Oversikt

Kompakthet er kanskje det mest sentrale begrepet i MAT2400. Et metrisk rom $(X, d)$ er kompakt dersom enhver folge i $X$ har en konvergent delfolge (folge-kompakthet). I $\mathbb{R}^n$ er dette ekvivalent med at mengden er lukket og begrenset (Heine-Borel). Kompakthet er nokkelen til mange eksistensresultater: kontinuerlige funksjoner pa kompakte rom oppnar sin maksimums- og minimumsverdi, er uniformt kontinuerlige, og er begrensede.

Ekvivalente karakteriseringer

For et metrisk rom $(X, d)$ er folgende ekvivalent:

$X$ er kompakt (enhver apen overdekking har en endelig delomega-dekking)
$X$ er folge-kompakt (enhver folge har konvergent delfolge)
$X$ er fullstendig og totalt begrenset

I $\mathbb{R}^n$: $K$ er kompakt $\Leftrightarrow$ $K$ er lukket og begrenset (Heine-Borel).

Kontinuerlige funksjoner pa kompakte rom

Dersom $f: X \to Y$ er kontinuerlig og $X$ er kompakt, sa er:

$f(X)$ kompakt (bildet av en kompakt mengde er kompakt)
$f$ uniformt kontinuerlig
Dersom $Y = \mathbb{R}$: $f$ oppnar sin min og maks (ekstremverditeoremet)

Disse resultatene brukes implisitt i nesten alle bevisoppgaver. Eksamen 2022, oppgave 3 spurte direkte: vis at dersom $f(x) = a$ er 'nesten losbar' og $X$ er kompakt, sa har $f(x) = a$ en faktisk losning. Beviset bruker folge-kompakthet: folgen av 'nesten-losninger' har en konvergent delfolge, og grenseverdien er den faktiske losningen.

Uniform kontinuitet pa kompakte rom

Et resultat som gar igjen pa eksamen (i variasjoner over mange ar) er at en kontinuerlig funksjon pa et kompakt (eller mer generelt et folge-kompakt / Bolzano-Weierstrass-) rom er uniformt kontinuerlig. Beviset gar typisk ved kontradiksjon: anta at $f$ ikke er uniformt kontinuerlig. Da finnes $\varepsilon > 0$ og folger $(x_n), (y_n)$ med $d(x_n, y_n) \to 0$ men $|f(x_n) - f(y_n)| \ge \varepsilon$. Ved kompakthet har $(x_n)$ en konvergent delfolge $x_{n_k} \to x_0$; siden $d(x_{n_k}, y_{n_k}) \to 0$ gar ogsa $y_{n_k} \to x_0$. Kontinuitet i $x_0$ gir $|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \to 0$, en motsigelse.

Arzela-Ascoli

For funksjonsrom (f.eks. $C([a,b])$) er en delmengde $A$ kompakt hvis og bare hvis den er lukket, begrenset og ekvikontinuerlig (Arzela-Ascoli). Eksamen bruker dette til a avgjore kompakthet: en lukket og begrenset, men IKKE ekvikontinuerlig folge (typisk smalere og smalere 'tagger') har ingen konvergent delfolge og viser at lukket+begrenset ikke er nok i uendelig dimensjon.

Ikke-kompakte rom -- moteksempler

Pa eksamen bes du ofte finne moteksempler som viser at resultater feiler uten kompakthet. Typiske eksempler:

$X = (0, 1]$ med standard metrikk: Ikke kompakt fordi folgen $1/n$ ikke har konvergent delfolge i $X$ (grenseverdien 0 er utenfor).
$X = \mathbb{R}$: Begrenset, men ikke lukket funksjon $f(x) = e^{-x^2}$ oppnar aldri verdien 0.
Eksamen 2022 Oppg 5c: Enhetskula i et uendeligdimensjonalt rom er ikke kompakt.

Eksempel 1 (Eksamen 2022, Oppgave 3)

Oppgave: La $(X,d)$ vaere kompakt og $f: X \to \mathbb{R}$ kontinuerlig. Vis at dersom $f(x) = a$ er nesten losbar (for alle $\varepsilon > 0$ finnes $x$ med $|f(x)-a| < \varepsilon$), sa finnes $x \in X$ med $f(x) = a$.

Losning: For hvert $n \in \mathbb{N}$ velg $x_n \in X$ med $|f(x_n) - a| < 1/n$. Siden $X$ er kompakt, har $(x_n)$ en konvergent delfolge $x_{n_k} \to x_0 \in X$. Siden $f$ er kontinuerlig:

$$f(x_0) = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k})$$

og $|f(x_{n_k}) - a| < 1/n_k \to 0$, sa $f(x_0) = a$. $\square$

Moteksempel uten kompakthet: La $X = (0, \infty)$, $f(x) = 1/x$, $a = 0$. For alle $\varepsilon > 0$ finnes $x = 1/\varepsilon$ med $|f(x)| = \varepsilon$, men $f(x) = 0$ har ingen losning.

Eksempel 2 (Eksamen 2022, Oppgave 5c)

Oppgave: La $X$ vaere rommet av kontinuerlige funksjoner $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ med $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ og supremumsnorm. Vis at enhetskula $B = \{f \in X : \|f\| = 1\}$ ikke er kompakt.

Losning: Definer $e_n(x) = \max(1 - |x-n|, 0)$. Disse er 'teltfunksjoner' med $\|e_n\| = 1$ og $\|e_n - e_m\| = 1$ for $n \neq m$ (disjunkte support). Folgen $(e_n)$ har ingen konvergent delfolge fordi alle par har avstand 1. Altsa er $B$ ikke kompakt. $\square$

Studieguide: Kompakthet