MEK1100 · UiO

Studieguide for MEK1100 Feltteori og vektoranalyse

Komplett pensumoversikt for feltteori og vektoranalyse ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

Denne guiden er bygd på 33 avsluttende eksamenssett i MEK1100 (2004–2026), 22 midtveiseksamener og UiOs fasit og løsningsforslag. Alle frekvenser («i 22 av 33 sett») er talt i settene.

Eksamensformen. Avsluttende eksamen (teller 3/4) er 4 timer med 10 delspørsmål à 10 poeng. Hjelpemidler: Rottmanns formelsamling, godkjent kalkulator og UiOs formelark på 2 sider (vedlagt oppgavesettet). Midtveiseksamen (teller 1/4) er 2 timer med 15 flervalgsspørsmål; 2022–2025 hadde nøyaktig de samme 15 spørsmålstypene hvert år.

Hva som kommer. Settene har et fast skjelett. Nesten alltid får du et gitt hastighetsfelt og skal regne divergens og virvling (alle 8 sett 2019–2026), avgjøre om det har potensial og strømfunksjon (31 av 33), tegne pilplott med stagnasjonspunkt og strømlinjer (24 av 33), finne partikkelakselerasjonen (alle 8 sett 2019–2026) og regne en sirkulasjon eller fluks både direkte og med Stokes eller Gauss. Så kommer en fysikkoppgave: trykk og fri overflate i en roterende væske, Bernoulli og tømmetid, varmeledning eller trykkraft. Egne oppgaver om krumlinjede koordinater (skaleringsfaktorer, volumelement) kom i 2020–2023, men ikke i 2024–2026. Sylinder- og kulekoordinater som verktøy trenger du likevel i nesten hvert sett.

Tidligere sett gjenbrukes. Flere oppgaver i 2019–2024 er gamle oppgaver på nytt (2023 oppg. 1 = H2007 oppg. 1, 2024 oppg. 1 = V2018 oppg. 1). Regn gamle sett — og bruk temaprøvene her, som har samme form med andre felt.

Rekkefølge. Start med Divergens og virvling, Potensial og strømfunksjon og Strømlinjer — de gir poeng i hvert eneste sett. Ta deretter Partikkelderivert, Sirkulasjon/Stokes og Fluks/Gauss, så Euler og Bernoulli. Krumlinjede koordinater, varme og enheter til slutt.

Divergens og virvling

Eksamensrelevant

Divergensen $\nabla\cdot\mathbf v$ (skalar) og virvlingen $\nabla\times\mathbf v$ (vektor) i kartesiske og sylinderkoordinater. Første deloppgave i alle de 8 settene 2019–2026, og fast plass 2 og 3 på midtveiseksamen.

Hva eksamen spør om

Divergens og virvling er med i 26 av 33 avsluttende sett (2004–2026) og i alle de 8 settene 2019–2026. Nesten hvert sett åpner med et gitt felt, og første deloppgave er å regne ut $\nabla\cdot\mathbf v$ og $\nabla\times\mathbf v$ . Svarene brukes videre i samme oppgave: de avgjør om feltet har potensial eller strømfunksjon, og de går inn i Stokes og Gauss. På midtveiseksamen har divergens og virvling hatt fast plass 2 og 3 alle fire år 2022–2025.

Divergens og virvling av et gitt kartesisk felt — i 22 av 33 sett, sist 2026. Eksempel: 2026 1a gir et todimensjonalt polynomfelt der divergensen blir null og virvlingen et andregradsuttrykk. 2023 1a–b gir to tredimensjonale felt samtidig.
Felt i sylinderkoordinater — i 8 av 33 sett, blant dem 2019, 2020 og 2024. Eksempel: 2024 2b har et rent asimutalt felt i en kopp, og 2019 3a–b et karusellfelt med både radiell og asimutal komponent. Svaret skal gis i sylinderkoordinater.
Feltet gitt som gradient — H2013 og 2021: først finner du $\mathbf v=\nabla\phi$ , så divergens og virvling. Virvlingen skal da bli null.
Tolkning — «forklar hvorfor det ene feltet har både potensial og strømfunksjon» (2022 1b). Da er det tallene fra divergens og virvling som er begrunnelsen.

Slik gjør du det: kartesisk felt

Skriv opp komponentene $v_x, v_y, v_z$ hver for seg, med fortegn.
Divergensen er en skalar: $\nabla\cdot\mathbf v=\partial v_x/\partial x+\partial v_y/\partial y+\partial v_z/\partial z$ .
Virvlingen er en vektor. Bruk determinantformen eller formelarkets komponentform, og regn én komponent om gangen.
I et plant felt $v_x\mathbf i+v_y\mathbf j$ er bare $k$ -komponenten igjen: $(\partial v_y/\partial x-\partial v_x/\partial y)\,\mathbf k$ .
Skriv svaret som vektor med enhetsvektorer, og si hva som er null.

