•Ordenen til \((a,b) \in G_1 \times G_2\) er lcm(∣a∣,∣b∣)
•Antall elementer av orden \(d\) i \(\mathbb{Z}_n\): φ(d) dersom \(d \mid n\), ellers 0
Normalgrupper og kvotientgrupper
•Normal undergruppe: gNg−1=N for alle \(g \in G\)
•1. isomorfiteorem: G/ker(φ)≅Im(φ)
•Sylows 3. teorem: np≡1(modp),np∣[G:P]
•Kvotientgruppe: ∣G/N∣=∣G∣/∣N∣
•Dersom \(n_p = 1\) er Sylow-\(p\)-undergruppen normal
Homomorfier
•Homomorfi: φ(ab)=φ(a)φ(b)
•Kjernen er normal: ker(φ)⊴G
•Ordenen til bildet deler ordenen: ∣φ(g)∣∣∣g∣
•Bane-stabilisator: ∣G∣=∣Orb(x)∣⋅∣Stab(x)∣
•Orden i \(S_n\): ∣σ∣=lcm(sykellengdene)
Ringer og idealer
•Primsk ideal: ab∈P⇒a∈P eller b∈P
•Maksimalt ideal: R/M er en kropp⟺M er maksimalt
•Integritetsomrade: R/P er integritetsomrade⟺P er primsk
•I \(\mathbb{Z}\): nZ er primsk⟺n er prim
•Ringhomomorfi: φ(a+b)=φ(a)+φ(b),φ(ab)=φ(a)φ(b)
Polynomringer
•K[x]/⟨f(x)⟩ er en kropp⟺f(x) er irredusibelt i K[x]
•∣Fpn∣=pn,Fpn∗ er syklisk av orden pn−1
•Grad 2 eller 3: f irredusibelt⟺f har ingen rot i K
•Endelig kropp: Fpn≅Fp[x]/⟨f(x)⟩ for irredusibelt \(f\) av grad \(n\)
•Frobenius i char \(p\): (a+b)p=ap+bp
Kropper og utvidelser
•[K(α):K]=degmα(x)
•Tornteoremet: [M:K]=[M:L]⋅[L:K]
•K(α)≅K[x]/⟨mα(x)⟩
•Fpm⊆Fpn⟺m∣n
•[Q(ζp):Q]=p−1 for primtall \(p\)
Galois-teori
•∣Gal(K/F)∣=[K:F] for Galois-utvidelser
•Galois-korrespondanse: H≤Gal(K/F)⟷KH mellomkropp
•Frobenius: σp(a)=ap,Gal(Fpn/Fp)=⟨σp⟩≅Zn
•Rottene av irredusibelt \(f\) over \(\mathbb{F}_p\): θ,θp,θp2,…,θpn−1
•H normal i Gal(K/F)⟺KH/F er Galois
Symmetrigrupper
•∣Sn∣=n!,∣An∣=n!/2
•Orden av permutasjon: ∣σ∣=lcm(sykellengdene)
•Fortegn av \(k\)-sykel: (−1)k−1
•Diedergruppe: ∣Dn∣=2n,srs−1=r−1
•Aut(Zn)≅Zn∗ med ∣Zn∗∣=φ(n)
Vanlige feil å unngå
Grupper og undergrupper
•Glemme å sjekke assosiativitet (eller lukkethet) når du viser at noe er en gruppe -- spesielt for matrisegrupper.
•Forveksle ordenen til et element med ordenen til gruppen: |g| deler |G|, men er generelt mye mindre.
•Glemme at Z_m x Z_n bare er isomorf med Z_{mn} når gcd(m,n) = 1.
•Ikke liste alle mulige dekomposisjoner ved klassifisering av endelige abelske grupper -- sjekk både invariantfaktor- og elementérdivisorformen.
Normalgrupper og kvotientgrupper
•Anta at enhver undergruppe er normal -- det gjelder bare i abelske grupper.
•Glemme å sjekke begge betingelsene i Sylows 3. teorem: både kongruens modulo p OG divisjon av m.
•Forveksle 'normal' med 'syklisk' -- en normal undergruppe trenger ikke være syklisk, og omvendt.
•Glemme at konjugering i en matrisegruppe er g*N*g^{-1}, og at dette må regnes ut eksplisitt.
Homomorfier
•Glemme rekkefølgen ved komposisjon av permutasjoner: sigma*tau betyr først tau, så sigma (eller omvendt -- vær konsekvent med konvensjonen).
•Anta at bildet av en homomorfi er normalt i maalgruppa -- det er generelt ikke tilfellet.
•Glemme at ordenen til phi(g) bare DELER ordenen til g, ikke nødvendigvis er lik den.
•Skrive permutasjoner i ikke-disjunkt sykkelform uten å gjøre dem disjunkte først for å finne ordenen.
