γ
=
∮
C
v
⋅
d
r
\Gamma = \oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r}
Γ
=
∮
C
v
⋅
d
r
(Sirkulasjon)
•
∇
×
v
=
0
⟹
v
=
∇
ϕ
\nabla \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} \implies \boldsymbol{v} = \nabla\phi
∇
×
v
=
0
⟹
v
=
∇
ϕ
(Virvelfritt felt har skalarpotensial)
•
∇
×
(
∇
f
)
=
0
\nabla \times (\nabla f) = \boldsymbol{0}
∇
×
(
∇
f
)
=
0
(Curl av gradient er alltid null)
Potensialteori og stromfunksjoner
•
v
=
∇
ϕ
⟺
∇
×
v
=
0
\boldsymbol{v} = \nabla\phi \iff \nabla \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}
v
=
∇
ϕ
⟺
∇
×
v
=
0
(Skalarpotensial eksisterer for virvelfritt felt)
•
v
x
=
∂
ψ
∂
y
,
v
y
=
−
∂
ψ
∂
x
v_x = \frac{\partial\psi}{\partial y}, \quad v_y = -\frac{\partial\psi}{\partial x}
v
x
=
∂
y
∂
ψ
,
v
y
=
−
∂
x
∂
ψ
(Stromfunksjon for divergensfritt 2D-felt)
•
∂
ϕ
∂
x
=
∂
ψ
∂
y
,
∂
ϕ
∂
y
=
−
∂
ψ
∂
x
\frac{\partial\phi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y}, \quad \frac{\partial\phi}{\partial y} = -\frac{\partial\psi}{\partial x}
∂
x
∂
ϕ
=
∂
y
∂
ψ
,
∂
y
∂
ϕ
=
−
∂
x
∂
ψ
(Cauchy-Riemann)
•
∇
2
ϕ
=
0
\nabla^2 \phi = 0
∇
2
ϕ
=
0
(Laplace-likningen -- potensialfeltet til divergensfri strom)
Linjeintegraler og kurveintegraler
•
∫
C
v
⋅
d
r
=
∫
a
b
v
(
r
(
t
)
)
⋅
r
′
(
t
)
d
t
\int_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_a^b \boldsymbol{v}(\boldsymbol{r}(t)) \cdot \boldsymbol{r}'(t)\, dt
∫
C
v
⋅
d
r
=
∫
a
b
v
(
r
(
t
))
⋅
r
′
(
t
)
d
t
(Kurveintegral)
•
∫
C
∇
ϕ
⋅
d
r
=
ϕ
(
B
)
−
ϕ
(
A
)
\int_C \nabla\phi \cdot d\boldsymbol{r} = \phi(B) - \phi(A)
∫
C
∇
ϕ
⋅
d
r
=
ϕ
(
B
)
−
ϕ
(
A
)
(Veiuavhengighet for konservativt felt)
•
∮
C
v
⋅
d
r
=
0
\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = 0
∮
C
v
⋅
d
r
=
0
for virvelfritt felt
•
∮
C
v
⋅
d
r
=
∫
S
(
∇
×
v
)
⋅
n
d
S
\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{n}\, dS
∮
C
v
⋅
d
r
=
∫
S
(
∇
×
v
)
⋅
n
d
S
(Stokes' teorem)
Flateintegraler og fluks
•
Φ
=
∫
S
v
⋅
n
d
S
\Phi = \int_S \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}\, dS
Φ
=
∫
S
v
⋅
n
d
S
(Fluks gjennom flate)
•
d
S
=
R
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
i
r
d\boldsymbol{S} = R^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi\,\boldsymbol{i}_r
d
S
=
R
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
i
r
(Flateelement, kuleskall)
•
d
S
=
R
d
θ
d
z
i
r
d\boldsymbol{S} = R\, d\theta\, dz\,\boldsymbol{i}_r
d
S
=
R
d
θ
d
z
i
r
(Flateelement, sylinderflate)
•
∫
0
π
sin
θ
d
θ
=
2
\int_0^\pi \sin\theta\, d\theta = 2
∫
0
π
sin
θ
d
θ
=
2
(Nyttig standardintegral for kulekoordinater)
•
∮
S
v
⋅
d
S
=
∫
V
∇
⋅
v
d
V
\oint_S \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{v}\, dV
∮
S
v
⋅
d
S
=
∫
V
∇
⋅
v
d
V
(Gauss' divergensteorem)
Eulers bevegelseslikning og Bernoullis likning
•
ρ
D
v
D
t
=
−
∇
p
+
ρ
g
\rho\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = -\nabla p + \rho\boldsymbol{g}
ρ
D
t
D
v
=
−
∇
p
+
ρ
g
(Eulers bevegelseslikning)
•
D
v
D
t
=
∂
v
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
v
\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} + (\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v}
D
t
D
v
=
∂
t
∂
v
+
(
v
⋅
∇
)
v
(Materiell deriverte)
•
p
+
1
2
ρ
v
2
+
ρ
g
z
=
konst.