Eksempel 1. Finn divergensen og virvlingen til $\mathbf v=xz\,\mathbf i+(y^2-x)\,\mathbf j+(xy-z)\,\mathbf k$ . Hvor i rommet er $\nabla\cdot\mathbf v=0$ ?

Divergensen: $\partial(xz)/\partial x=z$ , $\partial(y^2-x)/\partial y=2y$ og $\partial(xy-z)/\partial z=-1$ . Summen er $\nabla\cdot\mathbf v=z+2y-1$ .
$\mathbf i$ -komponenten: $\partial v_z/\partial y-\partial v_y/\partial z=x-0=x$ .
$\mathbf j$ -komponenten: $\partial v_x/\partial z-\partial v_z/\partial x=x-y$ .
$\mathbf k$ -komponenten: $\partial v_y/\partial x-\partial v_x/\partial y=-1-0=-1$ .
Divergensen er null der $z+2y-1=0$ , altså på planet $z=1-2y$ .

Svar: $\nabla\cdot\mathbf v=z+2y-1$ og $\nabla\times\mathbf v=x\,\mathbf i+(x-y)\,\mathbf j-\mathbf k$ . Divergensen er null på planet $z=1-2y$ . Virvlingen er aldri null, fordi $k$ -komponenten alltid er $-1$ .

Slik gjør du det: sylinderkoordinater

Skriv feltet som $\mathbf v=v_r\mathbf i_r+v_\theta\mathbf i_\theta+v_z\mathbf k$ . Les av de tre komponentene.
Bruk formelarkets uttrykk, ikke de kartesiske: $\nabla\cdot\mathbf v=\frac1r\frac{\partial(rv_r)}{\partial r}+\frac1r\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$ .
For et plant felt er virvlingen $\frac1r\Big(\frac{\partial(rv_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial v_r}{\partial\theta}\Big)\mathbf k$ . Faktoren $r$ skal inn før du deriverer.
Kontroller gjerne ett ledd kartesisk. Da ser du om du har glemt en $1/r$ .

Eksempel 2. Vann i et rør med radius $a$ roterer med $\mathbf v=\Omega r\left(1-\frac ra\right)\mathbf i_\theta$ for $0\le r\le a$ , der $\Omega$ er en konstant. Finn divergensen og virvlingen, og finn radien der virvlingen skifter fortegn.

Komponentene er $v_r=0$ , $v_\theta=\Omega(r-r^2/a)$ og $v_z=0$ .
Divergensen: $\frac1r\partial(r\cdot 0)/\partial r=0$ , og $v_\theta$ avhenger ikke av $\theta$ . Altså $\nabla\cdot\mathbf v=0$ .
Virvlingen: $rv_\theta=\Omega(r^2-r^3/a)$ gir $\frac{\partial(rv_\theta)}{\partial r}=\Omega(2r-3r^2/a)$ .
Deler på $r$ : $\nabla\times\mathbf v=\Omega\left(2-\frac{3r}{a}\right)\mathbf k$ .
Virvlingen er null når $2-3r/a=0$ , altså $r=2a/3$ . Innenfor roterer væskeelementene mot klokka, utenfor med klokka.

Svar: $\nabla\cdot\mathbf v=0$ og $\nabla\times\mathbf v=\Omega(2-3r/a)\,\mathbf k$ . Fortegnsskiftet skjer ved $r=2a/3$ , mens farten er størst ved $r=a/2$ .

Figurene viser feltet og de to profilene. Strømlinjene er sirkler overalt, men virvlingen skifter fortegn. Krumme strømlinjer sier altså ingenting om fortegnet på virvlingen.

Pilplott av v = r(1 − r) i_θ inne i røret r ≤ 1 (Ω = a = 1): pilene går mot klokka langs sirkler, er lengst rundt r = 0,5 og blir korte mot sentrum og mot veggen r = 1, som er tegnet heltrukket.

Graf av farten v_θ = r(1 − r) og virvlingen ω = 2 − 3r mot r fra 0 til 1 (Ω = a = 1). Farten har toppunkt i r = 0,5, virvlingen er null i r = 2/3.

Slik gjør du det: feltet er gitt som gradient

Deriver potensialet: $\mathbf v=\nabla\phi$ . I sylinderkoordinater er $\nabla\phi=\phi_r\mathbf i_r+\frac1r\phi_\theta\mathbf i_\theta+\phi_z\mathbf k$ .
Divergensen er da $\nabla^2\phi$ . Den er null bare hvis $\phi$ oppfyller Laplace-likningen.
Virvlingen skal bli $\mathbf 0$ , fordi $\nabla\times\nabla\phi=\mathbf 0$ . Regn den likevel ut hvis oppgaven ber om det. Det kontrollerer derivasjonen.

Eksempel 3. Et hastighetsfelt har potensialet $\phi=(x^2+y^2)z$ . Finn $\mathbf v$ , $\nabla\cdot\mathbf v$ og $\nabla\times\mathbf v$ , og kontroller divergensen i sylinderkoordinater.

