MAT2400 · UiO

Studieguide for MAT2400 Reell analyse

Komplett pensumoversikt for reell analyse ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

Denne guiden er bygd på 28 eksamenssett i MAT2400 og forgjengeren MAT1300 (2004–2026) og UiOs løsningsforslag til 16 av dem. Hvert tall under er talt opp i settene, ikke anslått.

Slik ser eksamen ut

4 timer, ingen hjelpemidler (V2011–V2026; unntaket er hjemmeeksamenene V2020–V2021 med alle hjelpemidler). Til og med V2010 var eksamen 3 timer.
Rundt 10 deloppgaver à 10 poeng. Det gir 20–24 minutter per deloppgave.
Nesten alt er bevis. 203 av 292 deloppgaver er «vis at», og i 2025–2026 er andelen 85 %. De vanligste regneoppgavene er Fourier-koeffisienter, en retningsderivert og en operatornorm.
I 7 av settene står en side med definisjoner og teoremer bakerst (normaksiomene, definisjonen av retningsderivert, Fourier-koeffisientene, M-testen, Neumann-rekken, Arzelà–Ascoli). I 5 sett står det at du kan bruke resultatet fra en deloppgave i neste selv om du ikke fikk den til.
Du kan svare på norsk eller engelsk. Oppgavene er på engelsk i de fleste sett fra 2015.

Hva som kommer — de 13 settene 2017–2026

Tema	Sett	Andel av poengene
Derivasjon i normerte rom	11 av 13	19 %
Normerte rom og lineære operatorer	9 av 13	17 %
Metriske rom	9 av 13	14 %
Fourierrekker og Hilbertrom	6 av 13	14 %
Kompakthet	5 av 13	9 %
Banachs fikspunktteorem	5 av 13	8 %
Kontinuitet og uniform kontinuitet	7 av 13	6 %
Uniform konvergens og funksjonsrekker	5 av 13	5 %
Arzelà–Ascoli og Stone–Weierstrass	4 av 13	5 %
Mål- og integrasjonsteori	2 av 13	3 %

To endringer du må kjenne til. (1) Mål- og integrasjonsteori var med i 2011–2015, borte i 2016–2024 og er tilbake: V2025 har ett punkt om mål, og V2026 har tre av ti punkter (Dirac-målet og dominert konvergens). Les den seksjonen selv om de eldre settene ikke har den. (2) Banachs fikspunktteorem og Neumann-rekken er med i V2023, V2024 og V2025 på rad, og utgjorde fire av ti punkter i V2025.

Sammenhengende mengder står ikke i noen av de 28 settene, og guiden bruker ikke tid på dem.

Metriske rom

Eksamensrelevant

Eksamen ber deg vise at nye avstandsfunksjoner er metrikker (maks, sum, $d^\alpha$ , $d/(1+d)$ ), jobbe med Cauchy-følger og fullstendighet, og avgjøre om mengder er lukkede ved hjelp av følger.

Hva eksamen spør om

Metriske rom står i 9 av 13 sett 2017–2026 og i 21 av 28 sett siden 2004. Nesten alt er bevis. Fire typer dominerer:

Vis at en ny avstandsfunksjon er en metrikk (i 4 av 13 sett 2017–2026, 8 av 28 totalt). 2018 oppg. 3a og 2023 oppg. 2a: maksimum av to metrikker. 2018 (konte) 3a–b: en vektet uendelig sum av metrikker, der du også må vise at summen er endelig. 2023 (konte) 2a: en metrikk opphøyd i en potens mellom 0 og 1.
Cauchy-følger og fullstendighet (i 3 av 13 sett). 2023 oppg. 1a: en Cauchy-følge med konvergent delfølge konvergerer; 1b: unionen av to komplette mengder er komplett. 2018 oppg. 3b: Cauchy i to metrikker gir Cauchy i maks-metrikken.
Lukkede mengder og tillukning (i 3 av 13 sett). 2021 oppg. 2: en mengde av funksjoner med verdier i en lukket mengde er lukket i sup-metrikken. 2024 oppg. 1e: lukket i en delmengde kontra lukket i hele rommet, med moteksempel.
Følger og grenser (i 2 av 13 sett). 2017 oppg. 2: et gjennomsnitt av en konvergent følge i et normert rom konvergerer. 2025 oppg. 1b: regneregler for limsup.

