Oversikt

En kroppsutvidelse $L/K$ er et par av kropper der $K \subseteq L$. Tallgraden (graden) $[L:K]$ er dimensjonen til $L$ som vektorrom over $K$. Et element $\alpha \in L$ er algebraisk over $K$ dersom det finnes et polynom $f(x) \in K[x]$ med $f(\alpha) = 0$.

Minimalpolynom

For et algebraisk element $\alpha$ over $K$ er minimalpolynomet det unike moniske irredusible polynomet $m_\alpha(x) \in K[x]$ med $m_\alpha(\alpha) = 0$. Vi har: $$[K(\alpha):K] = \deg m_\alpha$$

Isomorfi: $K(\alpha) \cong K[x]/\langle m_\alpha(x)\rangle$.

Tornteoremet

Dersom $K \subseteq L \subseteq M$ er kroppsutvidelser, sa: $$[M:K] = [M:L] \cdot [L:K]$$

Dette er det viktigste verktøyet for a beregne tallgrader av sammensatte utvidelser.

Rotkropper (splitting fields)

Rotkroppen til et polynom $f(x) \in K[x]$ er den minste utvidelsen av $K$ der $f$ spaltes fullstendig i lineaere faktorer. Rotkroppen er unik opp til isomorfi.

Endelige kropper revisited

Kroppen $\mathbb{F}_{p^n}$ er rotkroppen til $x^{p^n} - x$ over $\mathbb{F}_p$. Vi har $\mathbb{F}_{p^m} \subseteq \mathbb{F}_{p^n}$ hvis og bare hvis $m \mid n$.

Eksempel 1 -- tallgrad av en sammensatt kvadratisk utvidelse

Oppgave: La $f(x) = (x^2-3)(x^2-7)$. Finn rottene i $\mathbb{C}$, bestem rotkroppen $K$ over $\mathbb{Q}$, og vis at $[K:\mathbb{Q}] = 4$.

Losning: Rottene er $\pm\sqrt{3}$ og $\pm\sqrt{7}$. Rotkroppen er $K = \mathbb{Q}(\sqrt{3}, \sqrt{7})$.

Vi beregner tallgraden med tornteoremet: $$[K:\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{3}, \sqrt{7}):\mathbb{Q}(\sqrt{3})] \cdot [\mathbb{Q}(\sqrt{3}):\mathbb{Q}]$$

$[\mathbb{Q}(\sqrt{3}):\mathbb{Q}] = 2$ siden $x^2 - 3$ er irredusibelt over $\mathbb{Q}$.

Vi ma vise $[\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{7}):\mathbb{Q}(\sqrt{3})] = 2$, dvs. at $\sqrt{7} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Anta for motsetning at $\sqrt{7} = a + b\sqrt{3}$ for $a, b \in \mathbb{Q}$. Da $7 = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3}$. Siden $\sqrt{3}$ er irrasjonell, ma $ab = 0$. Hvis $b = 0$, da $\sqrt{7} = a \in \mathbb{Q}$, en selvmotsigelse. Hvis $a = 0$, da $7 = 3b^2$, sa $b^2 = 7/3$, som ikke har rasjonell losning. Dermed $[K:\mathbb{Q}] = 2 \cdot 2 = 4$. $\square$

Eksempel 2 -- rotkropp til $x^p - a$ med primtalls grad

Oppgave: La $p$ vaere et primtall og $K \subset \mathbb{C}$ rotkroppen til $f(x) = x^p - 3$ over $\mathbb{Q}$. Vis at $K = \mathbb{Q}(3^{1/p}, \zeta_p)$ og at $[K:\mathbb{Q}] = p(p-1)$.

Losning: Polynomet $x^p - 3$ er irredusibelt over $\mathbb{Q}$ ved Eisensteins kriterium med primtallet 3, sa $[\mathbb{Q}(3^{1/p}):\mathbb{Q}] = p$. Rottene av $x^p - 3$ er $3^{1/p}\zeta_p^k$ for $k = 0, \ldots, p-1$, der $\zeta_p = e^{2\pi i/p}$. Rotkroppen ma inneholde $3^{1/p}$ og $\zeta_p = (3^{1/p}\zeta_p)/3^{1/p}$, sa $K = \mathbb{Q}(3^{1/p}, \zeta_p)$.

Studieguide: Kropper og utvidelser