MAT2200

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Grupper, ringer og kropper

eksamenssett.no

Formler

Gruppeteori

• $|G| = |H| \cdot [G:H] \quad \text{(Lagrange)}$
• $n = \sum_{d \mid n} \varphi(d) \quad \text{(Euler phi-identitet)}$
• $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_{mn} \iff \gcd(m,n) = 1$
• $\text{Sylows 3. teorem: } n_p \equiv 1 \pmod{p}, \quad n_p \mid m \text{ der } |G| = p^a m$
• $G/\ker(\varphi) \cong \text{Im}(\varphi) \quad \text{(1. isomorfiteorem)}$
• $|S_n| = n!, \quad |A_n| = n!/2$
• $|D_n| = 2n, \quad D_n = \langle r, s \mid r^n = s^2 = e, \, srs^{-1} = r^{-1}\rangle$
• $\text{Aut}(\mathbb{Z}_n) \cong \mathbb{Z}_n^*, \quad |\mathbb{Z}_n^*| = \varphi(n)$

Ringteori

• $R/I \text{ er integritetsomrade} \iff I \text{ er primsk ideal}$
• $R/M \text{ er kropp} \iff M \text{ er maksimalt ideal}$
• $K[x]/\langle f(x)\rangle \text{ er kropp} \iff f(x) \text{ irredusibelt}$
• $\text{I } \mathbb{F}_p: (a+b)^p = a^p + b^p \quad \text{(Frobenius)}$

Kroppsteori og Galois-teori

• $[K(\alpha):K] = \deg m_\alpha(x)$
• $[M:K] = [M:L] \cdot [L:K] \quad \text{(Tornteoremet)}$
• $|\text{Gal}(K/F)| = [K:F] \quad \text{for Galois-utvidelser}$
• $\text{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p) = \langle \sigma_p \rangle \cong \mathbb{Z}_n, \quad \sigma_p(a) = a^p$
• $|\mathbb{F}_{p^n}| = p^n, \quad \mathbb{F}_{p^n}^* \cong \mathbb{Z}_{p^n - 1}$
• $[\mathbb{Q}(\zeta_p):\mathbb{Q}] = p-1 \quad \text{for primtall } p$
• $\mathbb{F}_{p^m} \subseteq \mathbb{F}_{p^n} \iff m \mid n$

Nøkkelformler per tema

Grupper og undergrupper

•Lagranges teorem: $|H| \mid |G|$ for $H \le G$
•Euler: $n = \sum_{d \mid n} \varphi(d)$
•Syklisk: $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_{mn} \iff \gcd(m,n) = 1$
•Ordenen til $(a,b) \in G_1 \times G_2$ er $\text{lcm}(|a|, |b|)$
•Antall elementer av orden $d$ i $\mathbb{Z}_n$: $\varphi(d)$ dersom $d \mid n$, ellers 0

Normalgrupper og kvotientgrupper

•Normal undergruppe: $gNg^{-1} = N$ for alle $g \in G$
•1. isomorfiteorem: $G/\ker(\varphi) \cong \text{Im}(\varphi)$
•Sylows 3. teorem: $n_p \equiv 1 \pmod{p}, \quad n_p \mid [G:P]$
•Kvotientgruppe: $|G/N| = |G|/|N|$
•Dersom $n_p = 1$ er Sylow-$p$-undergruppen normal

Homomorfier

•Homomorfi: $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$
•Kjernen er normal: $\ker(\varphi) \trianglelefteq G$
•Ordenen til bildet deler ordenen: $|\varphi(g)| \mid |g|$
•Bane-stabilisator: $|G| = |\text{Orb}(x)| \cdot |\text{Stab}(x)|$
•Orden i $S_n$: $|\sigma| = \text{lcm}(\text{sykellengdene})$