Ringer og idealer
•Forveksle 'primsk' med 'maksimalt' -- ethvert maksimalt ideal er primsk, men ikke omvendt (f.eks. (0) i Z er primsk men ikke maksimalt).
•Glemme at R/I er et integritetsomrade hvis og bare hvis I er primsk -- nyttig både for å vise at noe er/ikke er et integritetsomrade.
•Anta at x^4+1 er irredusibelt over F_2 fordi det er irredusibelt over Q -- reduksibilitet avhenger av kroppen!
•Glemme at i karakteristikk p gjelder (a+b)^p = a^p + b^p ('Frobenius-trikset').
Polynomringer
•Glemme å sjekke grad-2-faktorer for polynomer av grad 4 -- ingen rot betyr bare ingen lineaer faktor.
•Forveksle irredusibilitet over forskjellige kropper: x^4+1 er irredusibelt over Q men ikke over F_2.
•Feil i moduloregning: når x^3 = x+1, må du være nøye med å erstatte ALLE forekomster av x^3 og høyere potenser.
•Glemme at F_{p^n}^* er syklisk -- dette er noekkelen til å vise primitivitet.
Kropper og utvidelser
•Anta at [K(alpha,beta):K] alltid er [K(alpha):K]*[K(beta):K] -- dette gjelder bare når utvidelsene er 'uavhengige'.
•Glemme å vise at sqrt(5) ikke ligger i Q(sqrt(2)) -- du må argumentere for at tallgraden faktisk er 2, ikke 1.
•Forveksle minimalpolynom med et vilkaarlig polynom som har alpha som rot -- minimalpolynomet er det irredusible av lavest grad.
•Glemme tornteoremet når du skal beregne tallgrader -- det er nesten alltid det riktige verktøyet.
Galois-teori
•Glemme at Galois-korrespondansen er ORDENSOMVENDENDE: store undergrupper svarer til smaa mellomkropper.
•Anta at alle kroppsutvidelser er Galois -- det gjelder bare for rotkropper av separable polynomer (f.eks. Q(cbrt(2))/Q er IKKE Galois).
•Forveksle Gal(K/Q) med S_n -- Galois-gruppen er en UNDERGRUPPE av S_n, og trenger ikke være hele S_n.
•Glemme å sjekke at en automorfi faktisk er veldefinert: du kan sende sqrt(2) -> -sqrt(2) fordi -sqrt(2) har samme minimalpolynom.
Symmetrigrupper
•Feil rekkefølge ved komposisjon av permutasjoner -- vaer konsistent med om sigma*tau betyr 'først tau så sigma' eller omvendt.
•Glemme at en k-sykel har fortegn (-1)^{k-1}, IKKE (-1)^k -- en transposisjon (2-sykel) er odde.
•Forveksle D_n (orden 2n) med S_n (orden n!) -- diedergrupper er mye mindre enn symmetriske grupper.
•Anta at alle elementer av samme orden er konjugerte -- dette gjelder i S_n, men IKKE i vilkaarlige grupper.
Eksamenstips
Grupper og undergrupper
•Klassifisering av endelige abelske grupper kommer på nesten alle eksamener -- ofte første deloppgave (typisk 'finn alle abelske grupper av orden N'). Drill primfaktorisering og opplisting av partisjoner av eksponentene.
•Når oppgaven sier 'vis at G er en gruppe', må du alltid sjekke: (1) lukkethet, (2) assosiativitet (ofte arvet fra en kjent struktur som matriser), (3) identitetselement, (4) inverse. Sensor trekker for utelatt lukkethet/inverse.
•Bestem ordenen til \((a,b)\) i et produkt som lcm av komponentordenene, og bruk dette til å identifisere kvotienten via klassifiseringsteoremet.
•Kvotientgrupper av direkte produkter: bestem ordenen til undergruppen og bruk første isomorfiteorem.
Normalgrupper og kvotientgrupper
•Sylows teoremer dukker opp nesten hvert ar. Når |G| = p*q for primtall p < q, er Sylow-q-undergruppen alltid normal. Generelt: vis n_p = 1 for å få en normal undergruppe.
•Et tilbakevendende mønster: vis at en gruppe av orden p^a*q har en unik (dermed normal) Sylow-undergruppe, og bruk co-prime ordener til å vise at G er et direkte produkt M x N og derved abelsk/syklisk.
•For å vise at G ikke er simpel: finn n_p for alle primfaktorer. Dersom n_p = 1 for noen p, er Sylow-p-undergruppen normal og ikke-triviell.
•Sensor vektlegger eksplisitt bruk av både kongruensbetingelsen OG delelighetsbetingelsen i Sylows 3. teorem -- skriv begge.
•Når du skal identifisere G/N: konstruer en homomorfi med riktig kjerne og bruk første isomorfiteorem.
