MAT1120

Studieguide

God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

MAT1120 Lineaer algebra er et videregaende emne ved Universitetet i Oslo som bygger pa MAT1110. Emnet dekker vektorrom, lineaere avbildninger, egenverdier og egenvektorer, indreprodukter, ortogonalitet, spektralteoremet, kvadratiske former og singulaerverdi-dekomposisjon (SVD). Eksamen er skriftlig (4 timer, ingen hjelpemidler) og bestar typisk av 4-5 oppgaver med til sammen 10 deloppgaver som alle teller likt (10 poeng hver).

Eksamen folger et fast monster: Oppgave 1 handler nesten alltid om kolonnerom, nullrom, ortogonal basis (Gram-Schmidt) og minste kvadraters losning. Oppgave 2 dreier seg om egenverdier, ortogonal diagonalisering og anvendelser (differensiallikninger eller kvadratiske former). Oppgave 3 tester abstrakte vektorrom, basisskifte og lineaere avbildninger representert som matriser. Oppgave 4-5 varierer mellom diagonaliserbarhet, SVD, refleksjonsmatriser og bevisoppgaver.

Viktig: Alle svar ma begrunnes, og du ma vise nok mellomregninger til at sensor lett kan folge argumentene dine. Du kan ofte henvise til vedlagt Matlab-utskrift eller redusert trappeform for a spare tid pa radreduksjon.

Vektorrom og underrom

Abstrakte vektorrom, underrom, basis, dimensjon, kolonnerom (Col A), nullrom (Nul A) og rang. Grunnlaget for hele kurset og en fast del av Oppgave 1 pa eksamen.

Oversikt

Et vektorrom $V$ over $\mathbb{R}$ er en mengde med addisjon og skalarmultiplikasjon som tilfredsstiller vektorrommets aksiomer (lukket under addisjon og skalarmultiplikasjon, nullvektor finnes, osv.). MAT1120 jobber bade med $\mathbb{R}^n$ og abstrakte vektorrom som polynomrommet $\mathbb{P}_n$ og funksjonsrom.

Underrom

Et underrom $W$ av $V$ er en ikke-tom delmengde som er lukket under addisjon og skalarmultiplikasjon. For a vise at $W$ er et underrom, ma du sjekke tre ting:

$\mathbf{0} \in W$ (nullvektoren ligger i $W$ )
$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W \Rightarrow \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$
$c \in \mathbb{R},\, \mathbf{u} \in W \Rightarrow c\mathbf{u} \in W$

Eksempel fra eksamen 2024: $W = \{p \in \mathbb{P}_3 : p(-1) = 0\}$ er et underrom fordi nullpolynomet tilfredsstiller $p(-1) = 0$ , og summen av to polynomer med $p(-1) = 0$ ogsa har denne egenskapen.

Kolonnerom og nullrom

For en $m \times n$ -matrise $A$ :

Kolonnerommet $\text{Col}\,A = \{A\mathbf{x} : \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\}$ er spennet til kolonnene i $A$ . Det er et underrom av $\mathbb{R}^m$ .
Nullrommet $\text{Nul}\,A = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$ . Det er et underrom av $\mathbb{R}^n$ .

For a finne basis for disse: radreduserr $A$ . Pivotkolonnene i $A$ (de opprinnelige kolonnene, ikke i den radreduserte) gir basis for $\text{Col}\,A$ . De frie variablene gir basis for $\text{Nul}\,A$ .

Rang og dimensjonssetningen

$\text{rang}\,A + \dim(\text{Nul}\,A) = n$

der $n$ er antall kolonner i $A$ . Denne sammenhengen er svart nyttig for a kontrollere svarene dine.

Eksempel 1 (Eksamen 2019, Oppgave 1a)

Oppgave: La $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ . Finn en basis for $W = \text{Col}\,A$ og en basis for $\text{Nul}\,A$ .

Losning: Radreduksjon av $A$ :

$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Pivotkolonner er kolonne 1 og 2. Basis for $\text{Col}\,A$ :

$\left\{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\2\\1\\1\end{bmatrix}\right\}$

Fra den radreduserte formen: $x_1 = -2x_3$ , $x_2 = -x_3$ , $x_3$ fri. Basis for $\text{Nul}\,A$ :

$\left\{\begin{bmatrix}-2\\-1\\1\end{bmatrix}\right\}$

Kontroll: $\text{rang}\,A = 2$ , $\dim(\text{Nul}\,A) = 1$ , $2 + 1 = 3 = n$ . $\checkmark$

Eksempel 2 (Eksamen 2024, Oppgave 3a)

Oppgave: La $W = \{p \in \mathbb{P}_3 : p(-1) = 0\}$ med $p_1(t) = t+1$ , $p_2(t) = t^2-1$ , $p_3(t) = t^3+1$ . Vis at $W$ er et underrom og at $\mathcal{B} = \{p_1, p_2, p_3\}$ er en basis for $W$ .

Losning: Underrom: (1) Nullpolynomet har $p(-1) = 0$ . (2) Hvis $p(-1) = 0$ og $q(-1) = 0$ , sa $(p+q)(-1) = p(-1)+q(-1) = 0$ . (3) $(cp)(-1) = c \cdot p(-1) = 0$ .

Basis: Generelt polynom i $\mathbb{P}_3$ : $p(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3$ . Kravet $p(-1) = 0$ gir $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 = 0$ , altsa $a_0 = a_1 - a_2 + a_3$ . Dermed har $W$ dimensjon 3. Sjekk at $p_1, p_2, p_3$ er lineaert uavhengige: $c_1(t+1) + c_2(t^2-1) + c_3(t^3+1) = 0$ gir $c_3 t^3 + c_2 t^2 + c_1 t + (c_1 - c_2 + c_3) = 0$ , sa $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ . $\square$

Nøkkelformler

•Dimensjonssetningen: $ $\text{rang}\,A + \dim(\text{Nul}\,A) = n$ $
•$ $\text{Col}\,A = \{A\mathbf{x} : \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\}$ $(underrom av$ $\mathbb{R}^m$ $)
•$ $\text{Nul}\,A = \{\mathbf{x} : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$ $(underrom av$ $\mathbb{R}^n$ $)
•Basis for Col A: pivotkolonnene (fra den opprinnelige matrisen $ $A$ $)
•Underromtest: $ $\mathbf{0} \in W$ $, lukket under$ $+$ $ og skalarmultiplikasjon

Vanlige feil

⚠️Bruke kolonner fra den radreduserte matrisen som basis for Col A -- du ma bruke de opprinnelige kolonnene fra A.
⚠️Glemme a sjekke at nullvektoren ligger i W nar du viser at noe er et underrom.
⚠️Forveksle dimensjonen til Col A (antall pivoter) med antall kolonner i A.
⚠️Glemme dimensjonssetningen som kontroll: rang + dim(Nul) = antall kolonner.

Eksamenstips

💡Oppgave 1a pa nesten alle eksamener (2019, 2021, 2024) ber deg finne basis for Col A og Nul A. Start alltid med radreduksjon.
💡Abstrakte vektorrom (polynomer, funksjoner) dukker opp i Oppgave 3. Vis alltid de tre underromkravene eksplisitt.
💡Nar vedlegget gir deg den radreduserte formen, bruk den! Ikke kast bort tid pa a radredusere selv.

Laster...

Introduksjon