p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{konst.}
p
+
2
1
ρ
v
2
+
ρ
g
z
=
konst.
(Bernoullis likning langs stromlinje)
•
(
v
⋅
∇
)
v
inneholder
−
v
θ
2
r
i
r
(\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} \text{ inneholder } -\frac{v_\theta^2}{r}\boldsymbol{i}_r
(
v
⋅
∇
)
v
inneholder
−
r
v
θ
2
i
r
(Sentripetalsakselerasjon)
Varmeledning og varmetransport
•
H
=
−
k
∇
T
\boldsymbol{H} = -k\nabla T
H
=
−
k
∇
T
(Fouriers lov)
•
∂
T
∂
t
=
κ
∇
2
T
\frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T
∂
t
∂
T
=
κ
∇
2
T
(Varmelikningen uten konveksjon)
•
∂
T
∂
t
+
v
⋅
∇
T
=
κ
∇
2
T
\frac{\partial T}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \nabla T = \kappa \nabla^2 T
∂
t
∂
T
+
v
⋅
∇
T
=
κ
∇
2
T
(Varmetransportlikningen)
•
∇
2
T
=
1
r
2
d
d
r
(
r
2
d
T
d
r
)
\nabla^2 T = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dT}{dr}\right)
∇
2
T
=
r
2
1
d
r
d
(
r
2
d
r
d
T
)
(Laplacian, sfaerisk symmetri)
•
κ
=
k
ρ
c
\kappa = \frac{k}{\rho c}
κ
=
ρ
c
k
(Varmediffusivitet)
Koordinatsystemer og transformasjoner
•
x
=
r
cos
θ
,
y
=
r
sin
θ
x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta
x
=
r
cos
θ
,
y
=
r
sin
θ
(Sylinderkoordinater)
•
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ
,
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ
,
z
=
r
cos
θ
x = r\sin\theta\cos\phi,\; y = r\sin\theta\sin\phi,\; z = r\cos\theta
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ
,
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ
,
z
=
r
cos
θ
(Kulekoordinater)
•
d
V
=
r
d
r
d
θ
d
z
dV = r\, dr\, d\theta\, dz
d
V
=
r
d
r
d
θ
d
z
(Volumelement, sylinder)
•
d
V
=
r
2
sin
θ
d
r
d
θ
d
ϕ
dV = r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi
d
V
=
r
2
sin
θ
d
r
d
θ
d
ϕ
(Volumelement, kule)
•
i
r
=
cos
θ
i
+
sin
θ
j
\boldsymbol{i}_r = \cos\theta\,\boldsymbol{i} + \sin\theta\,\boldsymbol{j}
i
r
=
cos
θ
i
+
sin
θ
j
(Enhetsvektor, sylinder)
Vanlige feil å unngå
Gradient og skalarfelt
•
Glemme faktorene 1/r og 1/(r sin theta) i gradienten for krumme koordinater.
•
Blande kulekoordinater og sylinderkoordinater -- sjekk oppgaveteksten noyaktig.
•
Glemme at gradienten av en konstant er null -- ledd som T_1 faller bort ved derivasjon.
