Oversikt

En gruppe $(G, \cdot)$ er en mengde med en binær operasjon som tilfredsstiller assosiativitet, eksistens av identitetselement $e$, og eksistens av inverse. Ordenen $|G|$ er antall elementer i $G$. Ordenen til et element $g \in G$ er det minste positive heltallet $k$ slik at $g^k = e$.

Undergrupper

En delmengde $H \subseteq G$ er en undergruppe dersom den er lukket under operasjonen og inversjon. Undergruppekriteriet: $H \le G$ hvis og bare hvis $H \neq \emptyset$ og $ab^{-1} \in H$ for alle $a, b \in H$.

Lagranges teorem: Dersom $H \le G$ og $G$ er endelig, sa deler $|H|$ tallet $|G|$. Spesielt deler ordenen til ethvert element $g$ tallet $|G|$, og vi har $g^{|G|} = e$.

Sykliske grupper

En gruppe $G = \langle g \rangle$ er syklisk dersom den er generert av ett element. Enhver syklisk gruppe av orden $n$ er isomorf med $\mathbb{Z}_n$. Antall elementer av orden $d$ i $\mathbb{Z}_n$ (der $d \mid n$) er $\varphi(d)$, Eulers phi-funksjon. Viktig identitet: $$n = \sum_{d \mid n} \varphi(d)$$

Klassifisering av endelige abelske grupper

Enhver endelig abelsk gruppe er isomorf med et direkte produkt av sykliske grupper: $$G \cong \mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_k}$$ der $n_1 \mid n_2 \mid \cdots \mid n_k$ (invariantfaktorformen), eller ekvivalent som et produkt av primarpotens-sykliske grupper (elementérdivisorformen).

For eksempel: Abelske grupper av orden 18 (opp til isomorfi). Primfaktorisering: $18 = 2 \cdot 3^2$. Mulighetene er: $$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_9 \cong \mathbb{Z}_{18}, \quad \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \cong \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_3$$

Eksponenten til en gruppe er LCM av ordenene til alle elementene. For abelske grupper av orden $p^n$ med eksponent $p$ ma alle sykliske faktorer ha orden $p$, sa gruppen er $\mathbb{Z}_p^n$.

Eksempel 1 (Eksamen 2018, Oppgave 1a)

Oppgave: Finn alle abelske grupper av orden 27 med eksponent 3.

Losning: Siden $27 = 3^3$ og eksponenten er 3, ma alle elementer ha orden som deler 3. I den abelske klassifiseringen betyr dette at alle sykliske faktorer er $\mathbb{Z}_3$. Eneste mulighet: $$G \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$$ De andre abelske gruppene av orden 27, nemlig $\mathbb{Z}_9 \times \mathbb{Z}_3$ og $\mathbb{Z}_{27}$, har elementer av orden henholdsvis 9 og 27, sa de har ikke eksponent 3. $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2019, Oppgave 1b-c)

Oppgave: Finn alle abelske grupper av orden 18 opp til isomorfi. Bestem kvotienten $\frac{\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_9}{\langle (0,3) \rangle}$.

Losning: Orden 18 = $2 \cdot 3^2$. Mulighetene er $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_9 \cong \mathbb{Z}_{18}$ og $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \cong \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_3$.

For kvotienten: undergruppen $\langle (0,3) \rangle = \{(0,0), (0,3), (0,6)\}$ har orden 3. Kvotienten har orden $18/3 = 6$. Sideklassene bestemmes av $(a, b \bmod 3)$ der $a \in \mathbb{Z}_2$ og $b \in \{0, 1, 2\}$. Dermed: $$\frac{\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_9}{\langle (0,3) \rangle} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \cong \mathbb{Z}_6 \quad \square$$

Studieguide: Grupper og undergrupper

Studieguide: Grupper og undergrupper