MAT1120 · UiO

Studieguide for MAT1120 Lineær algebra

Komplett pensumoversikt for lineær algebra ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

Denne guiden er bygd på 23 eksamenssett i MAT1120 fra 2003 til 2025 (ordinær og utsatt eksamen, 222 deloppgaver), to prøveeksamener (H2023 og H2024) og UiOs løsningsforslag til 20 av settene. Hver seksjon starter med hva eksamen faktisk spør om, hvor ofte, og hvordan løsningsforslaget fører svaret.

Slik ser eksamen ut

4 timer, 10 deloppgaver à 10 poeng. Slik er 10 av de 11 settene fra 2017, medregnet de utsatte eksamenene H2022 og H2023 (H2019 hadde 11 like deloppgaver). Fra 2010 er eksamen 4 timer; 2003–2009 var den 3 timer.
Ingen hjelpemidler. Ingen kalkulator og ingen formelsamling (20 av 23 forsider sier «Ingen»). Tallene er valgt slik at alt går for hånd.
Vedlegg med ferdig utregning i 16 av 23 sett: en Matlab-utskrift (redusert trappeform, egenverdier) eller «Redusert trappeform av matriser». Du skal bruke det: les av pivotsøyler, frie variabler og lineære avhengigheter direkte.
«Du må begrunne alle svar, og du må vise nok mellomregninger til at man lett kan følge argumentene dine.» Et riktig tall uten begrunnelse gir ikke full uttelling.

Hva som testes — målt

Frekvens = i hvor mange av de 23 settene temaet forekommer. Vekt = andel av poengene i de seks siste settene (H2022–H2025).

Egenverdier og egenvektorer — 22 av 23 sett, 15 % av poengene. Diagonaliserbar? Diagonaliser, $A^k$ , egenverdier til en operator på et polynomrom.
Vektorrom — 21 av 23 sett, 20 %. Basis for $\operatorname{Col}A$ fra pivotsøylene (13 av 23), basis for $\operatorname{Nul}A$ , vis at noe er en basis, overgangsmatrise (8 av 23).
Ortogonalitet — 20 av 23 sett, 10 %. Gram–Schmidt (18 av 23) og ortogonal projeksjon (17 av 23).
Matriserepresentasjon — 18 av 23 sett. Matrisen $[T]_{\mathcal B}$ til en avbildning på $\mathbb P_n$ eller et funksjonsrom (15 av 23).
Minste kvadraters metode — 16 av 23 sett. «Finn alle minste kvadraters løsninger» (9 av 23) og kurvetilpasning.
Indreprodukter — 12 av 23, men 4 av de 6 siste og 13 % av poengene der: indreprodukt definert ved punktverdier eller integral på $\mathbb P_n$ .
Singulærverdidekomposisjon (12 av 23), kvadratiske former (12 av 23), lineære avbildninger (12 av 23), dynamiske systemer og differensiallikninger (12 av 23, men bare 1 av de 6 siste) og spektralteoremet (8 av 23).

Tre ting som skiller MAT1120 fra en ren regneeksamen

Abstrakte vektorrom i hvert sett. Alle 16 sett fra 2010 har en oppgave i et abstrakt vektorrom: polynomer, funksjoner, følger eller et generelt rom $V$ (H2018) ( $\mathbb P_2$ , $\operatorname{span}\{e^x,e^{-x}\}$ , $\operatorname{span}\{\cos 2x,\sin 2x\}$ ). Oversett til koordinatvektorer, regn med matriser, oversett tilbake.
Bevisandelen stiger. 5 % av deloppgavene var «vis at» i 2003–2009, 25 % i 2020–2025. Typisk: vis at $T$ er lineær, vis at $W$ er et underrom, vis at formelen er et indreprodukt.
Oppgavene henger sammen. Deloppgave b) bruker svaret fra a). Kan du ikke a), anta et svar og fortsett — resten gir poeng.

Emner som ikke har forekommet på eksamen (0 treff i 44 eksamens- og fasitfiler): Jordan-normalform (bortsett fra én deloppgave i 2003), Cayley–Hamilton, minimalpolynom, LU-faktorisering, pseudoinvers, matriseeksponensial $e^{At}$ , Sylvesters treghetslov, Cauchy–Schwarz og Fourierrekker. Guiden bruker ikke tid på dem.

Egenverdier og egenvektorer

Eksamensrelevant

Egenverdier er med i 22 av 23 sett. Eksamen ber deg vise at en oppgitt vektor er en egenvektor, diagonalisere $A = PDP^{-1}$ , avgjøre diagonaliserbarhet med $\dim\operatorname{Nul}(A-\lambda I)$ , regne $A^k$ , eller finne egenverdiene til en operator på $\mathbb{P}_n$ .

