Oversikt

Et metrisk rom \((X, d)\) er en mengde \(X\) utstyrt med en avstandsfunksjon (metrikk) \(d: X \times X \to [0, \infty)\) som tilfredsstiller tre aksiomer: (i) \(d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y\), (ii) \(d(x,y) = d(y,x)\), og (iii) trekantulikheten \(d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)\). Metriske rom generaliserer \(\mathbb{R}^n\) og gir rammeverket for a snakke om konvergens, kontinuitet og kompakthet i abstrakte sammenhenger.

Viktige begreper

Apen kule: \(B(x, r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}\). En mengde \(U \subseteq X\) er apen dersom det for alle \(x \in U\) finnes \(r > 0\) slik at \(B(x,r) \subseteq U\). En mengde er lukket dersom komplementet er apent, eller ekvivalent: dersom den inneholder alle sine grensepunkter.

Konvergens: En folge \((x_n)\) i \((X,d)\) konvergerer mot \(x\) dersom \(d(x_n, x) \to 0\). Enhver konvergent folge er en Cauchy-folge: \(d(x_n, x_m) \to 0\) nar \(n,m \to \infty\).

Kontinuitet: En avbildning \(f: (X, d_X) \to (Y, d_Y)\) er kontinuerlig i \(a\) dersom \(x_n \to a \Rightarrow f(x_n) \to f(a)\), eller ekvivalent: urbilledene av apne mengder er apne.

Avstand til en mengde: For \(E \subseteq X\) og \(x \in X\) definerer vi \(\text{dist}(x, E) = \inf\{d(x,y) : y \in E\}\). Denne funksjonen er alltid (Lipschitz-)kontinuerlig med Lipschitz-konstant 1. Pa eksamen 2021 ble det spurt om nar infimum faktisk oppnas -- svaret avhenger av om \(E\) er kompakt.

Lukkede delmengder og konvergens

En nokkelegenskap er at \(A \subseteq X\) er lukket hvis og bare hvis enhver konvergent folge i \(A\) har grenseverdien sin i \(A\). Dette brukes hyppig pa eksamen for a vise at bestemte mengder er lukkede (f.eks. eksamen 2021, oppgave 2: vis at \(C_b(X, A)\) er lukket i \(C_b(X, \mathbb{R})\) nar \(A\) er lukket).

Eksempel 1 (Eksamen 2021, Oppgave 2)

Oppgave: La \(A \subseteq \mathbb{R}\) vaere lukket. Vis at \(C_b(X, A)\) er en lukket delmengde av \(C_b(X, \mathbb{R})\) med supremumsmetrikken.

Losning: La \((f_n)\) vaere en folge i \(C_b(X, A)\) som konvergerer til \(f\) i supremumsnormen. Da \(\|f_n - f\|_\infty \to 0\), sa for hvert \(x \in X\): \(|f_n(x) - f(x)| \le \|f_n - f\|_\infty \to 0\), altsa \(f_n(x) \to f(x)\). Siden \(f_n(x) \in A\) for alle \(n\) og \(A\) er lukket, er \(f(x) \in A\). Videre er \(f\) kontinuerlig som uniform grense av kontinuerlige funksjoner, og begrenset fordi \(\|f\|_\infty \le \|f_n\|_\infty + \|f - f_n\|_\infty < \infty\). Dermed \(f \in C_b(X, A)\). \(\square\)

Eksempel 2 (Eksamen 2021, Oppgave 3a)

Oppgave: La \(E \subseteq X\) vaere kompakt og ikke-tom. Vis at det finnes \(z \in E\) slik at \(\text{dist}(x, E) = d(x, z)\).

Losning: Per definisjon er \(\text{dist}(x, E) = \inf_{y \in E} d(x,y)\). Det finnes en folge \((y_n)\) i \(E\) med \(d(x, y_n) \to \text{dist}(x, E)\). Siden \(E\) er kompakt, har \((y_n)\) en konvergent delfolge \(y_{n_k} \to z \in E\). Ved kontinuiteten til \(d\): \(d(x, z) = \lim_{k} d(x, y_{n_k}) = \text{dist}(x, E)\). \(\square\)

Studieguide: Metriske rom