Oversikt

En ring \((R, +, \cdot)\) er en abelsk gruppe under addisjon med en assosiativ multiplikasjon som distribuerer over addisjonen. En ring er kommutativ dersom \(ab = ba\). Et integritetsomrade er en kommutativ ring med 1 uten nulldivisorer (dvs. \(ab = 0 \Rightarrow a = 0\) eller \(b = 0\)).

Idealer

En delmengde \(I \subseteq R\) er et ideal dersom \(I\) er en undergruppe av \((R, +)\) og \(ra \in I\) for alle \(r \in R, a \in I\). Idealer er den ringteorietiske analogien til normalgrupper.

Typer idealer:

Primsk ideal: \(P \neq R\) er primsk dersom \(ab \in P \Rightarrow a \in P\) eller \(b \in P\). Ekvivalent: \(R/P\) er et integritetsomrade.
Maksimalt ideal: \(M \neq R\) er maksimalt dersom det ikke finnes noe ideal strengt mellom \(M\) og \(R\). Ekvivalent: \(R/M\) er en kropp.

Ethvert maksimalt ideal er primsk, men ikke omvendt (i generelle ringer).

Kvotientringer

For et ideal \(I \subseteq R\) er kvotientringen \(R/I\) ringen av sideklasser \(r + I\). Den naturlige projeksjonen \(\pi: R \to R/I\) er en ringhomomorfi med kjerne \(I\).

Spesialtilfelle: \(\mathbb{Z}\)

Ethvert ideal i \(\mathbb{Z}\) er pa formen \(n\mathbb{Z}\). Idealet \(n\mathbb{Z}\) er primsk \(\iff\) \(n\) er et primtall (eller \(n = 0\)). For sammensatt \(n = ab\) har vi \(ab \in n\mathbb{Z}\) uten at \(a\) eller \(b\) er i \(n\mathbb{Z}\), sa idealet er ikke primsk.

Eksempel 1 -- nar er \(n\mathbb{Z}\) ikke primsk?

Oppgave: Vis at dersom \(n\) ikke er et primtall (og \(n \neq 0\)), sa er \(n\mathbb{Z}\) ikke et primsk ideal i \(\mathbb{Z}\).

Losning: Siden \(n\) ikke er prim, kan vi skrive \(n = ab\) der \(1 < a, b < n\). Da er \(ab = n \in n\mathbb{Z}\), men \(a \notin n\mathbb{Z}\) (siden \(0 < a < n\)) og \(b \notin n\mathbb{Z}\) (siden \(0 < b < n\)). Dermed er definisjonen av primsk ideal brutt: vi har \(ab \in n\mathbb{Z}\) uten at \(a\) eller \(b\) er i \(n\mathbb{Z}\). Altsa er \(n\mathbb{Z}\) ikke primsk. \(\square\)

Eksempel 2 -- nulldivisorer og integritetsomrade

Oppgave: Bestem alle nulldivisorer i \(\mathbb{Z}_{12}\), og avgjor om \(\mathbb{Z}_{12}\) er et integritetsomrade.

Losning: Et element \(a \neq 0\) i \(\mathbb{Z}_n\) er en nulldivisor hvis og bare hvis \(\gcd(a, n) \neq 1\). For \(n = 12\) gir dette \(a \in \{2,3,4,6,8,9,10\}\). For eksempel \(3 \cdot 4 = 12 \equiv 0\) med baade \(3 \neq 0\) og \(4 \neq 0\). Siden \(\mathbb{Z}_{12}\) har nulldivisorer, er det ikke et integritetsomrade. (Generelt er \(\mathbb{Z}_n\) et integritetsomrade hvis og bare hvis \(n\) er prim -- da blir \(\mathbb{Z}_n\) faktisk en kropp.) \(\square\)

Studieguide: Ringer og idealer