Slik gjør du det

Type 1: vis at $\rho$ er en metrikk

Sjekk at $\rho$ er veldefinert og endelig. For en uendelig sum må du vise konvergens først.
Positivitet: $\rho(x,y)\ge0$ , og $\rho(x,y)=0\iff x=y$ . Bruk den tilsvarende egenskapen til metrikkene $\rho$ er bygget av.
Symmetri: arves direkte.
Trekantulikheten: skriv $\rho$ som $\varphi(d)$ , og bruk at $\varphi$ er voksende og subadditiv ( $\varphi(a+b)\le\varphi(a)+\varphi(b)$ ). For maks: $\max(a_1+b_1,a_2+b_2)\le\max(a_1,a_2)+\max(b_1,b_2)$ .

Eksempel 1. La $d$ være en metrikk på $X$ . Vis at $\rho=\dfrac{d}{1+d}$ er en metrikk.

Sett $\varphi(t)=\dfrac{t}{1+t}$ for $t\ge0$ . Da er $\rho=\varphi\circ d$ , og $\varphi(t)=0\iff t=0$ . Altså er $\rho\ge0$ og $\rho(x,y)=0\iff d(x,y)=0\iff x=y$ .
Symmetri: $\rho(x,y)=\varphi(d(x,y))=\varphi(d(y,x))=\rho(y,x)$ .
$\varphi$ er voksende, fordi $\varphi(t)=1-\dfrac{1}{1+t}$ .
$\varphi$ er subadditiv: for $a,b\ge0$ er $\begin{aligned} \varphi(a+b)&=\frac{a}{1+a+b}+\frac{b}{1+a+b}\\ &\le\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}. \end{aligned}$
Trekantulikheten for $d$ og steg 3–4 gir $\rho(x,z)\le\varphi\bigl(d(x,y)+d(y,z)\bigr)\le\rho(x,y)+\rho(y,z)$ .

Svar: $\rho$ oppfyller alle tre aksiomene og er en metrikk. Den er i tillegg begrenset: $\rho\lt 1$ .

Samme oppskrift virker for $d^\alpha$ med $0\lt\alpha\lt1$ : $\varphi(t)=t^\alpha$ er voksende, og subadditiv fordi den er konkav med $\varphi(0)=0$ .

Grafene til t, kvadratroten av t og t delt på 1 pluss t for t mellom 0 og 4. Alle starter i origo og er voksende; de to siste er konkave. t/(1+t) ligger under linja y = t; kvadratroten av t ligger over linja på (0, 1) og under for t større enn 1. Markerte punkter i t = 1 og t = 4: kvadratroten gir 1 og 2, t/(1+t) gir 0,5 og 0,8.

Type 2: Cauchy-følger og fullstendighet

Skriv opp definisjonen med $\varepsilon$ og $N$ for den metrikken du skal vise noe om.
Sammenlign metrikkene med en ulikhet ( $d_1\le\rho$ , $\rho\le d_1+d_2$ , $\rho\le C\,d$ ). Ulikheten overfører Cauchy-egenskapen i én retning.
For fullstendighet: ta en vilkårlig Cauchy-følge, finn en kandidatgrense, og vis at grensen ligger i mengden.
Har du en konvergent delfølge, er du ferdig: en Cauchy-følge med konvergent delfølge konvergerer mot samme grense.

Eksempel 2. $d_1,d_2$ er metrikker på $X$ og $d=d_1+d_2$ . Vis at $(x_n)$ er Cauchy i $d$ hvis og bare hvis den er Cauchy i både $d_1$ og $d_2$ .

( $\Rightarrow$ ) $d_i\le d$ for $i=1,2$ . Er $d(x_m,x_n)\lt\varepsilon$ for $m,n\ge N$ , er også $d_i(x_m,x_n)\lt\varepsilon$ .
( $\Leftarrow$ ) Gitt $\varepsilon\gt0$ , velg $N_i$ med $d_i(x_m,x_n)\lt\varepsilon/2$ for $m,n\ge N_i$ .
Med $N=\max(N_1,N_2)$ er $d(x_m,x_n)\lt\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$ for $m,n\ge N$ .

Svar: Cauchy i $d_1+d_2$ er det samme som Cauchy i begge metrikkene.

Type 3: lukkede mengder og tillukning

Bruk følgekarakteriseringen: $F$ er lukket hvis og bare hvis grensen til enhver konvergent følge fra $F$ ligger i $F$ .
I sup-metrikken gir $f_n\to f$ punktvis konvergens: $|f_n(x)-f(x)|\le d_\infty(f_n,f)\to0$ for hver $x$ .
Før egenskapen gjennom grensen punkt for punkt. Ikke-strenge ulikheter ( $\le$ , $\ge$ ) og likheter overlever grenser; strenge ulikheter gjør det ikke.

