Komplett pensumoversikt for reell analyse ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.
MAT2400 Reell analyse er et sentralt emne i matematikkstudiet ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger bro mellom den konkrete kalkulusen fra MAT1100/MAT1110 og abstrakt matematikk: du laerer a arbeide med metriske rom, kompakthet, Banach-rom, Frechet-derivasjon og Fourier-rekker i et rigorost rammeverk.
Eksamen er skriftlig (4 timer) og bestar typisk av 5-7 oppgaver med delsporsmal, til sammen 100 poeng. Tillatte hjelpemidler varierer (ofte alle hjelpemidler). Oppgavene er nesten utelukkende bevisoppgaver -- du må vise, forklare eller konstruere moteksempler. Ren utregning er sjelden; i stedet testes din evne til å anvende abstrakte teorem på konkrete situasjoner.
De viktigste temaene på eksamen er: (1) metriske rom og kompakthet, (2) normerte rom og Banach-rom, (3) Frechet-derivasjon og inversefunksjonsteoremet, (4) Fourier-rekker, og (5) uniform konvergens og funksjonsrekker. Kontraksjonsavbildningsteoremet, kompakthetsargumenter og Weierstrass M-test dukker opp på nesten alle eksamener.
Metriske rom, apne og lukkede mengder, konvergens, lukninger, indre og rand. Fundamentet for hele kurset og et gjennomgangstema på eksamen.
Et metrisk rom er en mengde utstyrt med en avstandsfunksjon (metrikk) som tilfredsstiller tre aksiomer: (i) , (ii) , og (iii) trekantulikheten . Metriske rom generaliserer og gir rammeverket for å snakke om konvergens, kontinuitet og kompakthet i abstrakte sammenhenger.
Apen kule: . En mengde er apen dersom det for alle finnes slik at . En mengde er lukket dersom komplementet er apent, eller ekvivalent: dersom den inneholder alle sine grensepunkter.
Konvergens: En følge i konvergerer mot dersom . Enhver konvergent følge er en Cauchy-følge: når .
Kontinuitet: En avbildning er kontinuerlig i dersom , eller ekvivalent: urbilledene av apne mengder er apne.
Avstand til en mengde: For og definerer vi . Denne funksjonen er alltid (Lipschitz-)kontinuerlig med Lipschitz-konstant 1. På eksamen 2021 ble det spurt om når infimum faktisk oppnas -- svaret avhenger av om er kompakt.
En nokkelegenskap er at er lukket hvis og bare hvis enhver konvergent følge i har grenseverdien sin i . Dette brukes hyppig på eksamen for å vise at bestemte mengder er lukkede (f.eks. eksamen 2021, oppgave 2: vis at er lukket i når er lukket).
Oppgave: La være lukket. Vis at er en lukket delmengde av med supremumsmetrikken.
Løsning: La være en følge i som konvergerer til i supremumsnormen. Da , så for hvert : , altså . Siden for alle og er lukket, er . Videre er kontinuerlig som uniform grense av kontinuerlige funksjoner, og begrenset fordi . Dermed .
Oppgave: La være kompakt og ikke-tom. Vis at det finnes slik at .
Løsning: Per definisjon er . Det finnes en følge i med . Siden er kompakt, har en konvergent delfolge . Ved kontinuiteten til : .
Nøkkelformler
Vanlige feil
Eksamenstips
Laster...