MAT2400 · UiO

Studieguide for MAT2400 Reell analyse

Komplett pensumoversikt for reell analyse ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

MAT2400 Reell analyse er et sentralt emne i matematikkstudiet ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger bro mellom den konkrete kalkulusen fra MAT1100/MAT1110 og abstrakt matematikk: du laerer a arbeide med metriske rom, kompakthet, Banach-rom, Frechet-derivasjon og Fourier-rekker i et rigorost rammeverk.

Eksamen er skriftlig (4 timer) og bestar typisk av 5-7 oppgaver med delsporsmal, til sammen 100 poeng. Tillatte hjelpemidler varierer (ofte alle hjelpemidler). Oppgavene er nesten utelukkende bevisoppgaver -- du må vise, forklare eller konstruere moteksempler. Ren utregning er sjelden; i stedet testes din evne til å anvende abstrakte teorem på konkrete situasjoner.

De viktigste temaene på eksamen er: (1) metriske rom og kompakthet, (2) normerte rom og Banach-rom, (3) Frechet-derivasjon og inversefunksjonsteoremet, (4) Fourier-rekker, og (5) uniform konvergens og funksjonsrekker. Kontraksjonsavbildningsteoremet, kompakthetsargumenter og Weierstrass M-test dukker opp på nesten alle eksamener.

Metriske rom

Eksamensrelevant

Metriske rom, apne og lukkede mengder, konvergens, lukninger, indre og rand. Fundamentet for hele kurset og et gjennomgangstema på eksamen.

Oversikt

Et metrisk rom $(X, d)$ er en mengde $X$ utstyrt med en avstandsfunksjon (metrikk) $d: X \times X \to [0, \infty)$ som tilfredsstiller tre aksiomer: (i) $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ , (ii) $d(x,y) = d(y,x)$ , og (iii) trekantulikheten $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ . Metriske rom generaliserer $\mathbb{R}^n$ og gir rammeverket for å snakke om konvergens, kontinuitet og kompakthet i abstrakte sammenhenger.

Viktige begreper

Apen kule: $B(x, r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}$ . En mengde $U \subseteq X$ er apen dersom det for alle $x \in U$ finnes $r > 0$ slik at $B(x,r) \subseteq U$ . En mengde er lukket dersom komplementet er apent, eller ekvivalent: dersom den inneholder alle sine grensepunkter.

Konvergens: En følge $(x_n)$ i $(X,d)$ konvergerer mot $x$ dersom $d(x_n, x) \to 0$ . Enhver konvergent følge er en Cauchy-følge: $d(x_n, x_m) \to 0$ når $n,m \to \infty$ .

Kontinuitet: En avbildning $f: (X, d_X) \to (Y, d_Y)$ er kontinuerlig i $a$ dersom $x_n \to a \Rightarrow f(x_n) \to f(a)$ , eller ekvivalent: urbilledene av apne mengder er apne.

Avstand til en mengde: For $E \subseteq X$ og $x \in X$ definerer vi $\text{dist}(x, E) = \inf\{d(x,y) : y \in E\}$ . Denne funksjonen er alltid (Lipschitz-)kontinuerlig med Lipschitz-konstant 1. På eksamen 2021 ble det spurt om når infimum faktisk oppnas -- svaret avhenger av om $E$ er kompakt.

Lukkede delmengder og konvergens

En nokkelegenskap er at $A \subseteq X$ er lukket hvis og bare hvis enhver konvergent følge i $A$ har grenseverdien sin i $A$ . Dette brukes hyppig på eksamen for å vise at bestemte mengder er lukkede (f.eks. eksamen 2021, oppgave 2: vis at $C_b(X, A)$ er lukket i $C_b(X, \mathbb{R})$ når $A$ er lukket).

Eksempel 1 (Eksamen 2021, Oppgave 2)

Oppgave: La $A \subseteq \mathbb{R}$ være lukket. Vis at $C_b(X, A)$ er en lukket delmengde av $C_b(X, \mathbb{R})$ med supremumsmetrikken.

Løsning: La $(f_n)$ være en følge i $C_b(X, A)$ som konvergerer til $f$ i supremumsnormen. Da $\|f_n - f\|_\infty \to 0$ , så for hvert $x \in X$ : $|f_n(x) - f(x)| \le \|f_n - f\|_\infty \to 0$ , altså $f_n(x) \to f(x)$ . Siden $f_n(x) \in A$ for alle $n$ og $A$ er lukket, er $f(x) \in A$ . Videre er $f$ kontinuerlig som uniform grense av kontinuerlige funksjoner, og begrenset fordi $\|f\|_\infty \le \|f_n\|_\infty + \|f - f_n\|_\infty < \infty$ . Dermed $f \in C_b(X, A)$ . $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2021, Oppgave 3a)

Oppgave: La $E \subseteq X$ være kompakt og ikke-tom. Vis at det finnes $z \in E$ slik at $\text{dist}(x, E) = d(x, z)$ .

Løsning: Per definisjon er $\text{dist}(x, E) = \inf_{y \in E} d(x,y)$ . Det finnes en følge $(y_n)$ i $E$ med $d(x, y_n) \to \text{dist}(x, E)$ . Siden $E$ er kompakt, har $(y_n)$ en konvergent delfolge $y_{n_k} \to z \in E$ . Ved kontinuiteten til $d$ : $d(x, z) = \lim_{k} d(x, y_{n_k}) = \text{dist}(x, E)$ . $\square$

Nøkkelformler

•Metrikk-aksiomer: $ $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y, \quad d(x,y) = d(y,x), \quad d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ $
•Apen kule: $ $B(x,r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}$ $
•Avstand til mengde: $ $\text{dist}(x, E) = \inf\{d(x,y) : y \in E\}$ $
•Lipschitz-kontinuitet av dist: $ $|\text{dist}(x, E) - \text{dist}(y, E)| \le d(x,y)$ $
•Lukket mengde: $ $x_n \in A,\; x_n \to x \;\Rightarrow\; x \in A$ $

Vanlige feil

⚠️Forveksle apen og lukket kule: B(x,r) er apen, men den lukkede kulen er {y : d(x,y) <= r}, som ikke alltid er tillukkingen av B(x,r).
⚠️Anta at infimum alltid oppnas -- det gjør det kun når mengden er kompakt (eller har andre spesielle egenskaper).
⚠️Glemme å verifisere alle tre metrikk-aksiomene når du skal vise at noe er en metrikk.
⚠️Forveksle punktvis og uniform konvergens når du viser at en grensefunksjon arver egenskaper.

Eksamenstips

💡Argumentet 'E kompakt => følge har konvergent delfolge => infimum oppnas' er en gjengangerstruktur. Oev på dette monsteret.
💡For å vise at en mengde er lukket, bruk folgekjennetegnet: ta en konvergent følge i mengden og vis at grensen også ligger i mengden.
💡Eksamen 2021 Oppg 2 og Oppg 3a tester begge metriske rom-konsepter direkte. Eksamen 2022 Oppg 3 bruker kompakthet sentralt.

Laster...

Laster…