Ringer og idealer

•Primsk ideal: $ab \in P \Rightarrow a \in P \text{ eller } b \in P$
•Maksimalt ideal: $R/M \text{ er en kropp} \iff M \text{ er maksimalt}$
•Integritetsomrade: $R/P \text{ er integritetsomrade} \iff P \text{ er primsk}$
•I $\mathbb{Z}$: $n\mathbb{Z} \text{ er primsk} \iff n \text{ er prim}$
•Ringhomomorfi: $\varphi(a+b) = \varphi(a)+\varphi(b), \quad \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$

Polynomringer

• $K[x]/\langle f(x)\rangle \text{ er en kropp} \iff f(x) \text{ er irredusibelt i } K[x]$
• $|\mathbb{F}_{p^n}| = p^n, \quad \mathbb{F}_{p^n}^* \text{ er syklisk av orden } p^n - 1$
•Grad 2 eller 3: $f \text{ irredusibelt} \iff f \text{ har ingen rot i } K$
•Endelig kropp: $\mathbb{F}_{p^n} \cong \mathbb{F}_p[x]/\langle f(x)\rangle$ for irredusibelt $f$ av grad $n$
•Frobenius i char $p$: $(a+b)^p = a^p + b^p$

Kropper og utvidelser

•Tornteoremet: $[M:K] = [M:L] \cdot [L:K]$
• $K(\alpha) \cong K[x]/\langle m_\alpha(x)\rangle$
• $[\mathbb{Q}(\zeta_p):\mathbb{Q}] = p - 1$ for primtall $p$

Galois-teori

• $|\text{Gal}(K/F)| = [K:F]$ for Galois-utvidelser
•Galois-korrespondanse: $H \le \text{Gal}(K/F) \longleftrightarrow K^H \text{ mellomkropp}$
•Frobenius: $\sigma_p(a) = a^p, \quad \text{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p) = \langle \sigma_p \rangle \cong \mathbb{Z}_n$
•Rottene av irredusibelt $f$ over $\mathbb{F}_p$: $\theta, \theta^p, \theta^{p^2}, \ldots, \theta^{p^{n-1}}$
• $H \text{ normal i } \text{Gal}(K/F) \iff K^H/F \text{ er Galois}$

Symmetrigrupper

•Orden av permutasjon: $|\sigma| = \text{lcm}(\text{sykellengdene})$
•Fortegn av $k$-sykel: $(-1)^{k-1}$
•Diedergruppe: $|D_n| = 2n, \quad srs^{-1} = r^{-1}$
• $\text{Aut}(\mathbb{Z}_n) \cong \mathbb{Z}_n^*$ med $|\mathbb{Z}_n^*| = \varphi(n)$

Vanlige feil å unngå

Grupper og undergrupper

•Glemme a sjekke assosiativitet (eller lukkethet) nar du viser at noe er en gruppe -- spesielt for matrisegrupper.
•Forveksle ordenen til et element med ordenen til gruppen: |g| deler |G|, men er generelt mye mindre.
•Glemme at Z_m x Z_n bare er isomorf med Z_{mn} nar gcd(m,n) = 1.
•Ikke liste alle mulige dekomposisjoner ved klassifisering av endelige abelske grupper -- sjekk bade invariantfaktor- og elementérdivisorformen.

Normalgrupper og kvotientgrupper

•Anta at enhver undergruppe er normal -- det gjelder bare i abelske grupper.
•Glemme a sjekke begge betingelsene i Sylows 3. teorem: bade kongruens modulo p OG divisjon av m.
•Forveksle 'normal' med 'syklisk' -- en normal undergruppe trenger ikke vaere syklisk, og omvendt.
•Glemme at konjugering i en matrisegruppe er g*N*g^{-1}, og at dette ma regnes ut eksplisitt.