Gradienten: $\mathbf v=2xz\,\mathbf i+2yz\,\mathbf j+(x^2+y^2)\,\mathbf k$ .
Divergensen: $2z+2z+0=4z$ .
Virvlingen: $\mathbf i$ -komponenten er $2y-2y=0$ , $\mathbf j$ -komponenten $2x-2x=0$ og $\mathbf k$ -komponenten $0-0=0$ .
Sylinderkoordinater: $\phi=r^2z$ gir $\mathbf v=2rz\,\mathbf i_r+r^2\mathbf k$ .
Formelarket: $\frac1r\frac{\partial(2r^2z)}{\partial r}+\frac{\partial r^2}{\partial z}=4z+0=4z$ . Samme svar.

Svar: $\mathbf v=2xz\,\mathbf i+2yz\,\mathbf j+(x^2+y^2)\,\mathbf k=2rz\,\mathbf i_r+r^2\mathbf k$ , $\nabla\cdot\mathbf v=4z$ og $\nabla\times\mathbf v=\mathbf 0$ . Feltet har altså potensial, men det er ikke divergensfritt, siden $\phi$ ikke er harmonisk.

Tolkning som gir poeng

$\nabla\cdot\mathbf v=0$ : ingen netto utstrømning fra et lite volum. For et plant felt betyr det at en strømfunksjon $\psi$ finnes.
$\nabla\times\mathbf v=\mathbf 0$ : væskeelementene roterer ikke om egen akse, og i et enkeltsammenhengende område finnes et potensial $\phi$ .
Stiv rotasjon med vinkelfart $\omega$ har virvling $2\omega\,\mathbf k$ . Dette tallet er nyttig som kontroll.

Her går det galt

$1/r$ -leddene glemmes. Virvlingen til $v_\theta\mathbf i_\theta$ er $\frac1r\partial(rv_\theta)/\partial r$ , ikke $\partial v_\theta/\partial r$ . I eksempel 2 gir feilen $\Omega(1-2r/a)$ i stedet for $\Omega(2-3r/a)$ .
Fortegnsfeil i $\mathbf j$ -komponenten. Med determinantformen får $\mathbf j$ -leddet et minus foran. Formelarkets form $\partial v_x/\partial z-\partial v_z/\partial x$ har det innebygd.
Virvlingen oppgis som skalar. Svaret skal være en vektor, også når bare $\mathbf k$ -komponenten er igjen. Skriv $-2y\,\mathbf k$ , ikke $-2y$ .
Krumme strømlinjer tolkes som virvling. Et felt kan ha sirkulære strømlinjer og likevel være virvelfritt utenfor origo, og rette parallelle strømlinjer kan ha virvling (skjærstrøm). Regn, ikke se.
Svar i feil koordinatsystem. Ber oppgaven om svar i sylinderkoordinater (2019 3a–b), skal svaret stå med $\mathbf i_r,\mathbf i_\theta,\mathbf k$ .

Nøkkelformler

• $\displaystyle \nabla\cdot\mathbf v=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$
• $\nabla\times\mathbf v=\big(\partial_yv_z-\partial_zv_y\big)\mathbf i+\big(\partial_zv_x-\partial_xv_z\big)\mathbf j+\big(\partial_xv_y-\partial_yv_x\big)\mathbf k$
• $\displaystyle \nabla\cdot\mathbf v=\frac1r\frac{\partial(rv_r)}{\partial r}+\frac1r\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$
•Plant felt i polarkoordinater: $\displaystyle \nabla\times\mathbf v=\frac1r\Big(\frac{\partial(rv_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial v_r}{\partial\theta}\Big)\mathbf k$
•Kule: $\displaystyle \nabla\cdot\mathbf v=\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2v_r)}{\partial r}+\dots$ , så $\nabla\cdot(r^n\mathbf i_r)=(n+2)r^{n-1}$
• $\nabla\times\nabla\phi=\mathbf 0$ og $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A)=0$ ; stiv rotasjon: $\nabla\times(\omega\mathbf k\times\mathbf r)=2\omega\mathbf k$

Vanlige feil

⚠️Deriverer $v_\theta$ i stedet for $rv_\theta$ i virvlingen i sylinderkoordinater og mister et ledd.
⚠️Bytter fortegn i $\mathbf j$ -komponenten av $\nabla\times\mathbf v$ .
⚠️Oppgir virvlingen som et tall i stedet for en vektor, for eksempel $-2y$ i stedet for $-2y\,\mathbf k$ .
⚠️Slutter at feltet har virvling fordi strømlinjene er sirkler.

Eksamenstips

💡Svarene fra 1a brukes i resten av oppgaven. Kontroller dem med én ekstra utregning før du går videre.
💡Står det «presenter svarene i sylinderkoordinater», skal $\mathbf i_r,\mathbf i_\theta,\mathbf k$ stå i svaret.
💡Formelarket har divergens og virvling i sylinderkoordinater og divergens i kulekoordinater. Slå opp, ikke husk.
💡På midtveiseksamen: regn divergensen først. Den er rask og luker ofte ut to alternativer.

Laster...

Laster…