•
Ikke angi retning pa varmefluksen -- husk at H er en vektor.
Divergens og kontinuitetslikningen
•
Glemme (1/r)-faktoren og produktregelen i sylinderkoordinater: det er d(r*v_r)/dr, ikke d(v_r)/dr.
•
Forveksle fluks (flateintegral av v dot n) med sirkulasjon (kurveintegral av v dot dr).
•
Glemme at Gauss' teorem krever en LUKKET flate -- ellers ma du bruke direkte flateintegral.
•
Ikke sjekke at divergensen er null for bruke kontinuitetslikningen for inkompressibel strom.
Curl og virvling
•
Forveksle fortegnene i curl-formelen. Husk: determinantformen er sikreste mate.
•
Glemme 1/r-faktorene og d(r*v_theta)/dr i sylinderkoordinater.
•
Blande curl (vektor) med divergens (skalar) -- oppgaven sier 'navngi tydelig hva som er divergens og hva som er virvling'.
•
Tro at null divergens betyr null curl (eller omvendt). De er helt uavhengige egenskaper.
Potensialteori og stromfunksjoner
•
Blande betingelsene: potensial krever virvelfritt felt, stromfunksjon krever divergensfritt felt.
•
Glemme a sjekke betingelsen for du begynner a integrere -- dette gir null poeng.
•
Glemme integrasjonskonstanten g(y) eller h(x) -- den ma bestemmes fra den andre komponenten.
•
Forveksle fortegnene i stromfunksjonsdefinisjonen: v_x = dpsi/dy (ikke minus), v_y = -dpsi/dx.
Linjeintegraler og kurveintegraler
•
Glemme a derivere parametriseringen: dr = r'(t) dt, ikke bare r(t) dt.
•
Feil orientering pa den lukkede kurven -- hoyrehandsregelen bestemmer normalvektoren for Stokes.
•
Bruke Stokes' teorem nar flaten ikke er godt definert eller nar kurven ikke er lukket.
•
Glemme at veiuavhengighet bare gjelder for konservative (virvelfrie) felt.
Flateintegraler og fluks
•
Glemme R^2-faktoren i kulekoordinater eller R-faktoren i sylinderkoordinater for flateelementet.
•
Feil retning pa normalvektoren -- utoverrettet for lukkede flater (Gauss), hoyrehandsregelen for Stokes.
•
Beregne bare noen av flatene i boksen og glemme resten nar du gjor direkte flateintegral.
•
Forveksle flateintegral (fluks) med kurveintegral (sirkulasjon).
Eulers bevegelseslikning og Bernoullis likning
•
Bruke Bernoulli uten a sjekke betingelsene (stasjonaer, friksjonsfri, inkompressibel, langs stromlinje).
•
Glemme sentripetalsakselerasjonen -v_theta^2/r i sylinderkoordinater.
•
Blande lokalakselerasjon (dv/dt) og konvektiv akselerasjon ((v dot nabla)v).
•
Feil fortegn pa tyngdeleddet: g = -g*k nar z peker oppover, sa rho*g*z har positiv z oppover.
Varmeledning og varmetransport
•
Blande varmeledningstallet k (W/(mK)) og varmediffusiviteten kappa (m^2/s).
•
Glemme produktregelen nar du deriverer r^2 dT/dr i Laplace-operatoren for kulekoordinater.
•
Feil fortegn i Fouriers lov: H = -k nabla T (minus!). Varmen strommer MOT gradienten.
•
Glemme konveksjonsleddet v dot nabla T i varmetransportlikningen nar fluiden beveger seg.
Koordinatsystemer og transformasjoner
•
Glemme r-faktoren i volumelementet for sylinderkoordinater, eller r^2 sin(theta) for kulekoordinater.
•
Blande theta i kulekoordinater (polvinkel fra z-aksen) med theta i sylinderkoordinater (vinkel i xy-planet).
•
Glemme at enhetskoordinatvektorene i sylinder/kule endrer retning fra punkt til punkt.
•
Bruke kartesiske formler for divergens/curl i krumme koordinater -- sla alltid opp pa formelarket.