Eksempel 3. Vis at $A=\{f\in C([0,1]):\ f(0)=0,\ |f(x)|\le1\text{ for alle }x\}$ er lukket i $(C([0,1]),d_\infty)$ .

La $f_n\in A$ og $d_\infty(f_n,f)\to0$ for en $f\in C([0,1])$ .
For hver $x$ er $|f_n(x)-f(x)|\le d_\infty(f_n,f)$ , så $f_n(x)\to f(x)$ .
$f(0)=\lim f_n(0)=0$ , og $|f(x)|=\lim|f_n(x)|\le1$ for alle $x$ .

Svar: Grensen ligger i $A$ , så $A$ er lukket.

Relativt lukket. Er $A\subseteq X$ , er $C\subseteq A$ lukket i $(A,d_A)$ hvis og bare hvis $C=A\cap F$ for en lukket $F\subseteq X$ . Eksempel: $A=(0,1]$ og $C=(0,\tfrac12]=A\cap[0,\tfrac12]$ er lukket i $A$ , men ikke i $\mathbb{R}$ , fordi $\tfrac1n\to0\notin C$ .

Her går det galt

Endelighet glemt. For en vektet sum $\sum 2^{-n}d_n$ krever fasiten at du viser at rekka konvergerer før du sjekker aksiomene.
$\rho(x,y)=0\Rightarrow x=y$ hoppet over. Kandidater som $(x-y)^2$ eller $|x^2-y^2|$ feiler nettopp på ett av aksiomene; sjekk alle, også når svaret virker opplagt.
Trekantulikheten for maks med bare ett tilfelle. Enten skriver du begge tilfellene ( $\rho=d_1$ og $\rho=d_2$ ), eller du viser hjelpeulikheten for maks først.
Cauchy forvekslet med konvergent. I $(0,1]$ er $\tfrac1n$ Cauchy uten grense i rommet. Fullstendighet må vises, ikke antas.
Lukket i delrommet forvekslet med lukket i $X$ . Grensen til en følge i $A$ kan ligge utenfor $A$ ; da sier lukkethet i $A$ ingenting om den.

Nøkkelformler

•Metrikk: $d(x,y)\ge0$ , $d(x,y)=0\iff x=y$ , $d(x,y)=d(y,x)$ , $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$
• $\max(a_1+b_1,a_2+b_2)\le\max(a_1,a_2)+\max(b_1,b_2)$
• $\varphi$ voksende, subadditiv, $\varphi(t)=0\iff t=0$ $\Rightarrow$ $\varphi\circ d$ er en metrikk
• $\dfrac{a+b}{1+a+b}\le\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}$ og $(a+b)^\alpha\le a^\alpha+b^\alpha$ for $0\lt\alpha\le1$
•Cauchy: $\forall\varepsilon\gt0\ \exists N:\ m,n\ge N\Rightarrow d(x_m,x_n)\lt\varepsilon$
• $F$ lukket $\iff$ ( $x_n\in F,\ x_n\to x\Rightarrow x\in F$ )
• $x\in\overline A\iff$ det finnes $x_n\in A$ med $x_n\to x$

Vanlige feil

⚠️Å sjekke trekantulikheten, men hoppe over $\rho(x,y)=0\Rightarrow x=y$ .
⚠️Å glemme å vise at en uendelig sum av metrikker er endelig.
⚠️Å anta at en Cauchy-følge konvergerer uten at rommet er komplett.
⚠️Å bruke at strenge ulikheter overlever grenser ( $f_n\gt0$ gir bare $f\ge0$ ).
⚠️Å forveksle lukket i delrommet $A$ med lukket i hele $X$ .

Eksamenstips

💡Skriv $\rho=\varphi(d)$ og sjekk at $\varphi$ er voksende og subadditiv; da faller trekantulikheten ut på én linje.
💡En Cauchy-følge med konvergent delfølge konvergerer; bruk det når du skal vise fullstendighet.
💡Lukkethet i sup-metrikken: ta $f_n\to f$ uniformt og før egenskapen gjennom grensen punkt for punkt.
💡Ved «bevis eller moteksempel» om lukkethet: $(0,1]$ i $\mathbb{R}$ og følgen $1/n$ løser mange av dem.

Laster...

Laster…