Hva eksamen spør om

Egenverdier er med i 22 av 23 sett (2003–2025) og i alle 6 sett 2022–2025, og gir 16,5 % av poengene over alle sett (15 % i 2022–2025). Diagonalisering eller diagonaliserbarhet er spurt om i 18 av 23 sett. Oppgavetypene:

Vis at en oppgitt vektor er en egenvektor, og finn resten — i 8 av 23 sett, sist H2025. I H2025 oppgave 2 var en egenvektor til en 3×3-matrise oppgitt. De to andre egenverdiene og egenvektorene skulle finnes, og så skulle man avgjøre om matrisen er diagonaliserbar og ortogonalt diagonaliserbar.
Diagonaliser $A = PDP^{-1}$ — i 5 av 23 sett, sist H2022. Der skulle en øvre triangulær 2×2-matrise diagonaliseres, og så skulle $A^{10}$ regnes ut med diagonaliseringen.
Er matrisen diagonaliserbar? Begrunn. — i 5 av 23 sett, sist H2024. Oppgaven ga to 3×3-matriser, en symmetrisk og en med gjentatt egenverdi, uten krav om å finne diagonaliseringen.
Egenverdier til et polynom i $A$ , $A^k$ og $\det A$ — i 5 av 23 sett, sist H2023-utsatt. I H2021 oppgave 4–5 skulle $x$ finnes fra egenverdiene 3, 5, $x$ og $\det A = 105$ , og man skulle vise at egenvektorer til $A$ også er egenvektorer til $B = 2I + A - A^2$ .
Egenverdier til en operator på $\mathbb{P}_n$ eller et funksjonsrom — i 4 av 23 sett, sist H2023-utsatt. Der skulle man vise at $T(f) = f'' + f$ på $\operatorname{span}\{\cos 2x, \sin 2x\}$ har nøyaktig én egenverdi, og finne egenrommet.
Diagonaliserbarhet med parameter — i 2 av 23 sett (H2004, H2022-utsatt).

Slik gjør du det

Type 1 og 2: egenverdier, egenvektorer og diagonalisering

Er $\mathbf{v}$ oppgitt: regn ut $A\mathbf{v}$ og vis at det er lik $\lambda_0\mathbf{v}$ . Da er $(\lambda_0 - \lambda)$ en faktor i det karakteristiske polynomet.
Regn ut $\det(A - \lambda I)$ ved å utvikle langs raden eller søylen med flest nuller. Hold polynomet faktorisert.
For hver egenverdi: radreduser $A - \lambda I$ og løs $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ . De frie variablene gir basisen for egenrommet.
Sett egenvektorene som søyler i $P$ og egenverdiene i samme rekkefølge på diagonalen i $D$ . Kontroller med $AP = PD$ , da slipper du å regne ut $P^{-1}$ .

Eksempel 1 (eksamensform). La $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 5 & -2 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ . Vis at $\mathbf{v}_1 = (1,1,1)$ er en egenvektor, finn de andre egenverdiene og egenvektorene, og diagonaliser $A$ . Vedlegg: $\operatorname{rref}(A - 3I)$ har radene $(1,0,0)$ , $(0,1,-1)$ , $(0,0,0)$ , og $\operatorname{rref}(A - 4I)$ har radene $(1,0,0)$ , $(0,1,-2)$ , $(0,0,0)$ .

$A\mathbf{v}_1 = (1,\,-2+5-2,\,-2+1+2) = (1,1,1) = 1\cdot\mathbf{v}_1$ . Altså er $\mathbf{v}_1$ en egenvektor med egenverdi $1$ .
Vi utvikler langs første rad: $\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &= (1-\lambda)\big[(5-\lambda)(2-\lambda)+2\big] \\ &= (1-\lambda)(\lambda^2-7\lambda+12) \\ &= (1-\lambda)(\lambda-3)(\lambda-4). \end{aligned}$ Egenverdiene er $1$ , $3$ og $4$ .
Fra vedlegget: $\operatorname{rref}(A-3I)$ gir $x_1 = 0$ og $x_2 = x_3$ , altså $\mathbf{v}_2 = (0,1,1)$ . $\operatorname{rref}(A-4I)$ gir $x_1 = 0$ og $x_2 = 2x_3$ , altså $\mathbf{v}_3 = (0,2,1)$ .
Tre ulike egenverdier, så $A$ er diagonaliserbar: $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}.$

Tredimensjonalt koordinatsystem med de tre egenvektorene fra origo: v₁ = (1, 1, 1) for λ = 1, v₂ = (0, 1, 1) for λ = 3 og v₃ = (0, 2, 1) for λ = 4.

