Oversikt

Galois-gruppen $\text{Gal}(K/F)$ for en kroppsutvidelse $K/F$ er gruppen av alle automorfier av $K$ som fikserer $F$ punktvis. Utvidelsen $K/F$ er en Galois-utvidelse dersom $|\text{Gal}(K/F)| = [K:F]$. Ekvivalent: $K$ er rotkroppen til et separabelt polynom over $F$.

Galois-korrespondansen

For en Galois-utvidelse $K/F$ er det en ordensomvendende bijeksjon: $$\{\text{undergrupper } H \le \text{Gal}(K/F)\} \longleftrightarrow \{\text{mellomkropper } E \text{ med } F \subseteq E \subseteq K\}$$

gitt ved $H \mapsto K^H = \{a \in K : \sigma(a) = a \text{ for alle } \sigma \in H\}$ og $E \mapsto \text{Gal}(K/E)$.

Viktige egenskaper:

$[K:K^H] = |H|$ og $[K^H:F] = [\text{Gal}(K/F):H]$
$H$ er normal i $\text{Gal}(K/F)$ $\iff$ $K^H/F$ er en Galois-utvidelse

Frobenius-automorfismen

For endelige kropper er $\text{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)$ syklisk av orden $n$, generert av Frobenius: $$\sigma_p: a \mapsto a^p$$

Ethvert irredusibelt polynom $f(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ av grad $n$ spaltes i $\mathbb{F}_{p^n}$ med rotter $\theta, \theta^p, \theta^{p^2}, \ldots, \theta^{p^{n-1}}$.

Bestemme Galois-grupper

For et polynom $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ av grad $n$: Galois-gruppen er en undergruppe av $S_n$ (via permutasjon av rottene). Graden $[K:\mathbb{Q}]$ gir ordenen $|\text{Gal}(K/\mathbb{Q})|$.

For grad 3: $\text{Gal} \cong S_3$ (orden 6) eller $A_3 \cong \mathbb{Z}_3$ (orden 3). Hvis $[K:\mathbb{Q}] = 6$, er det $S_3$; hvis $[K:\mathbb{Q}] = 3$, er det $A_3$.

For grad 4: Galois-gruppen er en transitiv undergruppe av $S_4$, f.eks. $\mathbb{Z}_4$, $V_4$ (Kleins firegruppe), $D_4$, $A_4$ eller $S_4$.

Eksempel 1 (Eksamen 2021, Oppgave 4b)

Oppgave: Finn Galois-gruppen $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$ for $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{5})$ og skriv Galois-korrespondansen.

Losning: Vi har $[K:\mathbb{Q}] = 4$, sa $|\text{Gal}(K/\mathbb{Q})| = 4$. Autoformiene bestemmes av virkningen pa $\sqrt{2}$ og $\sqrt{5}$: $$\sigma_1 = \text{id}, \quad \sigma_2: \sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}, \sqrt{5} \mapsto \sqrt{5}$$ $$\sigma_3: \sqrt{2} \mapsto \sqrt{2}, \sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5}, \quad \sigma_4: \sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}, \sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5}$$

Alle har orden 2 (unntatt id), sa $\text{Gal}(K/\mathbb{Q}) \cong V_4 = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.

Galois-korrespondansen: Undergruppene av $V_4$ er $\{e\}$, $\langle\sigma_2\rangle$, $\langle\sigma_3\rangle$, $\langle\sigma_4\rangle$, og $V_4$. De tilsvarende fikskroppene er:

$\{e\} \leftrightarrow K = \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{5})$
$\langle\sigma_2\rangle \leftrightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{5})$ (fikserer $\sqrt{5}$)
$\langle\sigma_3\rangle \leftrightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ (fikserer $\sqrt{2}$)
$\langle\sigma_4\rangle \leftrightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{10})$ (fikserer $\sqrt{2}\sqrt{5}=\sqrt{10}$)
$V_4 \leftrightarrow \mathbb{Q}$

Alle undergrupper er normale (siden $V_4$ er abelsk), sa alle mellomutvidelser er Galois over $\mathbb{Q}$. $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2019, Oppgave 4a)

Oppgave: La $K$ vaere rotkroppen til $f(x) = x^3 - 2$ over $\mathbb{Q}$. Finn $[K:\mathbb{Q}]$ og $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$.

Losning: Rottene er $\alpha = \sqrt[3]{2}$, $\alpha\omega$, $\alpha\omega^2$ der $\omega = e^{2\pi i/3}$. Rotkroppen er $K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$.

Tornteoremet: $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3$ og $[\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}] = 2$. Siden $\gcd(3,2) = 1$, er $[K:\mathbb{Q}] = 6$.

Galois-gruppen har orden 6 og virker trofast pa 3 rotter, sa $\text{Gal}(K/\mathbb{Q}) \hookrightarrow S_3$. Siden $|S_3| = 6 = |\text{Gal}(K/\mathbb{Q})|$, er $$\text{Gal}(K/\mathbb{Q}) \cong S_3$$ $\square$

Studieguide: Galois-teori

Studieguide: Galois-teori