Homomorfier

•Glemme rekkefølgen ved komposisjon av permutasjoner: sigma*tau betyr forst tau, sa sigma (eller omvendt -- vær konsekvent med konvensjonen).
•Anta at bildet av en homomorfi er normalt i maalgruppa -- det er generelt ikke tilfellet.
•Glemme at ordenen til phi(g) bare DELER ordenen til g, ikke nodvendigvis er lik den.
•Skrive permutasjoner i ikke-disjunkt sykkelform uten a gjore dem disjunkte forst for a finne ordenen.

Ringer og idealer

•Forveksle 'primsk' med 'maksimalt' -- ethvert maksimalt ideal er primsk, men ikke omvendt (f.eks. (0) i Z er primsk men ikke maksimalt).
•Glemme at R/I er et integritetsomrade hvis og bare hvis I er primsk -- nyttig bade for a vise at noe er/ikke er et integritetsomrade.
•Anta at x^4+1 er irredusibelt over F_2 fordi det er irredusibelt over Q -- reduksibilitet avhenger av kroppen!
•Glemme at i karakteristikk p gjelder (a+b)^p = a^p + b^p ('Frobenius-trikset').

Polynomringer

•Glemme a sjekke grad-2-faktorer for polynomer av grad 4 -- ingen rot betyr bare ingen lineaer faktor.
•Forveksle irredusibilitet over forskjellige kropper: x^4+1 er irredusibelt over Q men ikke over F_2.
•Feil i moduloregning: nar x^3 = x+1, ma du vaere noye med a erstatte ALLE forekomster av x^3 og hoyere potenser.
•Glemme at F_{p^n}^* er syklisk -- dette er noekkelen til a vise primitivitet.

Kropper og utvidelser

•Anta at [K(alpha,beta):K] alltid er [K(alpha):K]*[K(beta):K] -- dette gjelder bare nar utvidelsene er 'uavhengige'.
•Glemme a vise at sqrt(5) ikke ligger i Q(sqrt(2)) -- du ma argumentere for at tallgraden faktisk er 2, ikke 1.
•Forveksle minimalpolynom med et vilkaarlig polynom som har alpha som rot -- minimalpolynomet er det irredusible av lavest grad.
•Glemme tornteoremet nar du skal beregne tallgrader -- det er nesten alltid det riktige verktøyet.

Galois-teori

•Glemme at Galois-korrespondansen er ORDENSOMVENDENDE: store undergrupper svarer til smaa mellomkropper.
•Anta at alle kroppsutvidelser er Galois -- det gjelder bare for rotkropper av separable polynomer (f.eks. Q(cbrt(2))/Q er IKKE Galois).
•Forveksle Gal(K/Q) med S_n -- Galois-gruppen er en UNDERGRUPPE av S_n, og trenger ikke vaere hele S_n.
•Glemme a sjekke at en automorfi faktisk er veldefinert: du kan sende sqrt(2) -> -sqrt(2) fordi -sqrt(2) har samme minimalpolynom.

Symmetrigrupper

•Feil rekkefølge ved komposisjon av permutasjoner -- vaer konsistent med om sigma*tau betyr 'forst tau sa sigma' eller omvendt.
•Glemme at en k-sykel har fortegn (-1)^{k-1}, IKKE (-1)^k -- en transposisjon (2-sykel) er odde.
•Forveksle D_n (orden 2n) med S_n (orden n!) -- diedergrupper er mye mindre enn symmetriske grupper.
•Anta at alle elementer av samme orden er konjugerte -- dette gjelder i S_n, men IKKE i vilkaarlige grupper.

Eksamenstips

Grupper og undergrupper

•Klassifisering av endelige abelske grupper kommer pa nesten ALLE eksamener (2018 1a, 2019 1b, 2021 2a). Drill primfaktorisering og opplisting av partisjoner.
•Nar oppgaven sier 'vis at G er en gruppe', ma du alltid sjekke: (1) lukkethet, (2) assosiativitet (ofte arvet), (3) identitetselement, (4) inverse.
•Kvotientgrupper av direkte produkter: bestem ordenen til undergruppen og bruk forsteisomorfiteoremet.

