Oversikt

Kompakthet er kanskje det mest sentrale begrepet i MAT2400. Et metrisk rom $(X, d)$ er kompakt dersom enhver folge i $X$ har en konvergent delfolge (folge-kompakthet). I $\mathbb{R}^n$ er dette ekvivalent med at mengden er lukket og begrenset (Heine-Borel). Kompakthet er nokkelen til mange eksistensresultater: kontinuerlige funksjoner pa kompakte rom oppnar sin maksimums- og minimumsverdi, er uniformt kontinuerlige, og er begrensede.

Ekvivalente karakteriseringer

For et metrisk rom $(X, d)$ er folgende ekvivalent:

$X$ er kompakt (enhver apen overdekking har en endelig delomega-dekking)
$X$ er folge-kompakt (enhver folge har konvergent delfolge)
$X$ er fullstendig og totalt begrenset

I $\mathbb{R}^n$: $K$ er kompakt $\Leftrightarrow$ $K$ er lukket og begrenset (Heine-Borel).

Kontinuerlige funksjoner pa kompakte rom

Dersom $f: X \to Y$ er kontinuerlig og $X$ er kompakt, sa er:

$f(X)$ kompakt (bildet av en kompakt mengde er kompakt)
$f$ uniformt kontinuerlig
Dersom $Y = \mathbb{R}$: $f$ oppnar sin min og maks (ekstremverditeoremet)

Disse resultatene brukes implisitt i nesten alle bevisoppgaver. Eksamen 2022, oppgave 3 spurte direkte: vis at dersom $f(x) = a$ er 'nesten losbar' og $X$ er kompakt, sa har $f(x) = a$ en faktisk losning. Beviset bruker folge-kompakthet: folgen av 'nesten-losninger' har en konvergent delfolge, og grenseverdien er den faktiske losningen.

Ikke-kompakte rom -- moteksempler

Pa eksamen bes du ofte finne moteksempler som viser at resultater feiler uten kompakthet. Typiske eksempler:

$X = (0, 1]$ med standard metrikk: Ikke kompakt fordi folgen $1/n$ ikke har konvergent delfolge i $X$ (grenseverdien 0 er utenfor).
$X = \mathbb{R}$: Begrenset, men ikke lukket funksjon $f(x) = e^{-x^2}$ oppnar aldri verdien 0.
Eksamen 2022 Oppg 5c: Enhetskula i et uendeligdimensjonalt rom er ikke kompakt.

Eksempel 1 (Eksamen 2022, Oppgave 3)

Oppgave: La $(X,d)$ vaere kompakt og $f: X \to \mathbb{R}$ kontinuerlig. Vis at dersom $f(x) = a$ er nesten losbar (for alle $\varepsilon > 0$ finnes $x$ med $|f(x)-a| < \varepsilon$), sa finnes $x \in X$ med $f(x) = a$.

Losning: For hvert $n \in \mathbb{N}$ velg $x_n \in X$ med $|f(x_n) - a| < 1/n$. Siden $X$ er kompakt, har $(x_n)$ en konvergent delfolge $x_{n_k} \to x_0 \in X$. Siden $f$ er kontinuerlig:

$$f(x_0) = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k})$$

og $|f(x_{n_k}) - a| < 1/n_k \to 0$, sa $f(x_0) = a$. $\square$

Moteksempel uten kompakthet: La $X = (0, \infty)$, $f(x) = 1/x$, $a = 0$. For alle $\varepsilon > 0$ finnes $x = 1/\varepsilon$ med $|f(x)| = \varepsilon$, men $f(x) = 0$ har ingen losning.

Eksempel 2 (Eksamen 2022, Oppgave 5c)

Oppgave: La $X$ vaere rommet av kontinuerlige funksjoner $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ med $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ og supremumsnorm. Vis at enhetskula $B = \{f \in X : \|f\| = 1\}$ ikke er kompakt.

Losning: Definer $e_n(x) = \max(1 - |x-n|, 0)$. Disse er 'teltfunksjoner' med $\|e_n\| = 1$ og $\|e_n - e_m\| = 1$ for $n \neq m$ (disjunkte support). Folgen $(e_n)$ har ingen konvergent delfolge fordi alle par har avstand 1. Altsa er $B$ ikke kompakt. $\square$

Studieguide: Kompakthet

Studieguide: Kompakthet