Svar: Egenverdiene er $1, 3, 4$ med egenvektorer $(1,1,1)$ , $(0,1,1)$ , $(0,2,1)$ , og $A = PDP^{-1}$ med $P$ og $D$ som over.

Type 3: er matrisen diagonaliserbar?

Symmetrisk $A$ er diagonaliserbar (ortogonalt). Det er nok som begrunnelse.
Har en $n\times n$ -matrise $n$ ulike egenverdier, er den diagonaliserbar.
Er en egenverdi gjentatt: regn ut $\dim \operatorname{Nul}(A-\lambda I) = n - \operatorname{rang}(A-\lambda I)$ og sammenlign med multiplisiteten. $A$ er diagonaliserbar hvis og bare hvis de to er like for hver egenverdi.

Eksempel 2 (eksamensform). Avgjør om $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ og $C = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ er diagonaliserbare. Du trenger ikke å finne diagonaliseringene.

Vi utvikler $\det(B - \lambda I)$ langs første søyle: $(2-\lambda)\big[(3-\lambda)(1-\lambda)+1\big] = (2-\lambda)(\lambda-2)^2$ . Egenverdien $2$ har multiplisitet 3.
$B - 2I$ har tre like rader $(0,1,-1)$ , så rangen er 1 og $\dim\operatorname{Nul}(B-2I) = 3 - 1 = 2 \lt 3$ . Det finnes ikke tre lineært uavhengige egenvektorer.
$C$ er øvre triangulær, så egenverdiene står på diagonalen: $2, 2, 5$ . Alle radene i $C - 2I$ er multipler av $(0,0,1)$ , så rangen er 1 og $\dim\operatorname{Nul}(C-2I) = 2$ , lik multiplisiteten. Med én egenvektor for $5$ får vi 3 uavhengige egenvektorer.

Svar: $B$ er ikke diagonaliserbar, mens $C$ er det, selv om begge har en gjentatt egenverdi.

Type 5: operator på $\mathbb{P}_n$ eller funksjonsrom

Finn $[T]_{\mathcal{B}}$ (søyle $j$ er $[T(\mathbf{b}_j)]_{\mathcal{B}}$ ). Den har de samme egenverdiene som $T$ .
Egenvektorene til matrisen er koordinatvektorer. Svaret er polynomene eller funksjonene de svarer til.

Eksempel 3 (abstrakt rom). La $T:\mathbb{P}_2\to\mathbb{P}_2$ være gitt ved $T(p)(t) = p(t) + (t+1)p'(t)$ . Finn egenverdiene og en basis av egenvektorer for $T$ .

Med $\mathcal{B} = \{1, t, t^2\}$ : $T(1) = 1$ , $T(t) = t + (t+1) = 1 + 2t$ og $T(t^2) = t^2 + 2t(t+1) = 2t + 3t^2$ .
Koordinatene blir søylene: $[T]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}.$ Matrisen er øvre triangulær, så egenverdiene er $1, 2, 3$ .
$\lambda = 1$ gir $\mathbf{x} = (1,0,0)$ . $\lambda = 2$ gir $x_3 = 0$ og $x_1 = x_2$ , altså $(1,1,0)$ . $\lambda = 3$ gir $x_2 = 2x_3$ og $x_1 = x_3$ , altså $(1,2,1)$ .
Vi oversetter tilbake: $1$ , $1+t$ og $1 + 2t + t^2 = (1+t)^2$ .

Svar: Egenverdiene er $1, 2, 3$ , og $\{1,\ 1+t,\ (1+t)^2\}$ er en basis av egenvektorer. $T$ er altså diagonaliserbar.

Type 4: $A^k$ og polynom i $A$

Fra $A = PDP^{-1}$ følger $A^k = PD^kP^{-1}$ .
Er $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ , så er $A^2\mathbf{v} = \lambda^2\mathbf{v}$ . Da får $q(A)\mathbf{v} = q(\lambda)\mathbf{v}$ for ethvert polynom $q$ .
$\det A$ er produktet av egenverdiene, og $A$ er invertibel hvis og bare hvis $0$ ikke er en egenverdi.

Eksempel 4 (eksamensform). La $A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ . Finn $A^k$ , og avgjør om $B = A^2 - 3A$ er invertibel.