Normalgrupper og kvotientgrupper

•Sylows teoremer dukker opp nesten hvert ar (2018 2a, 2021 1b). Nar |G| = p*q for primtall p < q, er Sylow-q-undergruppen alltid normal.
•For a vise at G ikke er simpel: finn n_p for alle primfaktorer. Dersom n_p = 1 for noen p, er Sylow-p-undergruppen normal.
•Nar du skal identifisere G/N: konstruer en homomorfi med riktig kjerne og bruk forste isomorfiteorem.

Homomorfier

•Permutasjonsregning i S_n er pa de fleste eksamener (2019 2a, 2021 1a). Oev pa raskt a beregne komposisjoner og skrive dem i disjunkt sykkelnotasjon.
•Nar oppgaven ber om a vise at noe er en homomorfi: sjekk BARE at phi(ab) = phi(a)*phi(b). Resten folger automatisk.
•Galois-grupper er undergrupper av S_n -- forstaaelsen av permutasjoner er derfor avgjorende ogsaa for siste del av kurset.

Ringer og idealer

•Oppgaver om kvotientringer R/I er svart vanlige. Sjekk alltid forst om I er generert av et irredusibelt polynom -- da er R/I en kropp.
•For a vise at en kvotientring IKKE er et integritetsomrade: faktoriser polynomet og finn eksplisitte nulldivisorer.
•Husk at i F_2 er + og - det samme (karakteristikk 2). Dermed er x^4+1 = x^4-1 = (x-1)^4 = (x+1)^4.

Polynomringer

•Regning i F_2[x]/f(x) kommer nesten hvert aar (2019 3b-c, 2021 3a-b). Oev pa potensreduksjon modulo f(x) -- det er ren mekanikk.
•For irredusibilitet av grad 4 over F_2: sjekk (1) ingen rot, (2) ikke delelig med x^2+x+1 (eneste irred. grad 2).
•Husk at det finnes noyaktig en kropp med p^n elementer opp til isomorfi -- sa alle kvotientringer K[x]/f(x) med f irredusibelt av grad n er isomorfe.

Kropper og utvidelser

•Rotkropper over Q med tallgradsberegning er pa ALLE eksamener (2018 4b, 2019 4a, 2021 4a). Oev tornteoremet med spesifikke eksempler.
•For a vise at sqrt(a) ikke er i Q(sqrt(b)), anta det og utled en selvmotsigelse ved a kvadrere og bruke at sqrt(b) er irrasjonell.
•Nar du skal finne [K:Q] for rotkroppen til x^p-2: bruk at gradene p og p-1 er koprime, sa de 'multipliserer'.

Galois-teori

•Galois-teori er pa ALLE eksamener som en avsluttende oppgave (2018 4, 2019 4, 2021 4). Det er den tyngste oppgaven -- begynn med a finne tallgraden.
•For Q(sqrt(a), sqrt(b))/Q: Galois-gruppen er alltid V_4 = Z_2 x Z_2 (forutsatt at utvidelsen har grad 4). Det er 3 mellomkropper: Q(sqrt(a)), Q(sqrt(b)), Q(sqrt(ab)).
•For rotkroppen til x^3-a: [K:Q] = 6 gir Gal = S_3, mens [K:Q] = 3 gir Gal = A_3 ~ Z_3.
•For endelige kropper: bruk Frobenius til a spalte polynomer. Rottene er alltid theta, theta^p, theta^{p^2}, osv.

Symmetrigrupper

•Permutasjonsregning er pa de fleste eksamener. Oev pa a beregne sigma*tau ved a folge hvert element.
•Diedergrupper D_n er det vanligste eksempelet pa ikke-abelske grupper i klassifiseringsproblemer (2018 2b).
•Nar |G| = 2p for primtall p, er G enten syklisk eller D_p -- dette folger fra Sylows teoremer.

