Oversikt

En homomorfi er en avbildning $\varphi: G \to H$ som respekterer gruppeoperasjonen: $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$ for alle $a, b \in G$. Kjernen $\ker(\varphi) = \{g \in G : \varphi(g) = e_H\}$ er alltid en normal undergruppe av $G$, og bildet $\text{Im}(\varphi)$ er en undergruppe av $H$.

Viktige egenskaper

For en homomorfi $\varphi: G \to H$:

$\varphi(e_G) = e_H$
$\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1}$
$|\varphi(g)|$ deler $|g|$
$\varphi$ er injektiv $\iff \ker(\varphi) = \{e\}$

Isomorfier og automorfier

En isomorfi er en bijektiv homomorfi. To grupper er isomorfe ($G \cong H$) dersom det finnes en isomorfi mellom dem. En automorfi er en isomorfi fra en gruppe til seg selv. Indre automorfier $\alpha_g(h) = ghg^{-1}$ er spesielt viktige -- de er alltid automorfier, og deres kjerne er senteret $Z(G)$.

Gruppevirkninger

En gruppe $G$ virker pa en mengde $X$ dersom det er en homomorfi $G \to S_X$ (permutasjonsgruppen pa $X$). Virkningen er transitiv dersom det for alle $x, y \in X$ finnes $g \in G$ med $g \cdot x = y$. Bane-stabilisator-teoremet gir: $$|G| = |\text{Orb}(x)| \cdot |\text{Stab}(x)|$$

Symmetrigrupper

Den symmetriske gruppen $S_n$ bestar av alle permutasjoner av $\{1, \ldots, n\}$ og har orden $n!$. Ethvert element kan skrives som et produkt av disjunkte sykler. Ordenen til en permutasjon er LCM av sykellengdene. Den alternerende gruppen $A_n$ (partallspermutasjonene) har orden $n!/2$ og er simpel for $n \ge 5$.

Eksempel 1 -- komposisjon og orden i $S_6$

Oppgave: La $\sigma = (1,3,5,2)$ og $\tau = (2,4,6)$ i $S_6$. Uttrykk $\sigma\tau$ i disjunkt sykkelnotasjon og finn ordenen.

Losning: Vi beregner $\sigma\tau$ ved a folge hvert element (konvensjon: forst $\tau$, sa $\sigma$):

$1 \xrightarrow{\tau} 1 \xrightarrow{\sigma} 3$, $3 \xrightarrow{\tau} 3 \xrightarrow{\sigma} 5$, $5 \xrightarrow{\tau} 5 \xrightarrow{\sigma} 2$, $2 \xrightarrow{\tau} 4 \xrightarrow{\sigma} 4$, $4 \xrightarrow{\tau} 6 \xrightarrow{\sigma} 6$, $6 \xrightarrow{\tau} 2 \xrightarrow{\sigma} 1$.

Altsaa: $\sigma\tau = (1,3,5,2,4,6)$, en 6-sykel. Ordenen er 6. $\square$

Eksempel 2 -- transitiv gruppevirkning

Oppgave: La $G \le S_n$ inneholde permutasjoner $\sigma_2, \ldots, \sigma_n$ med $\sigma_i(1) = i$. Vis at $G$ virker transitivt pa $\{1, \ldots, n\}$.

Studieguide: Homomorfier