Homomorfier
•Permutasjonsregning i S_n er på de fleste eksamener. Oev på raskt å beregne komposisjoner og skrive dem i disjunkt sykkelnotasjon.
•Når oppgaven ber om å vise at noe er en homomorfi: sjekk BARE at phi(ab) = phi(a)*phi(b). At phi(e)=e og phi(g^{-1})=phi(g)^{-1} følger automatisk.
•Bane-stabilisator (|G| = |Orb|*|Stab|) brukes ofte i kombinasjon med Sylow-argumenter, f.eks. for å vise at en p-gruppe som virker på en mengde med |X| ikke delelig med p må ha et fikspunkt.
•Galois-grupper er undergrupper av S_n -- forstaaelsen av permutasjoner er derfor avgjorende ogsaa for siste del av kurset.
Ringer og idealer
•Oppgaver om kvotientringer R/I er svart vanlige. Sjekk alltid først om I er generert av et irredusibelt polynom -- da er R/I en kropp.
•For å vise at en kvotientring IKKE er et integritetsomrade: faktoriser polynomet og finn eksplisitte nulldivisorer.
•Et tilbakevendende oppgavemønster: vis at et gitt ideal er primsk MEN ikke maksimalt. Standardgrepet er å vise R/I ~ et integritetsomrade som ikke er en kropp (f.eks. R/I ~ Z), eller a konstruere et ideal J med I strengt inneholdt i J strengt inneholdt i R.
•I Z_{p^n} er hpi det unike maksimale idealet og Z_{p^n}/hpi ~ Z_p -- kjenn dette utenat.
•Husk at i F_2 er + og - det samme (karakteristikk 2). Dermed er x^4+1 = x^4-1 = (x-1)^4 = (x+1)^4.
Polynomringer
•Regning i F_2[x]/f(x) (eller F_3[x]/f(x)) kommer nesten hvert aar. Oev på potensreduksjon modulo f(x) -- det er ren mekanikk og gir 'sikre' poeng.
•For irredusibilitet av grad 4 over F_2: sjekk (1) ingen rot, (2) ikke delelig med x^2+x+1 (eneste irred. grad 2).
•Husk at det finnes nøyaktig en kropp med p^n elementer opp til isomorfi -- så alle kvotientringer K[x]/f(x) med f irredusibelt av grad n er isomorfe.
Kropper og utvidelser
•Rotkropper over Q med tallgradsberegning er på ALLE eksamener. Oev tornteoremet med spesifikke eksempler.
•For å vise at sqrt(a) ikke er i Q(sqrt(b)), anta det og utled en selvmotsigelse ved å kvadrere og bruke at sqrt(b) er irrasjonell.
•Når du skal finne [K:Q] for rotkroppen til x^p-2: bruk at gradene p og p-1 er koprime, så de 'multipliserer'.
Galois-teori
•Galois-teori er på ALLE eksamener som en avsluttende oppgave. Det er den tyngste oppgaven -- begynn alltid med å finne tallgraden [K:Q], som er lik |Gal(K/Q)|.
•Et tilbakevendende deloppgavemønster: vis at en gitt undergruppe H (f.eks. ) har en bestemt fikskropp, ved å vise at den aktuelle generatoren ligger i fikskroppen og bruke gradformelen til å utelukke at fikskroppen er større.
•For sykliske kropper Q(zeta_n): Gal(Q(zeta_n)/Q) ~ (Z/n)^*. Frobenius-trikset og kompleks konjugasjon (sigma: zeta -> zeta^{-1}) dukker opp som konkrete automorfier.
•For Q(sqrt(a), sqrt(b))/Q: Galois-gruppen er alltid V_4 = Z_2 x Z_2 (forutsatt at utvidelsen har grad 4). Det er 3 mellomkropper: Q(sqrt(a)), Q(sqrt(b)), Q(sqrt(ab)).
•For rotkroppen til x^3-a: [K:Q] = 6 gir Gal = S_3, mens [K:Q] = 3 gir Gal = A_3 ~ Z_3.
•For endelige kropper: bruk Frobenius til å spalte polynomer. Rottene er alltid theta, theta^p, theta^{p^2}, osv.
Symmetrigrupper
•Permutasjonsregning er på de fleste eksamener. Oev på å beregne sigma*tau ved å følge hvert element, og på å finne ordenen som lcm av sykellengdene.
•Diedergrupper D_n er det vanligste eksempelet på ikke-abelske grupper i klassifiseringsproblemer.
•Når |G| = 2p for primtall p, er G enten syklisk eller D_p -- dette følger fra Sylows teoremer og at Aut(Z_p) er syklisk.
•Vis sykkeltype-argumenter for konjugasjon: to permutasjoner i S_n er konjugerte hvis og bare hvis de har samme sykkeltype -- nyttig for å telle elementer eller Sylow-undergrupper.