MAT2200

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Grupper, ringer og kropper

eksamenssett.no

Formler

Gruppeteori

• $|G| = |H| \cdot [G:H] \quad \text{(Lagrange)}$
• $n = \sum_{d \mid n} \varphi(d) \quad \text{(Euler phi-identitet)}$
• $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_{mn} \iff \gcd(m,n) = 1$
• $\text{Sylows 3. teorem: } n_p \equiv 1 \pmod{p}, \quad n_p \mid m \text{ der } |G| = p^a m$
• $G/\ker(\varphi) \cong \text{Im}(\varphi) \quad \text{(1. isomorfiteorem)}$
• $|S_n| = n!, \quad |A_n| = n!/2$
• $|D_n| = 2n, \quad D_n = \langle r, s \mid r^n = s^2 = e, \, srs^{-1} = r^{-1}\rangle$
• $\text{Aut}(\mathbb{Z}_n) \cong \mathbb{Z}_n^*, \quad |\mathbb{Z}_n^*| = \varphi(n)$

Ringteori

• $R/I \text{ er integritetsomrade} \iff I \text{ er primsk ideal}$
• $R/M \text{ er kropp} \iff M \text{ er maksimalt ideal}$
• $K[x]/\langle f(x)\rangle \text{ er kropp} \iff f(x) \text{ irredusibelt}$
• $\text{I } \mathbb{F}_p: (a+b)^p = a^p + b^p \quad \text{(Frobenius)}$

Kroppsteori og Galois-teori

• $[K(\alpha):K] = \deg m_\alpha(x)$
• $[M:K] = [M:L] \cdot [L:K] \quad \text{(Tornteoremet)}$
• $|\text{Gal}(K/F)| = [K:F] \quad \text{for Galois-utvidelser}$
• $\text{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p) = \langle \sigma_p \rangle \cong \mathbb{Z}_n, \quad \sigma_p(a) = a^p$
• $|\mathbb{F}_{p^n}| = p^n, \quad \mathbb{F}_{p^n}^* \cong \mathbb{Z}_{p^n - 1}$
• $[\mathbb{Q}(\zeta_p):\mathbb{Q}] = p-1 \quad \text{for primtall } p$
• $\mathbb{F}_{p^m} \subseteq \mathbb{F}_{p^n} \iff m \mid n$

Nøkkelformler per tema

Grupper og undergrupper

•Lagranges teorem: $|H| \mid |G|$ for $H \le G$
•Euler: $n = \sum_{d \mid n} \varphi(d)$
•Syklisk: $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_{mn} \iff \gcd(m,n) = 1$
•Ordenen til $(a,b) \in G_1 \times G_2$ er $\text{lcm}(|a|, |b|)$
•Antall elementer av orden $d$ i $\mathbb{Z}_n$: $\varphi(d)$ dersom $d \mid n$, ellers 0

Normalgrupper og kvotientgrupper

•Normal undergruppe: $gNg^{-1} = N$ for alle $g \in G$
•1. isomorfiteorem: $G/\ker(\varphi) \cong \text{Im}(\varphi)$
•Sylows 3. teorem: $n_p \equiv 1 \pmod{p}, \quad n_p \mid [G:P]$
•Kvotientgruppe: $|G/N| = |G|/|N|$
•Dersom $n_p = 1$ er Sylow-$p$-undergruppen normal

Homomorfier

•Homomorfi: $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$
•Kjernen er normal: $\ker(\varphi) \trianglelefteq G$
•Ordenen til bildet deler ordenen: $|\varphi(g)| \mid |g|$
•Bane-stabilisator: $|G| = |\text{Orb}(x)| \cdot |\text{Stab}(x)|$
•Orden i $S_n$: $|\sigma| = \text{lcm}(\text{sykellengdene})$

