Oversikt

Den symmetriske gruppen $S_n$ bestar av alle permutasjoner av mengden $\{1, 2, \ldots, n\}$ og har orden $n!$. Den alternerende gruppen $A_n$ bestar av partallspermutasjonene (de som er et produkt av et partall transponisjoner) og har orden $n!/2$.

Sykkelnotasjon

Enhver permutasjon kan skrives som et produkt av disjunkte sykler. For eksempel er $(1\,3\,5)(2\,4)$ permutasjonen $1 \mapsto 3 \mapsto 5 \mapsto 1$ og $2 \mapsto 4 \mapsto 2$.

Orden: Ordenen til en permutasjon i disjunkt sykkelnotasjon er $\text{lcm}$ av sykellengdene.

Fortegn: En $k$-sykel er et produkt av $k-1$ transponisjoner, sa fortegnet er $(-1)^{k-1}$. For et produkt av disjunkte sykler: multipliser fortegnene.

Diedergrupper

Diedergruppen $D_n$ er symmetrigruppen til en regulaer $n$-kant. Den har orden $2n$ og genereres av en rotasjon $r$ (orden $n$) og en refleksjon $s$ (orden 2) med relasjonen $srs^{-1} = r^{-1}$ (ekvivalent: $sr = r^{-1}s$).

Diedergrupper er de enkleste ikke-abelske gruppene og dukker ofte opp i klassifiseringsproblemer.

Konjugeringsklasser i $S_n$

To permutasjoner i $S_n$ er konjugerte hvis og bare hvis de har samme sykkeltype. For eksempel er alle 3-sykler i $S_5$ konjugerte, og de utgjor $\binom{5}{3} \cdot 2! = 20$ elementer.

Eksempel 1 -- kvadratet av en odde sykel

Oppgave: Vis at dersom $\sigma \in S_n$ er en sykel av odde lengde $2k+1$, sa er $\sigma^2$ ogsaa en sykel av lengde $2k+1$.

Losning: La $\sigma = (a_0, a_1, \ldots, a_{2k})$. Da $\sigma^2(a_i) = a_{i+2 \bmod (2k+1)}$. Siden $\gcd(2, 2k+1) = 1$, er avbildningen $i \mapsto i + 2 \bmod (2k+1)$ en syklisk permutasjon av $\{0, 1, \ldots, 2k\}$. Dermed gjennomloper $\sigma^2$ alle elementene i en enkelt sykel: $$\sigma^2 = (a_0, a_2, a_4, \ldots, a_{2k}, a_1, a_3, \ldots, a_{2k-1})$$ som er en sykel av lengde $2k+1$. $\square$

Eksempel 2 -- grupper av orden $2p$

Oppgave: La $|G| = 2 \cdot 11 = 22$. Vis at $G$ er syklisk eller isomorf med diedergruppen $D_{11}$.

Losning: Ved Sylow har $G$ en unik (dermed normal) syklisk undergruppe $H \cong \mathbb{Z}_{11}$. La $b \in G \setminus H$ ha orden 2 (finnes siden $[G:H] = 2$). Konjugering med $b$ gir en automorfi $\alpha$ av $H \cong \mathbb{Z}_{11}$ med $\alpha^2 = \text{id}$.

Vi har $\text{Aut}(\mathbb{Z}_{11}) \cong \mathbb{Z}_{11}^* \cong \mathbb{Z}_{10}$. Elementene av orden 1 eller 2 her er $\alpha = \text{id}$ eller $\alpha: a \mapsto a^{-1}$ (inversjon har orden 2 siden 11 er primtall).

Hvis $\alpha = \text{id}$: $b$ sentraliserer $H$, sa $G$ er abelsk av orden 22, altsaa $G \cong \mathbb{Z}_{22}$ (syklisk).

Hvis $\alpha: a \mapsto a^{-1}$: da $bab^{-1} = a^{-1}$, som er definisjonsrelasjonene for $D_{11}$. $\square$

Oversikt

Sykkelnotasjon

Diedergrupper

Konjugeringsklasser i \(S_n\)

Eksempel 1 -- kvadratet av en odde sykel

Eksempel 2 -- grupper av orden \(2p\)

Studieguide: Symmetrigrupper

Studieguide: Symmetrigrupper