Eksamenstips
Gradient og skalarfelt
•
Nar T bare avhenger av r, forenkles gradienten enormt -- bare den radielle komponenten overlever.
•
Ekvipotensiallinjer (stiplet) og stromlinjer (heltrukket) skal tegnes vinkelrett pa hverandre.
•
Enhetene til gradient: dersom f har enhet [X], har nabla f enhet [X/m].
Divergens og kontinuitetslikningen
•
Oppgaver ber ofte om a gjore beregningen bade som flateintegral OG volumintegral for a verifisere svaret (V2017, 1a-1b).
•
Nar oppgaven spor 'hva heter integralsatsen', er svaret 'Gauss' divergensteorem' (eller bare 'divergensteoremet').
•
For a finne volumfluks gjennom et apent tverrsnitt: parametriser flaten, finn normalvektoren, og integrer v dot n.
Curl og virvling
•
Nesten ALLE eksamener ber om bade divergens og curl i oppgave 1. Skriv tydelig 'Divergens: ... ' og 'Virvling: ...'.
•
Sirkulasjonsoppgaver ber ofte om bade direkte kurveintegral OG bruk av Stokes' teorem -- gjor begge for full uttelling.
•
Nar du bruker Stokes' teorem, oppgi alltid integralsatsens navn eksplisitt.
Potensialteori og stromfunksjoner
•
Denne oppgavetypen kommer PA ALLE EKSAMENER (V2016, V2017, V2018 ...). Drill metoden til den sitter.
•
Sjekk alltid divergens OG curl forst, og oppgi eksplisitt om potensial/stromfunksjon eksisterer for du finner dem.
•
Nar du skisserer: stromlinjer (psi=konst.) med heltrekken strek, ekvipotensiallinjer (phi=konst.) med stiplet strek.
Linjeintegraler og kurveintegraler
•
Oppgaver ber ofte om a gjore beregningen pa TO mater (direkte + integralsats) og oppgi navnet pa satsen.
•
Sjekk om feltet er virvelfritt for du begynner -- da er sirkulasjonen null uten a regne!
•
Ved direkte beregning: del opp i separate linjestykker og beregn bidraget fra hvert.
Flateintegraler og fluks
•
For sfaerisk symmetri (H bare avhenger av r): H dot n = |H| pa kuleskallet, og integralet blir |H| * 4*pi*R^2.
•
Direkte flateintegral over en boks krever 6 separate integraler -- pa flere av flatene er bidraget null.
•
Husk: int_0^pi sin(theta) dtheta = 2 og int_0^{2pi} dphi = 2pi. Disse kommer pa nesten alle kuleoppgaver.
Eulers bevegelseslikning og Bernoullis likning
•
Eulers likning eller Bernoulli kommer pa HVER eksamen. V2016 hadde hevert, V2017 elveprofil, V2018 roterende vann.
•
Oppgi alltid betingelsene for Bernoulli eksplisitt -- dette gir poeng!
•
Nar oppgaven sier 'finn trykket': integrer Eulers likning komponent for komponent og bestem integrasjonskonstanten fra randbetingelser.
Varmeledning og varmetransport
•
Varmeoppgaver kommer pa nesten alle eksamener (V2016 opp.3, V2018 oppg.2). Forstq bade diffusjon og konveksjon.
•
Enhetsanalyse-oppgaver (V2016 3a, V2018 2a) gir enkle poeng. Bruk dimensjonsanalyse systematisk.
•
Fortegnet til nabla^2 T bestemmer om temperaturen oker eller avtar -- dette er et gjengangersporsmal.
Koordinatsystemer og transformasjoner
•
Formelarket inneholder alle uttrykk for gradient, divergens, curl og Laplacian i krumme koordinater -- du trenger ikke pugge dem.
•
Oppgaver med sfaerisk symmetri (kulekoordinater) forenkles drastisk nar storrelsen bare avhenger av r.
•
Sjekk alltid ortogonalitet og hoyrehandssystem nar oppgaven definerer nye koordinater.
MEK1100 Formelark | Eksamenssett