Ringer og idealer

•Primsk ideal: $ab \in P \Rightarrow a \in P \text{ eller } b \in P$
•Maksimalt ideal: $R/M \text{ er en kropp} \iff M \text{ er maksimalt}$
•Integritetsomrade: $R/P \text{ er integritetsomrade} \iff P \text{ er primsk}$
•I $\mathbb{Z}$: $n\mathbb{Z} \text{ er primsk} \iff n \text{ er prim}$
•Ringhomomorfi: $\varphi(a+b) = \varphi(a)+\varphi(b), \quad \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$

Polynomringer

• $K[x]/\langle f(x)\rangle \text{ er en kropp} \iff f(x) \text{ er irredusibelt i } K[x]$
• $|\mathbb{F}_{p^n}| = p^n, \quad \mathbb{F}_{p^n}^* \text{ er syklisk av orden } p^n - 1$
•Grad 2 eller 3: $f \text{ irredusibelt} \iff f \text{ har ingen rot i } K$
•Endelig kropp: $\mathbb{F}_{p^n} \cong \mathbb{F}_p[x]/\langle f(x)\rangle$ for irredusibelt $f$ av grad $n$
•Frobenius i char $p$: $(a+b)^p = a^p + b^p$

Kropper og utvidelser

•Tornteoremet: $[M:K] = [M:L] \cdot [L:K]$
• $K(\alpha) \cong K[x]/\langle m_\alpha(x)\rangle$
• $[\mathbb{Q}(\zeta_p):\mathbb{Q}] = p - 1$ for primtall $p$

Galois-teori

• $|\text{Gal}(K/F)| = [K:F]$ for Galois-utvidelser
•Galois-korrespondanse: $H \le \text{Gal}(K/F) \longleftrightarrow K^H \text{ mellomkropp}$
•Frobenius: $\sigma_p(a) = a^p, \quad \text{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p) = \langle \sigma_p \rangle \cong \mathbb{Z}_n$
•Rottene av irredusibelt $f$ over $\mathbb{F}_p$: $\theta, \theta^p, \theta^{p^2}, \ldots, \theta^{p^{n-1}}$
• $H \text{ normal i } \text{Gal}(K/F) \iff K^H/F \text{ er Galois}$

Symmetrigrupper

•Orden av permutasjon: $|\sigma| = \text{lcm}(\text{sykellengdene})$
•Fortegn av $k$-sykel: $(-1)^{k-1}$
•Diedergruppe: $|D_n| = 2n, \quad srs^{-1} = r^{-1}$
• $\text{Aut}(\mathbb{Z}_n) \cong \mathbb{Z}_n^*$ med $|\mathbb{Z}_n^*| = \varphi(n)$

Vanlige feil å unngå

Grupper og undergrupper

•Glemme a sjekke assosiativitet (eller lukkethet) nar du viser at noe er en gruppe -- spesielt for matrisegrupper.
•Forveksle ordenen til et element med ordenen til gruppen: |g| deler |G|, men er generelt mye mindre.
•Glemme at Z_m x Z_n bare er isomorf med Z_{mn} nar gcd(m,n) = 1.
•Ikke liste alle mulige dekomposisjoner ved klassifisering av endelige abelske grupper -- sjekk bade invariantfaktor- og elementérdivisorformen.

Normalgrupper og kvotientgrupper

•Anta at enhver undergruppe er normal -- det gjelder bare i abelske grupper.
•Glemme a sjekke begge betingelsene i Sylows 3. teorem: bade kongruens modulo p OG divisjon av m.
•Forveksle 'normal' med 'syklisk' -- en normal undergruppe trenger ikke vaere syklisk, og omvendt.
•Glemme at konjugering i en matrisegruppe er g*N*g^{-1}, og at dette ma regnes ut eksplisitt.

