MAT2400

Studieguide

God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

MAT2400 Reell analyse er et sentralt emne i matematikkstudiet ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger bro mellom den konkrete kalkulusen fra MAT1100/MAT1110 og abstrakt matematikk: du laerer a arbeide med metriske rom, kompakthet, Banach-rom, Frechet-derivasjon og Fourier-rekker i et rigorost rammeverk.

Eksamen er skriftlig (4 timer) og bestar typisk av 5-7 oppgaver med delsporsmal, til sammen 100 poeng. Tillatte hjelpemidler varierer (ofte alle hjelpemidler). Oppgavene er nesten utelukkende bevisoppgaver -- du ma vise, forklare eller konstruere moteksempler. Ren utregning er sjelden; i stedet testes din evne til a anvende abstrakte teorem pa konkrete situasjoner.

De viktigste temaene pa eksamen er: (1) metriske rom og kompakthet, (2) normerte rom og Banach-rom, (3) Frechet-derivasjon og inversefunksjonsteoremet, (4) Fourier-rekker, og (5) uniform konvergens og funksjonsrekker. Kontraksjonsavbildningsteoremet, kompakthetsargumenter og Weierstrass M-test dukker opp pa nesten alle eksamener.

Metriske rom

Metriske rom, apne og lukkede mengder, konvergens, lukninger, indre og rand. Fundamentet for hele kurset og et gjennomgangstema pa eksamen.

Oversikt

Et metrisk rom $(X, d)$ er en mengde $X$ utstyrt med en avstandsfunksjon (metrikk) $d: X \times X \to [0, \infty)$ som tilfredsstiller tre aksiomer: (i) $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ , (ii) $d(x,y) = d(y,x)$ , og (iii) trekantulikheten $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ . Metriske rom generaliserer $\mathbb{R}^n$ og gir rammeverket for a snakke om konvergens, kontinuitet og kompakthet i abstrakte sammenhenger.

Viktige begreper

Apen kule: $B(x, r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}$ . En mengde $U \subseteq X$ er apen dersom det for alle $x \in U$ finnes $r > 0$ slik at $B(x,r) \subseteq U$ . En mengde er lukket dersom komplementet er apent, eller ekvivalent: dersom den inneholder alle sine grensepunkter.

Konvergens: En folge $(x_n)$ i $(X,d)$ konvergerer mot $x$ dersom $d(x_n, x) \to 0$ . Enhver konvergent folge er en Cauchy-folge: $d(x_n, x_m) \to 0$ nar $n,m \to \infty$ .

Kontinuitet: En avbildning $f: (X, d_X) \to (Y, d_Y)$ er kontinuerlig i $a$ dersom $x_n \to a \Rightarrow f(x_n) \to f(a)$ , eller ekvivalent: urbilledene av apne mengder er apne.

Avstand til en mengde: For $E \subseteq X$ og $x \in X$ definerer vi $\text{dist}(x, E) = \inf\{d(x,y) : y \in E\}$ . Denne funksjonen er alltid (Lipschitz-)kontinuerlig med Lipschitz-konstant 1. Pa eksamen 2021 ble det spurt om nar infimum faktisk oppnas -- svaret avhenger av om $E$ er kompakt.

Lukkede delmengder og konvergens

En nokkelegenskap er at $A \subseteq X$ er lukket hvis og bare hvis enhver konvergent folge i $A$ har grenseverdien sin i $A$ . Dette brukes hyppig pa eksamen for a vise at bestemte mengder er lukkede (f.eks. eksamen 2021, oppgave 2: vis at $C_b(X, A)$ er lukket i $C_b(X, \mathbb{R})$ nar $A$ er lukket).

Eksempel 1 (Eksamen 2021, Oppgave 2)

Oppgave: La $A \subseteq \mathbb{R}$ vaere lukket. Vis at $C_b(X, A)$ er en lukket delmengde av $C_b(X, \mathbb{R})$ med supremumsmetrikken.

Losning: La $(f_n)$ vaere en folge i $C_b(X, A)$ som konvergerer til $f$ i supremumsnormen. Da $\|f_n - f\|_\infty \to 0$ , sa for hvert $x \in X$ : $|f_n(x) - f(x)| \le \|f_n - f\|_\infty \to 0$ , altsa $f_n(x) \to f(x)$ . Siden $f_n(x) \in A$ for alle $n$ og $A$ er lukket, er $f(x) \in A$ . Videre er $f$ kontinuerlig som uniform grense av kontinuerlige funksjoner, og begrenset fordi $\|f\|_\infty \le \|f_n\|_\infty + \|f - f_n\|_\infty < \infty$ . Dermed $f \in C_b(X, A)$ . $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2021, Oppgave 3a)

Oppgave: La $E \subseteq X$ vaere kompakt og ikke-tom. Vis at det finnes $z \in E$ slik at $\text{dist}(x, E) = d(x, z)$ .

Losning: Per definisjon er $\text{dist}(x, E) = \inf_{y \in E} d(x,y)$ . Det finnes en folge $(y_n)$ i $E$ med $d(x, y_n) \to \text{dist}(x, E)$ . Siden $E$ er kompakt, har $(y_n)$ en konvergent delfolge $y_{n_k} \to z \in E$ . Ved kontinuiteten til $d$ : $d(x, z) = \lim_{k} d(x, y_{n_k}) = \text{dist}(x, E)$ . $\square$

Nøkkelformler

•Metrikk-aksiomer: $ $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y, \quad d(x,y) = d(y,x), \quad d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ $
•Apen kule: $ $B(x,r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}$ $
•Avstand til mengde: $ $\text{dist}(x, E) = \inf\{d(x,y) : y \in E\}$ $
•Lipschitz-kontinuitet av dist: $ $|\text{dist}(x, E) - \text{dist}(y, E)| \le d(x,y)$ $
•Lukket mengde: $ $x_n \in A,\; x_n \to x \;\Rightarrow\; x \in A$ $

Vanlige feil

⚠️Forveksle apen og lukket kule: B(x,r) er apen, men den lukkede kulen er {y : d(x,y) <= r}, som ikke alltid er tillukkingen av B(x,r).
⚠️Anta at infimum alltid oppnas -- det gjor det kun nar mengden er kompakt (eller har andre spesielle egenskaper).
⚠️Glemme a verifisere alle tre metrikk-aksiomene nar du skal vise at noe er en metrikk.
⚠️Forveksle punktvis og uniform konvergens nar du viser at en grensefunksjon arver egenskaper.

Eksamenstips

💡Argumentet 'E kompakt => folge har konvergent delfolge => infimum oppnas' er en gjengangerstruktur. Oev pa dette monsteret.
💡For a vise at en mengde er lukket, bruk folgekjennetegnet: ta en konvergent folge i mengden og vis at grensen ogsa ligger i mengden.
💡Eksamen 2021 Oppg 2 og Oppg 3a tester begge metriske rom-konsepter direkte. Eksamen 2022 Oppg 3 bruker kompakthet sentralt.

Laster...

Introduksjon