$\det(A-\lambda I) = (4-\lambda)(1-\lambda) + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3)$ .
$\lambda = 2$ : $A - 2I$ har radene $(2,-2)$ og $(1,-1)$ , som gir $(1,1)$ . $\lambda = 3$ : radene $(1,-2)$ og $(1,-2)$ gir $(2,1)$ .
$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $\det P = -1$ , og $P^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ . Da blir $A^k = \begin{bmatrix} 2\cdot 3^k - 2^k & 2^{k+1} - 2\cdot 3^k \\ 3^k - 2^k & 2^{k+1} - 3^k \end{bmatrix}.$
Hvis $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ , er $B\mathbf{v} = A^2\mathbf{v} - 3A\mathbf{v} = (\lambda^2 - 3\lambda)\mathbf{v}$ . Egenverdiene til $B$ er derfor $4 - 6 = -2$ og $9 - 9 = 0$ .

Koordinatsystem med de stiplede egenlinjene y = x og y = x/2. Vektorene v₁ = (1, 1) og v₂ = (2, 1) går fra origo. Punktene Av₁ = (2, 2) og Av₂ = (6, 3) ligger på de samme linjene, to og tre ganger så langt ut.

Svar: $A^k$ er som over. $B$ har egenverdien $0$ og er derfor ikke invertibel.

Her går det galt

Egenverdier fra en radredusert matrise. Radoperasjoner endrer egenverdiene. Rref-vedlegget brukes på $A - \lambda I$ etter at $\lambda$ er funnet.
Feil rekkefølge i $P$ og $D$ . Søyle $j$ i $P$ må høre til egenverdien i posisjon $j$ i $D$ . Kontroller med $AP = PD$ .
«Gjentatt egenverdi, altså ikke diagonaliserbar». Det er feil, se $C$ i eksempel 2. Regn ut dimensjonen til egenrommet.
Svar i koordinater når oppgaven gjelder funksjoner. I H2022-utsatt og H2023-utsatt var egenvektorene polynomer og funksjoner, ikke tallvektorer. Oversett tilbake.

Nøkkelformler

• $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ med $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ ; egenverdiene er røttene i $\det(A - \lambda I) = 0$
•Egenrommet til $\lambda$ er $\operatorname{Nul}(A - \lambda I)$ , med dimensjon $n - \operatorname{rang}(A - \lambda I)$
• $A = PDP^{-1} \iff AP = PD$ med egenvektorene som søyler i $P$
• $A^k = PD^kP^{-1}$
• $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \Rightarrow q(A)\mathbf{v} = q(\lambda)\mathbf{v}$ for ethvert polynom $q$
• $\det A = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$ ; $A$ er invertibel $\iff 0$ er ikke en egenverdi
•Triangulær matrise: egenverdiene står på diagonalen
• $T$ og $[T]_{\mathcal{B}}$ har de samme egenverdiene; $\mathbf{x}$ er egenvektor for $[T]_{\mathcal{B}}$ $\iff$ $\mathbf{x} = [p]_{\mathcal{B}}$ for en egenvektor $p$ for $T$

Vanlige feil

⚠️Egenverdiene lest av $\operatorname{rref}(A)$ : radoperasjoner endrer egenverdiene. Rref brukes på $A - \lambda I$
⚠️Søylene i $P$ i en annen rekkefølge enn egenverdiene i $D$
⚠️Konkluderer med «ikke diagonaliserbar» bare fordi en egenverdi er gjentatt, uten å regne $\dim\operatorname{Nul}(A-\lambda I)$
⚠️Oppgir koordinatvektorer i stedet for polynomer eller funksjoner når $T$ virker på $\mathbb{P}_n$ eller et funksjonsrom
⚠️Skriver $A^k = P^{-1}D^kP$ i stedet for $PD^kP^{-1}$

Eksamenstips

💡Er en egenvektor oppgitt, gir $A\mathbf{v}$ deg én egenverdi gratis. Bruk den til å faktorisere det karakteristiske polynomet
💡Utvid determinanten langs raden eller søylen med flest nuller, og hold polynomet faktorisert
💡«Diagonaliserbar? Begrunn»: symmetrisk, eller $n$ ulike egenverdier, er nok som begrunnelse. Ved gjentatt egenverdi må rangen til $A - \lambda I$ regnes ut
💡Kontroller $AP = PD$ i stedet for å regne ut $P^{-1}$ når oppgaven bare ber om $P$ og $D$
💡På $\mathbb{P}_n$ : lag $[T]_{\mathcal{B}}$ først. Den er ofte triangulær, og da står egenverdiene på diagonalen

Laster...

Laster…