Homomorfier

•Glemme rekkefølgen ved komposisjon av permutasjoner: sigma*tau betyr forst tau, sa sigma (eller omvendt -- vær konsekvent med konvensjonen).
•Anta at bildet av en homomorfi er normalt i maalgruppa -- det er generelt ikke tilfellet.
•Glemme at ordenen til phi(g) bare DELER ordenen til g, ikke nodvendigvis er lik den.
•Skrive permutasjoner i ikke-disjunkt sykkelform uten a gjore dem disjunkte forst for a finne ordenen.

Ringer og idealer

•Forveksle 'primsk' med 'maksimalt' -- ethvert maksimalt ideal er primsk, men ikke omvendt (f.eks. (0) i Z er primsk men ikke maksimalt).
•Glemme at R/I er et integritetsomrade hvis og bare hvis I er primsk -- nyttig bade for a vise at noe er/ikke er et integritetsomrade.
•Anta at x^4+1 er irredusibelt over F_2 fordi det er irredusibelt over Q -- reduksibilitet avhenger av kroppen!
•Glemme at i karakteristikk p gjelder (a+b)^p = a^p + b^p ('Frobenius-trikset').

Polynomringer

•Glemme a sjekke grad-2-faktorer for polynomer av grad 4 -- ingen rot betyr bare ingen lineaer faktor.
•Forveksle irredusibilitet over forskjellige kropper: x^4+1 er irredusibelt over Q men ikke over F_2.
•Feil i moduloregning: nar x^3 = x+1, ma du vaere noye med a erstatte ALLE forekomster av x^3 og hoyere potenser.
•Glemme at F_{p^n}^* er syklisk -- dette er noekkelen til a vise primitivitet.

Kropper og utvidelser

•Anta at [K(alpha,beta):K] alltid er [K(alpha):K]*[K(beta):K] -- dette gjelder bare nar utvidelsene er 'uavhengige'.
•Glemme a vise at sqrt(5) ikke ligger i Q(sqrt(2)) -- du ma argumentere for at tallgraden faktisk er 2, ikke 1.
•Forveksle minimalpolynom med et vilkaarlig polynom som har alpha som rot -- minimalpolynomet er det irredusible av lavest grad.
•Glemme tornteoremet nar du skal beregne tallgrader -- det er nesten alltid det riktige verktøyet.

Galois-teori

•Glemme at Galois-korrespondansen er ORDENSOMVENDENDE: store undergrupper svarer til smaa mellomkropper.
•Anta at alle kroppsutvidelser er Galois -- det gjelder bare for rotkropper av separable polynomer (f.eks. Q(cbrt(2))/Q er IKKE Galois).
•Forveksle Gal(K/Q) med S_n -- Galois-gruppen er en UNDERGRUPPE av S_n, og trenger ikke vaere hele S_n.
•Glemme a sjekke at en automorfi faktisk er veldefinert: du kan sende sqrt(2) -> -sqrt(2) fordi -sqrt(2) har samme minimalpolynom.

Symmetrigrupper

•Feil rekkefølge ved komposisjon av permutasjoner -- vaer konsistent med om sigma*tau betyr 'forst tau sa sigma' eller omvendt.
•Glemme at en k-sykel har fortegn (-1)^{k-1}, IKKE (-1)^k -- en transposisjon (2-sykel) er odde.
•Forveksle D_n (orden 2n) med S_n (orden n!) -- diedergrupper er mye mindre enn symmetriske grupper.
•Anta at alle elementer av samme orden er konjugerte -- dette gjelder i S_n, men IKKE i vilkaarlige grupper.

Eksamenstips

Grupper og undergrupper

•Klassifisering av endelige abelske grupper kommer pa nesten ALLE eksamener (2018 1a, 2019 1b, 2021 2a). Drill primfaktorisering og opplisting av partisjoner.
•Nar oppgaven sier 'vis at G er en gruppe', ma du alltid sjekke: (1) lukkethet, (2) assosiativitet (ofte arvet), (3) identitetselement, (4) inverse.
•Kvotientgrupper av direkte produkter: bestem ordenen til undergruppen og bruk forsteisomorfiteoremet.

Normalgrupper og kvotientgrupper

•Sylows teoremer dukker opp nesten hvert ar (2018 2a, 2021 1b). Nar |G| = p*q for primtall p < q, er Sylow-q-undergruppen alltid normal.
•For a vise at G ikke er simpel: finn n_p for alle primfaktorer. Dersom n_p = 1 for noen p, er Sylow-p-undergruppen normal.
•Nar du skal identifisere G/N: konstruer en homomorfi med riktig kjerne og bruk forste isomorfiteorem.

Homomorfier

•Permutasjonsregning i S_n er pa de fleste eksamener (2019 2a, 2021 1a). Oev pa raskt a beregne komposisjoner og skrive dem i disjunkt sykkelnotasjon.
•Nar oppgaven ber om a vise at noe er en homomorfi: sjekk BARE at phi(ab) = phi(a)*phi(b). Resten folger automatisk.
•Galois-grupper er undergrupper av S_n -- forstaaelsen av permutasjoner er derfor avgjorende ogsaa for siste del av kurset.

Ringer og idealer

•Oppgaver om kvotientringer R/I er svart vanlige. Sjekk alltid forst om I er generert av et irredusibelt polynom -- da er R/I en kropp.
•For a vise at en kvotientring IKKE er et integritetsomrade: faktoriser polynomet og finn eksplisitte nulldivisorer.
•Husk at i F_2 er + og - det samme (karakteristikk 2). Dermed er x^4+1 = x^4-1 = (x-1)^4 = (x+1)^4.

Polynomringer

•Regning i F_2[x]/f(x) kommer nesten hvert aar (2019 3b-c, 2021 3a-b). Oev pa potensreduksjon modulo f(x) -- det er ren mekanikk.
•For irredusibilitet av grad 4 over F_2: sjekk (1) ingen rot, (2) ikke delelig med x^2+x+1 (eneste irred. grad 2).
•Husk at det finnes noyaktig en kropp med p^n elementer opp til isomorfi -- sa alle kvotientringer K[x]/f(x) med f irredusibelt av grad n er isomorfe.

Kropper og utvidelser

•Rotkropper over Q med tallgradsberegning er pa ALLE eksamener (2018 4b, 2019 4a, 2021 4a). Oev tornteoremet med spesifikke eksempler.
•For a vise at sqrt(a) ikke er i Q(sqrt(b)), anta det og utled en selvmotsigelse ved a kvadrere og bruke at sqrt(b) er irrasjonell.
•Nar du skal finne [K:Q] for rotkroppen til x^p-2: bruk at gradene p og p-1 er koprime, sa de 'multipliserer'.

Galois-teori

•Galois-teori er pa ALLE eksamener som en avsluttende oppgave (2018 4, 2019 4, 2021 4). Det er den tyngste oppgaven -- begynn med a finne tallgraden.
•For Q(sqrt(a), sqrt(b))/Q: Galois-gruppen er alltid V_4 = Z_2 x Z_2 (forutsatt at utvidelsen har grad 4). Det er 3 mellomkropper: Q(sqrt(a)), Q(sqrt(b)), Q(sqrt(ab)).
•For rotkroppen til x^3-a: [K:Q] = 6 gir Gal = S_3, mens [K:Q] = 3 gir Gal = A_3 ~ Z_3.
•For endelige kropper: bruk Frobenius til a spalte polynomer. Rottene er alltid theta, theta^p, theta^{p^2}, osv.

Symmetrigrupper

•Permutasjonsregning er pa de fleste eksamener. Oev pa a beregne sigma*tau ved a folge hvert element.
•Diedergrupper D_n er det vanligste eksempelet pa ikke-abelske grupper i klassifiseringsproblemer (2018 2b).
•Nar |G| = 2p for primtall p, er G enten syklisk eller D_p -- dette folger fra Sylows teoremer.